{"id":2085,"date":"2021-12-22T21:16:55","date_gmt":"2021-12-22T21:16:55","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=2085"},"modified":"2022-02-08T20:18:32","modified_gmt":"2022-02-08T20:18:32","slug":"clase-digital-2-leyes-de-conservacion-del-movimiento-de-fluidos-y-condiciones-de-frontera","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-2-leyes-de-conservacion-del-movimiento-de-fluidos-y-condiciones-de-frontera\/","title":{"rendered":"Clase digital 2. Leyes de conservaci\u00f3n del movimiento de fluidos y condiciones de frontera"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover is-light\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"has-background-dim-40 wp-block-cover__gradient-background has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-2087\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-abdulwahab-alawadhi-3422964-scaled.jpg\" style=\"object-position:70% 57%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"70% 57%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"2560\" height=\"1440\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-2087\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-abdulwahab-alawadhi-3422964-scaled.jpg\" style=\"object-position:70% 57%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"70% 57%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-abdulwahab-alawadhi-3422964-scaled.jpg 2560w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-abdulwahab-alawadhi-3422964-300x169.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-abdulwahab-alawadhi-3422964-1024x576.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-abdulwahab-alawadhi-3422964-768x432.jpg 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-abdulwahab-alawadhi-3422964-1536x864.jpg 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-abdulwahab-alawadhi-3422964-2048x1152.jpg 2048w\" sizes=\"auto, (max-width: 2560px) 100vw, 2560px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">Leyes de conservaci\u00f3n del movimiento <br>de fluidos y condiciones de frontera<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es un gusto encontrarte nuevamente, espero que est\u00e9s aprendiendo mucho, sobre todo, que tu \u00e1nimo no decaiga y sigas conociendo m\u00e1s acerca de los temas que se te presentan. Te invito a continuar en la segunda clase que incluye los temas:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\"><li>Leyes de conservaci\u00f3n del movimiento de fluidos y condiciones de frontera<\/li><li>Aspectos b\u00e1sicos de discretizaci\u00f3n<\/li><li>Errores e incertidumbre en el modelado de la din\u00e1mica de fluidos computacionales<\/li><\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Durante esta sesi\u00f3n, revisaremos los conceptos fundamentales sobre las leyes de conservaci\u00f3n. En particular, pondremos especial atenci\u00f3n a la conservaci\u00f3n de la masa, energ\u00eda y momento. Es muy importante para esta unidad de aprendizaje entender como expresar las leyes de conservaci\u00f3n en t\u00e9rminos de ecuaciones diferenciales, ya que estas son las que se requieren para la aplicaci\u00f3n del m\u00e9todo del elemento finito. Como ver\u00e1s en los pr\u00f3ximos temas, el volumen finito implica aplicar las leyes de conservaci\u00f3n en peque\u00f1os vol\u00famenes de control.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Por otra parte, este tema te ayudar\u00e1 a entender c\u00f3mo el m\u00e9todo de volumen finito induce ciertos errores de aproximaci\u00f3n, y la importancia de rastrear el error que se induce al discretizar ecuaciones de conservaci\u00f3n. Adem\u00e1s, como se mencion\u00f3 en el tema anterior se repasar\u00e1 la idea de independencia de mallado y del m\u00e9todo num\u00e9rico de la soluci\u00f3n en la respuesta obtenida. Esto es, ya que el m\u00e9todo num\u00e9rico es un artificio matem\u00e1tico, la respuesta f\u00edsica no puede depender de la elecci\u00f3n del m\u00e9todo num\u00e9rico.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Otro error que se induce al resolver las ecuaciones de conservaci\u00f3n por el m\u00e9todo del volumen finito reside en el error propio del m\u00e9todo num\u00e9rico de soluci\u00f3n de las ecuaciones algebraicas finales. Esto es, el error que se tiene en el m\u00e9todo del volumen finito al discretizar una ecuaci\u00f3n diferencial estar\u00e1 compuesto de:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\"><li>El error de la discretizaci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n diferencial y<\/li><li>El error debido a la forma de resolver las ecuaciones algebr\u00e1icas<\/li><\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">As\u00ed que, te invito a comenzar con buena actitud esta clase repasando las ecuaciones de conservaci\u00f3n que de seguro ya conoces.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema <\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"leyes-de-conservacion-del-movimiento-de-fluidos\">Leyes de conservaci\u00f3n del movimiento de fluidos<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En el estudio de las ecuaciones de conservaci\u00f3n usualmente se tienen dos puntos de vista. El primero que es llamado el punto de vista Euleriano, implica que las variables de inter\u00e9s son observadas por un observador que se encuentra en un marco de referencia independiente. Puedes entender esto, como cuando observas la televisi\u00f3n y ves c\u00f3mo los objetos se mueven en la pantalla. As\u00ed es como el punto de vista Euleriano funciona. Desde este punto de vista, la variable dependiente, por ejemplo, la velocidad, la temperatura o la concentraci\u00f3n de alguna especie, depende de coordenadas en la cual est\u00e1 alg\u00fan objeto o part\u00edcula de inter\u00e9s. Y las variables independientes ser\u00e1n la posici\u00f3n espacial as\u00ed como el tiempo en el cual se hace el registro de la observaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El segundo punto de vista, que es conocido como el punto de vista Lagrangiano, implica imaginar unas fronteras de tama\u00f1o y forma variable, pero con una masa constante.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T2P1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2088\" width=\"612\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T2P1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2088\" width=\"612\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T2P1.jpg 512w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T2P1-300x200.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T2P1-272x182.jpg 272w\" sizes=\"(max-width: 512px) 100vw, 512px\" \/><\/noscript><figcaption>Imagen 1. Joseph Louis Lagrange cre\u00f3 el c\u00e1lculo de variaciones y contribuy\u00f3 al c\u00e1lculo de diferencias finitas con la f\u00f3rmula de interpolaci\u00f3n que lleva su nombre.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En este punto de vista, lo puedes imaginar como si estuvieras montado en una part\u00edcula que est\u00e1 en movimiento y observas c\u00f3mo las dem\u00e1s part\u00edculas se mueven contigo a una velocidad relativa a ti. En este punto de vista, las variables espaciales y el tiempo no son variables independientes y si sabes c\u00f3mo el sistema de masa constante se comporta en un tiempo inicial se puede determinar por completo qu\u00e9 ocurrir\u00e1 en un tiempo posterior.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Estos dos puntos de vista no son independientes. Es decir, lo que puedas concluir en un punto de vista es exactamente lo que puedes concluir en el otro. Y de hecho, ambos puntos de vista los podemos conectar a trav\u00e9s del teorema de transporte de Reynolds. Este teorema de fundamental importancia en el estudio de las ecuaciones de conservaci\u00f3n puedes entenderlo como una forma de mapear los t\u00e9rminos Lagrangianos y Eulerianos. Y desde el punto de vista Euleriano que es en el marco donde se est\u00e1n definidas las herramientas del c\u00e1lculo diferencial e integral que ya conoces es posible realizar la discretizaci\u00f3n o integraci\u00f3n para conocer la variable de inter\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Te invito a visualizar la siguiente presentaci\u00f3n titulada <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/personal\/cesar_damian_ugto_mx\/_layouts\/15\/onedrive.aspx?id=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D2%2F1%2DEcuaciones%2Dde%2Dconservacion%2Epdf&amp;parent=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D2\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Leyes de conservaci\u00f3n del movimiento de los fluidos<\/a> donde podr\u00e1s entender con m\u00e1s detalles c\u00f3mo se escriben las ecuaciones de movimiento en forma diferencial usando estas herramientas.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"aspectos-basicos-de-discretizacion\">Aspectos b\u00e1sicos de discretizaci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una vez que se tiene la ecuaci\u00f3n de conservaci\u00f3n que se quiere discretizar (que depende del fen\u00f3meno f\u00edsico de inter\u00e9s) es tiempo de comenzar el proceso de discretizaci\u00f3n. Durante este paso, la ecuaci\u00f3n de conservaci\u00f3n es integrada para reducir el orden de la ecuaci\u00f3n y se analizan las derivadas de la ecuaci\u00f3n en puntos de frontera conocidos como puntos de integraci\u00f3n. Estos puntos de integraci\u00f3n te dar\u00e1n informaci\u00f3n sobre la aproximaci\u00f3n de este paso. Sin embargo, usualmente despu\u00e9s de este proceso la ecuaci\u00f3n diferencial parcial a\u00fan depende de algunas derivadas evaluadas en los puntos de integraci\u00f3n. Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones semi-discretizadas. Como se observa en el volumen de control mostrado en la Figura 1, si tuvieras por ejemplo un flujo de energ\u00eda en un peque\u00f1o elemento, la cantidad que entra por un lado del elemento deber\u00e1 ser igual a la cantidad de energ\u00eda que sale por el lado opuesto. Y para elementos s\u00f3lidos el flujo de energ\u00eda es directamente proporcional al gradiente de la temperatura. Este gradiente es una ecuaci\u00f3n diferencial de primer orden, y en este caso est\u00e1 evaluado en las fronteras del volumen de control.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T2P2.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2089\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"512\" height=\"273\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T2P2.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2089\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T2P2.png 512w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T2P2-300x160.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 512px) 100vw, 512px\" \/><\/noscript><figcaption>Figura 1. Volumen de control de un elemento diferencial.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Por tanto, la ecuaci\u00f3n final despu\u00e9s de la integraci\u00f3n depender\u00e1 del flujo de calor y por consiguiente del gradiente de temperatura. Te invito a visualizar la siguiente presentaci\u00f3n titulada <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/personal\/cesar_damian_ugto_mx\/_layouts\/15\/onedrive.aspx?id=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D2%2F2%2DSlides%2DAlgoritmos%2Epdf&amp;parent=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D2\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Errores e incertidumbre en el modelado CFD<\/a> donde se presenta a detalle c\u00f3mo llegar a esta forma semi-discretizada.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"aspectos-basicos-de-discretizacion\">Aspectos b\u00e1sicos de discretizaci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En el \u00faltimo paso de la discretizaci\u00f3n es necesario utilizar aproximaciones para poder pasar de la forma semi-discretizada a una forma completamente discretizada. En este paso, nuevamente se induce un error de aproximaci\u00f3n que hay que tomar en cuenta en el proceso. El proceso para pasar entonces de la ecuaci\u00f3n semidiscretizada a la ecuaci\u00f3n completamente discretizada consiste en tomar una aproximaci\u00f3n tomando en cuenta una expansi\u00f3n de series de Taylor, y dependiendo de donde se trunque la serie ser\u00e1 el error de esta aproximaci\u00f3n. En este paso podr\u00e1s observar que entre m\u00e1s t\u00e9rminos en la expansi\u00f3n de la serie de Taylor se tomen en cuenta, la exactitud de la aproximaci\u00f3n ser\u00e1 mejor. Sin embargo, esto tiene el costo de que se requerir\u00e1n m\u00e1s operaciones matem\u00e1ticas para resolver el problema y dependiendo de la experiencia del programador hay que balancear el coste\/beneficio de usar un esquema muy preciso contra el tiempo de c\u00f3mputo.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Finalmente, como se mencion\u00f3 en l\u00edneas anteriores, es necesario resolver un sistema de ecuaciones algebraicas por alg\u00fan m\u00e9todo num\u00e9rico. En el volumen finito, el n\u00famero de variables que usualmente se tienen para resolver es muy grande, por lo que tratar de resolver este sistema de ecuaciones por un m\u00e9todo directo es muy alto y por tanto este sistema suele resolverse por un m\u00e9todo iterativo, de nuevo induciendo un error al establecer un criterio de convergencia.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Te invito a visualizar la siguiente presentaci\u00f3n titulada <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/personal\/cesar_damian_ugto_mx\/_layouts\/15\/onedrive.aspx?id=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D2%2F3%2DAspectos%2DBasicos%2Ddiscretizacion%2Epdf&amp;parent=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D2\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Aspectos b\u00e1sicos de discretizaci\u00f3n<\/a> donde encontrar\u00e1s detalladamente c\u00f3mo calcular los errores de discretizaci\u00f3n en este proceso.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A continuaci\u00f3n te muestro la informaci\u00f3n m\u00e1s relevante que debes recordar de esta sesi\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las ecuaciones de conservaci\u00f3n son la base para el m\u00e9todo del volumen finito. Es decir, este m\u00e9todo se basa en la discretizaci\u00f3n de dichas ecuaciones. Entonces, como ingeniero usualmente ser\u00e1 necesario entender qu\u00e9 pasa con un determinado equipo t\u00e9rmico o qu\u00e9 sucede con los elementos internos del mismo sin necesidad de desmontarlo. Por ello, al conocer las ecuaciones matem\u00e1ticas que describen el fen\u00f3meno obtendr\u00e1s una herramienta poderosa para proponer mejoras al equipo t\u00e9rmico. Aqu\u00ed es donde tu habilidad para discretizar las ecuaciones ser\u00e1 de vital importancia.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En el proceso de aplicar el m\u00e9todo del volumen finito es necesario tomar decisiones y tu experiencia ser\u00e1 importante para obtener resultados confiables, por ello recuerda que siempre puedes consultar los foros recomendados de la web para aprender de los dem\u00e1s usuarios.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sin embargo, como se vi\u00f3 en este tema el aplicar el m\u00e9todo del volumen finito sin entender los errores que se inducen te pueden llevar a concluir cosas equivocadas. Por ello, siempre deber\u00e1s tomar en cuenta los errores que se inducen y garantizar que la respuesta que das no dependa ni del m\u00e9todo de soluci\u00f3n ni del n\u00famero de elementos que utilices.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es as\u00ed como finalizamos nuestra segunda clase. \u00a1Vas avanzando muy bien, te felicito! No olvides que para concluir la sesi\u00f3n debes hacer la tarea asignada y enviarla. Te encuentro en la siguiente clase, hasta luego.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"fuentes-de-informacion\">Fuentes de informaci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Moukalled, F., Mangani, L., &amp; Darwish, M. (2016). <em>The finite volume method in computational fluid dynamics<\/em> (Vol. 113, pp. 10-1007). Berlin, Germany: Springer.<\/li><li>Chapra, S. C., &amp; Canale, R. P. (2011). <em>Numerical methods for engineers<\/em> (Vol. 2). New York: Mcgraw-hill.<\/li><li>White, F. (2015). <em>Fluid Mechanics<\/em> (8a ed.). McGraw-Hill.<\/li><\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola! Es un gusto encontrarte nuevamente, espero que est\u00e9s aprendiendo mucho, sobre todo, que tu \u00e1nimo no decaiga y sigas conociendo m\u00e1s acerca de los temas que se te presentan. Te invito a continuar en la segunda clase que incluye los temas: Leyes de conservaci\u00f3n del movimiento de fluidos y condiciones de frontera Aspectos &#8230; <a title=\"Clase digital 2. Leyes de conservaci\u00f3n del movimiento de fluidos y condiciones de frontera\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-2-leyes-de-conservacion-del-movimiento-de-fluidos-y-condiciones-de-frontera\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 2. 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