{"id":15431,"date":"2022-07-07T02:11:52","date_gmt":"2022-07-07T02:11:52","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=15431"},"modified":"2022-07-16T00:22:46","modified_gmt":"2022-07-16T00:22:46","slug":"clase-digital-3-derivada-y-en-el-concepto-de-continuidad-de-una-funcion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-3-derivada-y-en-el-concepto-de-continuidad-de-una-funcion\/","title":{"rendered":"Clase digital 3. Derivada y en el concepto de continuidad de una funci\u00f3n"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-cover__background has-background-dim-40 has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-16037\" alt=\"Monochrome Photo of Math Formulas\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/3729557.jpg\" style=\"object-position:59% 55%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"59% 55%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1600\" height=\"1067\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-16037\" alt=\"Monochrome Photo of Math Formulas\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/3729557.jpg\" style=\"object-position:59% 55%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"59% 55%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/3729557.jpg 1600w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/3729557-300x200.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/3729557-1024x683.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/3729557-768x512.jpg 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/3729557-1536x1024.jpg 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/3729557-272x182.jpg 272w\" sizes=\"auto, (max-width: 1600px) 100vw, 1600px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">Derivada y en el concepto de continuidad de una funci\u00f3n<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Me da gusto poder saludarte de nuevo y que contin\u00faes en este camino que vas comenzando para desarrollar tus habilidades en el curso de C\u00e1lculo Diferencial.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En esta clase profundizaremos en la definici\u00f3n e interpretaci\u00f3n geom\u00e9trica de la derivada y en el concepto de continuidad de una funci\u00f3n. El estudio del c\u00e1lculo diferencial tiene como eje central al operador de la derivada. El desarrollo de este operador fue fruto del trabajo, investigaci\u00f3n e ingenio de Isaac Newton qui\u00e9n gracias a sus desarrollos cient\u00edficos y matem\u00e1ticos posibilit\u00f3 el surgimiento del c\u00e1lculo diferencial y la aplicaci\u00f3n de esta \u00e1rea de las matem\u00e1ticas a la soluci\u00f3n de problemas cient\u00edficos diversos.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Mientras Newton estaba en casa debido a una peste que oblig\u00f3 el cierre de las escuelas estableci\u00f3 las bases del c\u00e1lculo diferencial. El m\u00e9todo de las fluxiones, como \u00e9l lo llam\u00f3, estaba basado en la idea de que la integraci\u00f3n de una funci\u00f3n era el procedimiento inverso de su derivaci\u00f3n. De este modo, al considerar a la derivaci\u00f3n como la operaci\u00f3n fundamental Newton produjo sencillos m\u00e9todos anal\u00edticos que permitieron unificar muchas t\u00e9cnicas desarrolladas en a\u00f1os anteriores asociadas al c\u00e1lculo de \u00e1reas, tangentes, longitudes de curvas y m\u00e1ximos y m\u00ednimos de funciones. Newton escribi\u00f3 su trabajo de investigaci\u00f3n relativo al c\u00e1lculo diferencial (De Methodis Serierum et Fluxionum) en 1671; sin embargo, no pudo publicarlo y \u00e9ste no apareci\u00f3 impreso sino hasta que John Colson lo tradujo al ingl\u00e9s en 1736.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El entendimiento de la definici\u00f3n de la derivada te permitir\u00e1 en las clases siguientes dominar las reglas b\u00e1sicas de derivaci\u00f3n y ser capaz de derivar directamente las funciones algebraicas, trascendente y de orden superior.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sin m\u00e1s que decir demos paso al estudio de la derivada y su definici\u00f3n e interpretaci\u00f3n geom\u00e9trica.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">la velocidad en funci\u00f3n del tiempo. Por esto, se introdujeron conceptos asociados al estudio de la variaci\u00f3n de las funciones a partir de la introducci\u00f3n de peque\u00f1os cambios en las variables independientes. Esta evoluci\u00f3n dio como consecuencia el nacimiento de diferentes disciplinas, entre las que est\u00e1 el c\u00e1lculo diferencial, que b\u00e1sicamente estudia la variaci\u00f3n y los procesos de cambio. El c\u00e1lculo es la matem\u00e1tica del movimiento y del cambio, y como puedes ver, nada puede existir en el universo sin que sufra un cambio, de tal suerte no nos sorprende la inmensa variedad de aplicaciones que tiene el c\u00e1lculo tanto diferencial como integral.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El desarrollo de la derivada estuvo ligado a la F\u00edsica y m\u00e1s concretamente a los trabajos que Isaac Newton realiz\u00f3 en materia del movimiento de los cuerpos. Para Newton era importante conocer la velocidad instant\u00e1nea de cualquier objeto; sin embargo, esto no era posible con las matem\u00e1ticas que se ten\u00edan desarrolladas hasta ese momento de la historia. Esto motiv\u00f3 a Newton a desarrollar un \u00e1rea nueva de las matem\u00e1ticas que permitiera el estudio de este tipo de fen\u00f3menos. Al igual que Newton, hab\u00eda otro grupo de matem\u00e1ticos que se enfrentaban a las limitaciones de las matem\u00e1ticas existentes en materia saber el c\u00f3mo una recta secante se podr\u00eda convertir en una recta tangente moviendo un solo punto.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En el siglo XVII la matem\u00e1tica se apoyaba en la geometr\u00eda y el \u00e1lgebra para buscar sustento a sus afirmaciones. Concretamente, en el c\u00e1lculo infinitesimal se siguieron l\u00edneas que permitieron dar sustento conceptual, tales como la existencia de funciones continuas. En 1872, Karl Weierstrass public\u00f3 su trabajo referente a la existencia de funciones continuas que en algunos puntos no ten\u00edan derivada; las consecuencias de este teorema fueron de una enorme trascendencia en su \u00e9poca. De este modo, en ese tiempo fue aceptado por la comunidad que una funci\u00f3n era continua si su gr\u00e1fica se pod\u00eda trazar sin despegar el l\u00e1piz del papel. Esta idea ha prevalecido incluso hasta nuestros tiempos; permitiendo que todas las personas puedan tener una idea informal de la continuidad de una funci\u00f3n. El trabajo de Karl Weierstrass permiti\u00f3 demostrar que se pod\u00eda hablar de la continuidad de una funci\u00f3n en un lenguaje totalmente anal\u00edtico y sin necesidad de recurrir a figuras o elementos geom\u00e9tricos.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Continuidad de una funci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una funci\u00f3n f(x) es continua en el punto x<sub>0<\/sub> si cumple las siguientes condiciones:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">a) f(x<sub>0<\/sub>) est\u00e1 definida.<br>b) f(x) existe.<br>c) f(x) = f (X<sub>0<\/sub>)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Ejemplo<\/strong>: Determina si la siguiente funci\u00f3n es continua en x<sub>0<\/sub> =2.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Se debe verificar que la funci\u00f3n cumpla con las tres condiciones arriba citadas:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">a) f(2)= (2)<sup>2<\/sup>-1=4-1=3, por lo tanto f(x) est\u00e1 definida en x<sub>0<\/sub>=2<br>b) Se calcula el valor del l\u00edmite: f(x) = (x<sup>2<\/sup>-1) =(2)<sup>2<\/sup>-1=4-1=3, entonces el L\u00edmite existe.<br>c) Como f(x)=3 y f(2)=3 entonces f(x) =f(x<sub>0<\/sub>) y por tanto f(x) es continua.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Definici\u00f3n Formal de una derivada<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sea f (x) una funci\u00f3n, se define a su derivada f\u00b4(x), como:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/Definicion-de-una-derivada.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-15962\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"616\" height=\"187\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/Definicion-de-una-derivada.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-15962\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/Definicion-de-una-derivada.jpg 616w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/Definicion-de-una-derivada-300x91.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 616px) 100vw, 616px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Interpretaci\u00f3n Geom\u00e9trica de la derivada<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La interpretaci\u00f3n geom\u00e9trica de la derivada se sustenta en la premisa de que el valor de la derivada en cualquier punto de la curva es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto. De este modo se tiene que:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/derivada.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-15963\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"689\" height=\"702\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/derivada.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-15963\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/derivada.jpg 689w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/derivada-294x300.jpg 294w\" sizes=\"auto, (max-width: 689px) 100vw, 689px\" \/><\/noscript><figcaption>Figura 1. Interpretaci\u00f3n geom\u00e9trica de la derivada.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A fin de calcular la derivada de una funci\u00f3n mediante la definici\u00f3n formal de la de las derivadas es necesario seguir la denominada Regla de los cuatro pasos, la cual establece los siguiente:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si y=f(x) es una funci\u00f3n entonces:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-15964\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"723\" height=\"703\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-15964\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/1.jpg 723w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/07\/1-300x292.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 723px) 100vw, 723px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Por tanto, la derivada de la funci\u00f3n f(x)=5x-6 es f\u00b4(x)=5.<br><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En conclusi\u00f3n, de esta clase nos hemos concentrado en el concepto de la derivada y su interpretaci\u00f3n geom\u00e9trica. Este concepto constituye la base de los temas que revisaremos en sesiones subsecuentes.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A lo largo de la sesi\u00f3n, hemos revisado que el concepto de derivada se aplica en todos aquellos problemas en los que es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situaci\u00f3n. Por ello es una herramienta fundamental para la soluci\u00f3n de problemas en los estudios de F\u00edsica, Qu\u00edmica y Biolog\u00eda. La derivaci\u00f3n constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales puesto que nos indica la tasa de variaci\u00f3n de la funci\u00f3n en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si \u00e9sta no es el tiempo. Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una funci\u00f3n es que la pendiente o inclinaci\u00f3n de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instant\u00e1neo. De esta manera, cuanto mayor es la inclinaci\u00f3n de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la funci\u00f3n en las proximidades del punto. Adem\u00e1s de saber calcular la derivada de una funci\u00f3n en un punto, es conveniente que seas capaz de determinar r\u00e1pidamente la funci\u00f3n derivada de cualquier funci\u00f3n. La derivada nos informar\u00e1 la rapidez con la que va cambiando el valor de la funci\u00f3n en el punto considerado.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En la clase siguiente continuaremos con el estudio de las derivadas. Te invit\u00f3 a que sigas mostrando esa actitud proactiva al trabajo y esa gran motivaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Hemos llegado al final de la clase, vas por buen camino, todav\u00eda falta terreno por recorrer \u00a1S\u00e9 persistente, no desistas! Para concluir la clase te invito a que realices y mandes como corresponde la tarea asignada.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1\u00a1\u00a1Nos vemos en la pr\u00f3xima sesi\u00f3n!!!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"fuentes-de-informacion\">Fuentes de informaci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li><a href=\"https:\/\/www.cobach.edu.mx\/doctos\/guias-academicas-propedeuticas\/GuiaCalculoDiferencial.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Gu\u00eda did\u00e1ctica C\u00e1lculo diferencial<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/www.uaeh.edu.mx\/docencia\/P_Presentaciones\/prepa_ixtlahuaco\/2019\/4\/Calculo.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Definici\u00f3n de derivada<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/www.mat.uson.mx\/~jldiaz\/Documents\/Derivadas\/FTDefinicion-5.2.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">La derivada<\/a><\/li><\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola! Me da gusto poder saludarte de nuevo y que contin\u00faes en este camino que vas comenzando para desarrollar tus habilidades en el curso de C\u00e1lculo Diferencial. En esta clase profundizaremos en la definici\u00f3n e interpretaci\u00f3n geom\u00e9trica de la derivada y en el concepto de continuidad de una funci\u00f3n. El estudio del c\u00e1lculo diferencial &#8230; <a title=\"Clase digital 3. Derivada y en el concepto de continuidad de una funci\u00f3n\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-3-derivada-y-en-el-concepto-de-continuidad-de-una-funcion\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 3. Derivada y en el concepto de continuidad de una funci\u00f3n\">Leer m\u00e1s<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":142,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"_crdt_document":"","episode_type":"","audio_file":"","podmotor_file_id":"","podmotor_episode_id":"","cover_image":"","cover_image_id":"","duration":"","filesize":"","filesize_raw":"","date_recorded":"","explicit":"","block":"","itunes_episode_number":"","itunes_title":"","itunes_season_number":"","itunes_episode_type":"","footnotes":""},"categories":[83,288,293,445],"tags":[41,447,446],"class_list":["post-15431","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-bachillerato-general","category-plan-2020","category-quinto-semestre","category-uda-calculo-diferencial-quinto-semestre","tag-clase-digital","tag-juan-antonio-sanchez-marquez","tag-neba04006"],"acf":[],"jetpack_featured_media_url":"","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/15431","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/users\/142"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=15431"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/15431\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":16038,"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/15431\/revisions\/16038"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=15431"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=15431"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=15431"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}