{"id":3218,"date":"2021-12-06T19:29:03","date_gmt":"2021-12-06T19:29:03","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/?p=3218"},"modified":"2023-08-28T17:08:02","modified_gmt":"2023-08-28T17:08:02","slug":"clase-digital-2-limites-y-continuidad-de-funciones-algebraicas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/clase-digital-2-limites-y-continuidad-de-funciones-algebraicas\/","title":{"rendered":"Clase digital 2. L\u00edmites y continuidad de funciones algebraicas"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-cover__background has-black-background-color has-background-dim-40 has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-3220\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/t6bsbzdgwbg.jpg\" style=\"object-position:54% 53%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"54% 53%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1600\" height=\"1067\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-3220\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/t6bsbzdgwbg.jpg\" style=\"object-position:54% 53%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"54% 53%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/t6bsbzdgwbg.jpg 1600w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/t6bsbzdgwbg-300x200.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/t6bsbzdgwbg-1024x683.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/t6bsbzdgwbg-768x512.jpg 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/t6bsbzdgwbg-1536x1024.jpg 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/t6bsbzdgwbg-272x182.jpg 272w\" sizes=\"auto, (max-width: 1600px) 100vw, 1600px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-large-font-size wp-block-paragraph\">L\u00edmites y continuidad de funciones algebraicas<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">1. Fundamentaci\u00f3n del tema<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Anteriormente, en el desarrollo del tema <em>Funciones<\/em>, se hab\u00eda descrito la importancia de estas expresiones algebraicas para la contadur\u00eda p\u00fablica y para la administraci\u00f3n, pues dan origen a muchos modelos financieros que ayudan a describir el comportamiento de variables econ\u00f3micas importantes, tales como la oferta y la demanda. No obstante, los l\u00edmites son un instrumento del c\u00e1lculo que nos permite entender c\u00f3mo se comportan estas funciones cuando se les da un valor num\u00e9rico determinado, siendo particularmente \u00fatiles para identificar cuando la funci\u00f3n no puede tomar un valor espec\u00edfico debido a que conduce a una indeterminaci\u00f3n matem\u00e1tica, es decir, a un resultado no l\u00f3gico. Cuando la funci\u00f3n se acerca a tal valor que le origina una indeterminaci\u00f3n, sin llegar espec\u00edficamente a \u00e9l, los l\u00edmites se encargan de mostrarnos que valor resultar\u00eda en la variable. Existen diferentes maneras de encontrar un l\u00edmite, ya sea calculando los valores de la funci\u00f3n, haciendo el bosquejo de su gr\u00e1fica o empleando las propiedades de los l\u00edmites. En el caso de emplear las propiedades de los l\u00edmites, deben seguirse teoremas previamente demostrados y bien establecidos para llegar a un resultado. Es as\u00ed c\u00f3mo puede entenderse que la relevancia de los l\u00edmites de las funciones algebraicas radica en permitir que las funciones establecidas para describir modelos econ\u00f3micos y administrativos operen de la manera adecuada dentro de los l\u00edmites apropiados que eviten que se obtenga una indeterminaci\u00f3n matem\u00e1tica.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">2. Objetivo did\u00e1ctico<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Identificar qu\u00e9 son los l\u00edmites dentro de las funciones algebraicas y conocer los principales teoremas que nos permiten determinarlos para as\u00ed comprender c\u00f3mo se establecen los valores que una funci\u00f3n puede tomar dentro de un modelo financiero o administrativo.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">3. Contenido did\u00e1ctico<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Introducci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola! <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es un gusto acompa\u00f1arte en este proceso de aprendizaje, es por ello que te doy la bienvenida a esta segunda clase de la UDA de C\u00e1lculo Diferencial.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En esta clase veremos uno de los temas m\u00e1s interesantes de tu materia C\u00e1lculo diferencial, los l\u00edmites de las funciones algebraicas. Los l\u00edmites son un tema que puede resultar muy sencillo de comprender, pero cuyo discernimiento pleno es la base para el entendimiento de temas m\u00e1s complejos y, sobre todo, para la aplicaci\u00f3n de este conocimiento te\u00f3rico a modelos financieros y administrativos. Se considera que los l\u00edmites son tan importantes dentro del c\u00e1lculo, que son lo que distingue a \u00e9sta de otras ramas de las matem\u00e1ticas, de hecho, algunos autores definen al c\u00e1lculo como el estudio de los l\u00edmites. De manera coloquial podemos entender a un l\u00edmite como una barrera a la cual podemos aproximarnos tanto como queramos, pero que nunca, en ninguna circunstancia, podemos sobrepasar. En el lenguaje matem\u00e1tico un l\u00edmite nos da los valores que una funci\u00f3n s\u00ed puede tomar sin conducir a una indeterminaci\u00f3n matem\u00e1tica, es decir, a un error o una incoherencia que no signifique algo, que no de un valor. Asimismo, estos l\u00edmites nos demuestran aquellas cifras que nunca pueden ser utilizadas por la funci\u00f3n, que no pueden ser alcanzadas.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A trav\u00e9s de los a\u00f1os se han establecido diferentes proposiciones matem\u00e1ticas que ya han sido demostradas para establecer, de forma inequ\u00edvoca, los l\u00edmites de una funci\u00f3n seg\u00fan la forma que est\u00e1 presente. Estas proposiciones reciben el nombre de teoremas y en el presente estudio se analizar\u00e1n los principales teoremas que se utilizan para calcular l\u00edmites con sumas, productos y cocientes de funciones.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Comencemos!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Desarrollo del tema<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">2.1. Teoremas de l\u00edmite<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un l\u00edmite implica entender el comportamiento de una funci\u00f3n cuando la variable independiente est\u00e1 muy cerca de un n\u00famero, pero sin llegar a tomar ese valor debido a que esto le ocasionar\u00eda una indeterminaci\u00f3n o una incoherencia matem\u00e1tica (UACJ, 2016). Esto se expresa matem\u00e1ticamente de la siguiente forma (Hern\u00e1ndez, 2002):<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/limite.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3221\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/limite.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3221\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"601\" height=\"255\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/limite.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3221\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/limite.png 601w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/limite-300x127.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 601px) 100vw, 601px\" \/><\/noscript><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Esto significa que cuando a <em>x<\/em> se le asigna un valor cercano (lo cual se menciona como que \u201ctiende a\u2026\u201d) pero diferente de <em>c,<\/em> entonces <em>f <\/em>(x) est\u00e1 cerca de <em>L<\/em>. Es decir, <em>c <\/em>representar\u00eda el valor que la funci\u00f3n de <em>x<\/em> no puede tomar, pudi\u00e9ndosele dar valores muy cercanos a <em>c<\/em>, pero no <em>c <\/em>en s\u00ed. Por su parte, <em>L <\/em>es el resultado que se obtendr\u00eda al resolver la funci\u00f3n de <em>x <\/em>con el valor muy cercano, pero no igual a <em>c<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-right wp-block-paragraph\">(Hern\u00e1ndez, 2002).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Entonces un l\u00edmite puede entenderse de las siguientes maneras (Flores, 2016):<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Como una aproximaci\u00f3n o una tendencia a cierto n\u00famero.<\/li>\n\n\n\n<li>Como un punto hasta el que puede llegar cierto valor.<\/li>\n\n\n\n<li>Como un tope o una barrera num\u00e9rica que no puede ser sobrepasada.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para poder afirmar que cierto n\u00famero es el l\u00edmite de una funci\u00f3n, puede realizarse un graficado empleando sistemas especializados o puede recurrirse a la definici\u00f3n <em>\u00c9psilon-Delta<\/em>.&nbsp; En esta definici\u00f3n, <em>\u00e9psilon<\/em> y <em>delta<\/em> son s\u00f3lo letras griegas que se utilizan para ser comparadas y para poder decir que \u201cson m\u00e1s peque\u00f1as que<em>\u201d<\/em> en las siguientes afirmaciones:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><em>\u00c9psilon<\/em>: \ud835\udf3a &lt; |f(x)\u2212L| \ud83e\udc6a Se entiende como una comparaci\u00f3n en la que <em>\u00e9psilon<\/em> debe ser menor que el valor absoluto de la diferencia entre el resultado de la resoluci\u00f3n de la funci\u00f3n de <em>x <\/em>(dando un valor a <em>x <\/em>muy cercano a <em>c<\/em>) y el l\u00edmite <em>L<\/em> preestablecido, hacia el que se busca que la funci\u00f3n se acerque.<\/li>\n\n\n\n<li><em>Delta<\/em>: \ud835\udeff &lt; |x\u2212c| \ud83e\udc6a Esto nos dice que <em>delta<\/em> debe ser menor que la diferencia entre el valor dado por nosotros mismos para x y el n\u00famero hacia el que <em>x<\/em> tiende, es decir, hacia <em>c<\/em>.&nbsp;&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-right wp-block-paragraph\">(Flores, 2016)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Considerando lo anterior, si nosotros logramos obtener una <em>\u00e9psilon positiva<\/em> (&gt;0) lo suficientemente peque\u00f1a y una <em>delta positiva <\/em>(&gt;0) tambi\u00e9n muy peque\u00f1a es porque el l\u00edmite real dado para <em>f<\/em>(x) es el correcto cuando <em>x<\/em> tiende a <em>c<\/em>. Es decir, esta comparaci\u00f3n expresa que, si logramos que se cumpla la siguiente condici\u00f3n, el l\u00edmite (<em>L<\/em>) que se ha establecido para la funci\u00f3n [<em>f(x<\/em>)] es el correcto (Flores, 2016):<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Entre m\u00e1s se acerque el valor que demos a <em>x<\/em> (elegido a voluntad) a c, m\u00e1s cercano a <em>L<\/em> debe ser el resultado cuando resolvamos la funci\u00f3n [<em>f(x)]<\/em> con la <em>x<\/em> seleccionada.&nbsp;&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">No obstante, esta definici\u00f3n puede resultar compleja de entender y aplicar cuando se busca obtener un l\u00edmite de forma r\u00e1pida, existiendo una tercera opci\u00f3n: el uso de teoremas previamente probados y bien establecidos. Aunque existe una gran variedad de teoremas que nos pueden ayudar en casos espec\u00edficos para la obtenci\u00f3n de l\u00edmites, a continuaci\u00f3n, se presenta el <strong>Teorema principal de los l\u00edmites<\/strong>, mismo que permite la obtenci\u00f3n de la mayor\u00eda de los l\u00edmites que pudieran solicitarse. Este teorema cuenta con nueve situaciones o propiedades diferentes, en todas ellas debe considerarse a <em>n<\/em> como un n\u00famero entero positivo, a <em>k <\/em>como una constante y a <em>f <\/em>y <em>g <\/em>como funciones que tengan l\u00edmites en <em>c<\/em>:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-right wp-block-paragraph\">(Purcell <em>et al.,<\/em> 2007)<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>Esta propiedad nos indica que el l\u00edmite para una constante es la constante misma.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/limite1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3222\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"142\" height=\"54\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/limite1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3222\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-right wp-block-paragraph\">(Purcell et al., 2007).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">2. Esta propiedad dice que si se busca el l\u00edmite de <em>x <\/em>este<em> <\/em>ser\u00e1 <em>c<\/em>, es decir, el n\u00famero hacia el que <em>x<\/em> tiende.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/image8.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3223\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"142\" height=\"54\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/image8.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3223\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-right wp-block-paragraph\">(Purcell et al., 2007).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">3. Esta propiedad afirma que el l\u00edmite de una constante multiplicada por una funci\u00f3n de <em>x<\/em>, ser\u00e1 igual al producto de tal constante multiplicada por el l\u00edmite de la funci\u00f3n de <em>x<\/em>.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/image9.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3224\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"317\" height=\"54\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/image9.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3224\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/image9.png 317w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/image9-300x51.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 317px) 100vw, 317px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-right wp-block-paragraph\">(Purcell et al., 2007).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">4. Esta propiedad menciona que el l\u00edmite de la suma de dos funciones de <em>x<\/em>, siendo una <em>f<\/em>(x) y la otra <em>g<\/em>(x), ser\u00e1 igual a la suma del l\u00edmite de <em>f<\/em>(x) m\u00e1s el l\u00edmite de <em>g<\/em>(x).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/image10.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3225\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"541\" height=\"54\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/image10.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3225\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/image10.png 541w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/image10-300x30.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 541px) 100vw, 541px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-right wp-block-paragraph\">(Purcell et al., 2007)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">5. Esta propiedad, parecida a la anterior, describe que el l\u00edmite de la resta de dos funciones es igual al l\u00edmite de la primera funci\u00f3n menos el l\u00edmite de la segunda funci\u00f3n.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/11-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3226\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"541\" height=\"54\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/11-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3226\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/11-1.png 541w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/11-1-300x30.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 541px) 100vw, 541px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-right wp-block-paragraph\">(Purcell et al., 2007).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">6. Esta propiedad muestra que el l\u00edmite del producto (multiplicaci\u00f3n) de dos funciones es igual al l\u00edmite de una funci\u00f3n multiplicado por el l\u00edmite de la segunda funci\u00f3n.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/12.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3227\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"499\" height=\"54\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/12.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3227\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/12.png 499w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/12-300x32.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 499px) 100vw, 499px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-right wp-block-paragraph\">(Purcell et al., 2007).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">7. Esta propiedad explica que el l\u00edmite del cociente entre dos funciones es igual al l\u00edmite de la primera funci\u00f3n sobre el l\u00edmite de la segunda funci\u00f3n siempre y cuando este \u00faltimo no sea igual a 0.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/13.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3228\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"623\" height=\"102\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/13.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3228\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/13.png 623w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/13-300x49.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 623px) 100vw, 623px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-right wp-block-paragraph\">(Purcell et al., 2007).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">8. Esta propiedad indica que el l\u00edmite de una funci\u00f3n a la <em>n<\/em> potencia ser\u00e1 igual al l\u00edmite de dicha funci\u00f3n posteriormente elevado a la misma potencia. <\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/14.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3229\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"336\" height=\"66\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/14.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3229\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/14.png 336w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/14-300x59.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 336px) 100vw, 336px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-right wp-block-paragraph\">(Purcell et al., 2007).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">9. Esta propiedad dice que el l\u00edmite de la ra\u00edz<em> <\/em>de una funci\u00f3n se obtendr\u00e1 al sacar el l\u00edmite de la funci\u00f3n y luego sacar la ra\u00edz de tal cifra obtenida <\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/16-1024x68.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3230\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"68\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/16-1024x68.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3230\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/16-1024x68.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/16-300x20.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/16-768x51.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/16.png 1170w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-right wp-block-paragraph\">(Purcell et al., 2007).&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un segundo teorema que es de gran utilidad para el establecimiento de l\u00edmites es el <strong>Teorema de sustituci\u00f3n<\/strong> el cual aplica cuando <em>f <\/em>es una funci\u00f3n polinomial o racional.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-right wp-block-paragraph\">(Purcell et al., 2007).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">10. Este teorema implica que, para establecer el l\u00edmite de una funci\u00f3n polinomial o racional, esta debe resolverse dando a <em>x <\/em>el valor de <em>c<\/em>, es decir, el valor hacia el que <em>x<\/em> tiende.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/17.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3231\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"264\" height=\"60\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/17.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3231\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Estos teoremas y sus propiedades pueden ser aplicados directamente en caso de que el l\u00edmite lo permita, pero si se obtiene una expresi\u00f3n como 0\/0 deber\u00e1 transformarse previamente la f\u00f3rmula de la funci\u00f3n mediante una simplificaci\u00f3n que evite la divisi\u00f3n sobre cero, pues esto conduce a una indeterminaci\u00f3n. Para simplificar la f\u00f3rmula de la funci\u00f3n deben seguirse los procedimientos algebraicos comunes como la factorizaci\u00f3n (Purcell <em>et aI., <\/em>2007). Enseguida se presentan algunos ejemplos en los que aplican algunas de las propiedades descritas, ya sea de forma individual o una propiedad seguida de otra diferente:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>Ejemplos de aplicaciones de la propiedad 1 (Beltr\u00e1n, 2016):<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;l\u00edm 88= 88 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; l\u00edm 43= 43<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;x\ud83e\udc6a7 &nbsp;   &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; x\ud83e\udc6a5<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\" start=\"2\">\n<li>Ejemplos de aplicaciones de la propiedad 2 (Beltr\u00e1n, 2016):<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;l\u00edm x= 3 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; l\u00edm x= 6<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; x\ud83e\udc6a3&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;   &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  x\ud83e\udc6a6<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\" start=\"3\">\n<li>Ejemplo de aplicaci\u00f3n de la propiedad 3, seguida de la propiedad 8 y de la 2 (Purcell <em>et al.,<\/em> 2007):<\/li>\n<\/ol>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/18.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3232\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"622\" height=\"156\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/18.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3232\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/18.png 622w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/18-300x75.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 622px) 100vw, 622px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\" start=\"4\">\n<li>Ejemplo de aplicaci\u00f3n de la propiedad 5, seguida por la 3, la 8 y la 2 (Purcell <em>et al.,<\/em> 2007):<\/li>\n<\/ol>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/20-1024x113.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3233\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"113\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/20-1024x113.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3233\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/20-1024x113.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/20-300x33.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/20-768x85.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/20.png 1391w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\" start=\"5\">\n<li>Ejemplo de aplicaci\u00f3n de propiedad 7 (Beltr\u00e1n, 2016):<\/li>\n<\/ol>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/19-1024x84.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3234\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"84\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/19-1024x84.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3234\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/19-1024x84.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/19-300x25.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/19-768x63.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/19.png 1304w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\" start=\"6\">\n<li>Ejemplo de aplicaci\u00f3n de propiedad 8 (Beltr\u00e1n, 2016):<\/li>\n<\/ol>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/22.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3235\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"416\" height=\"62\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/22.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3235\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/22.png 416w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/22-300x45.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 416px) 100vw, 416px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\" start=\"7\">\n<li>Ejemplo de aplicaci\u00f3n de propiedad 7, seguida de la 9, la 4, la 8 y la 2 (Purcell <em>et al.,<\/em> 2007):<\/li>\n<\/ol>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/23-1024x110.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3236\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"110\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/23-1024x110.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3236\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/23-1024x110.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/23-300x32.png 300w, 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Para complementar este tema te sugerimos revisar el documento <a href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/presentacion-limites-y-continuidad-de-funciones-algebraicas-continuidad-de-una-funcion\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Continuidad de una funci\u00f3n<\/a>, en \u00e9l hablaremos justamente sobre la continuidad, una caracter\u00edstica de algunas funciones que est\u00e1 muy relacionada con sus l\u00edmites y que tiene que ver con la forma en que estos se comportan al graficar la funci\u00f3n: ya sea como una l\u00ednea continua que no presenta huecos en su trayectoria, o como una l\u00ednea discontinua. \u00a1No pierdas la oportunidad de repasar este tema tan interesante!\u00a0<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nos despedimos no sin antes invitarte a poner en pr\u00e1ctica lo aprendido mediante la resoluci\u00f3n de ejercicios variados que te permitan aplicar los dos teoremas estudiados y las nueve propiedades que presenta el primero de ellos. En el libro C\u00e1lculo diferencial e integral de los autores Purcell, Varberg y Rigdon (2007) en el cap\u00edtulo 1, p\u00e1ginas 55 a 91, adem\u00e1s de encontrar una explicaci\u00f3n m\u00e1s detallada, podr\u00e1s observar el procedimiento para dar soluci\u00f3n a m\u00e1s ejercicios, as\u00ed como obtener algunos para que t\u00fa mismo los soluciones \u00a1Buena suerte y que sigas aprendiendo!<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Resumen e ideas relevantes<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es importante que de lo anterior recuerdes que:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Un l\u00edmite en lenguaje matem\u00e1tico nos dice qu\u00e9 valores una funci\u00f3n s\u00ed puede tomar sin que se genere una indeterminaci\u00f3n o incoherencia matem\u00e1tica.&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>La forma de expresar un l\u00edmite es la siguiente: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/limite.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3221\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/limite.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3221\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"601\" height=\"255\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/limite.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3221\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/limite.png 601w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/wp-content\/uploads\/sites\/68\/2021\/11\/limite-300x127.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 601px) 100vw, 601px\" \/><\/noscript><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En ella, <em>c<\/em> es el n\u00famero hacia el que <em>x <\/em>se acerca (dentro de la funci\u00f3n f(x)) y <em>L<\/em> es el l\u00edmite que no se puede sobrepasar, el resultado de resolver la funci\u00f3n <em>f(x)<\/em> usando el valor de <em>c<\/em>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Los teoremas de l\u00edmites son proposiciones matem\u00e1ticas que ya han sido probadas para establecer el l\u00edmite de una funci\u00f3n de forma inequ\u00edvoca.<\/li>\n\n\n\n<li>Los teoremas se dividen en propiedades, siendo cada una de ellas utilizada para el c\u00e1lculo de un l\u00edmite de una funci\u00f3n con estructura espec\u00edfica: ya sea que contenga constantes, sumas, restas, divisiones, potencias o ra\u00edces.<\/li>\n\n\n\n<li>Uno de los teoremas m\u00e1s importantes para la resoluci\u00f3n de la mayor\u00eda de los casos en que se soliciten l\u00edmites, es el Teorema principal de los l\u00edmites, mismo que se divide en nueve propiedades o situaciones diferentes que aplican seg\u00fan la funci\u00f3n <em>f(x) <\/em>que se tenga.<\/li>\n\n\n\n<li>Por su parte, el Teorema de sustituci\u00f3n aplica en aquellos casos que se presenten funciones polinomiales o racionales, requiri\u00e9ndose \u00fanicamente la sustituci\u00f3n dando a <em>x<\/em> el valor de <em>c,<\/em> pero que, si conllevan a una expresi\u00f3n 0\/0, la funci\u00f3n debe modificarse mediante factorizaci\u00f3n.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es as\u00ed como concluimos nuestra clase. \u00a1Vas avanzando muy bien, te felicito! No olvides que para concluir la sesi\u00f3n debes hacer la tarea asignada y enviarla correctamente. Te encuentro en la siguiente clase, hasta luego.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Fuentes de consulta<\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Beltr\u00e1n, J. (2016). C\u00e1lculo de una variable: l\u00edmites y continuidad. MatU: Matem\u00e1ticas de la U. Calarc\u00e1, Colombia. En l\u00ednea: <a href=\"https:\/\/www.calculo.jcbmat.com\/id301.htm\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">https:\/\/www.calculo.jcbmat.com\/id301.htm<\/a><\/li>\n\n\n\n<li>Flores, A. A. (2016). L\u00edmites y Continuidad. Pp:6-14. Barcelona, Espa\u00f1a. En l\u00ednea: <a href=\"http:\/\/docs.uprb.edu\/deptmate\/materiales%20de%20cursos\/MATE%203031\/Material%20Suplementario\/Definicion%20de%20Limites.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">http:\/\/docs.uprb.edu\/deptmate\/materiales%20de%20cursos\/MATE%203031\/Material%20Suplementario\/Definicion%20de%20Limites.pdf<\/a><\/li>\n\n\n\n<li>Hern\u00e1ndez, S. E. (2002). C\u00e1lculo diferencial e integral: l\u00edmites y continuidad. Revista digital matem\u00e1tica, educaci\u00f3n. En l\u00ednea: <a href=\"https:\/\/tecdigital.tec.ac.cr\/revistamatematica\/cursos-linea\/CALCULODIFERENCIAL\/curso-elsie\/limitesycontinuidad\/html\/node3.html\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">https:\/\/tecdigital.tec.ac.cr\/revistamatematica\/cursos-linea\/CALCULODIFERENCIAL\/curso-elsie\/limitesycontinuidad\/html\/node3.html<\/a><\/li>\n\n\n\n<li>Purcell, E., Varberg, D. y Rigdon, S. (2007). C\u00e1lculo diferencial e integral. Pearson Educaci\u00f3n. 9na ed. Estado de M\u00e9xico, M\u00e9xico. Pp:55-91. En l\u00ednea: <a href=\"https:\/\/www.cimat.mx\/ciencia_para_jovenes\/bachillerato\/libros\/%5BPurcell,Varberg,Rigdon%5DCalculo\/%5BPurcell,Varberg,Rigdon%5DCalculo.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">https:\/\/www.cimat.mx\/ciencia_para_jovenes\/bachillerato\/libros\/%5BPurcell,Varberg,Rigdon%5DCalculo\/%5BPurcell,Varberg,Rigdon%5DCalculo.pdf<\/a><\/li>\n\n\n\n<li>&nbsp;Universidad Aut\u00f3noma de Ciudad Ju\u00e1rez. (UACJ) (2016). C\u00e1lculo diferencial: L\u00edmites. Matem\u00e1ticas en Movimiento. Chihuahua, M\u00e9xico. En l\u00ednea:&nbsp; <a href=\"http:\/\/www3.uacj.mx\/CGTI\/CDTE\/JPM\/Documents\/IIT\/sterraza\/mate2016\/COMBFUNCIONES\/comb_intro.html\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">http:\/\/www3.uacj.mx\/CGTI\/CDTE\/JPM\/Documents\/IIT\/sterraza\/mate2016\/COMBFUNCIONES\/comb_intro.html<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>1. Fundamentaci\u00f3n del tema Anteriormente, en el desarrollo del tema Funciones, se hab\u00eda descrito la importancia de estas expresiones algebraicas para la contadur\u00eda p\u00fablica y para la administraci\u00f3n, pues dan origen a muchos modelos financieros que ayudan a describir el comportamiento de variables econ\u00f3micas importantes, tales como la oferta y la demanda. No obstante, los &#8230; <a title=\"Clase digital 2. L\u00edmites y continuidad de funciones algebraicas\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/contador\/clase-digital-2-limites-y-continuidad-de-funciones-algebraicas\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 2. 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