{"id":2091,"date":"2021-12-22T21:17:20","date_gmt":"2021-12-22T21:17:20","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=2091"},"modified":"2022-02-08T20:18:41","modified_gmt":"2022-02-08T20:18:41","slug":"clase-digital-3-el-metodo-de-volumen-finito-para-problemas-difusivos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-3-el-metodo-de-volumen-finito-para-problemas-difusivos\/","title":{"rendered":"Clase digital 3. El m\u00e9todo de volumen finito para problemas difusivos"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover is-light\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"has-background-dim-40 wp-block-cover__gradient-background has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-2092\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-pixabay-60006-scaled.jpg\" style=\"object-position:56% 10%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"56% 10%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"2560\" height=\"1629\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-2092\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-pixabay-60006-scaled.jpg\" style=\"object-position:56% 10%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"56% 10%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-pixabay-60006-scaled.jpg 2560w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-pixabay-60006-300x191.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-pixabay-60006-1024x651.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-pixabay-60006-768x489.jpg 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-pixabay-60006-1536x977.jpg 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/pexels-pixabay-60006-2048x1303.jpg 2048w\" sizes=\"auto, (max-width: 2560px) 100vw, 2560px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">El m\u00e9todo de volumen finito<br>para problemas difusivos<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Qu\u00e9 gusto poder encontrarte en esta nueva sesi\u00f3n, espero que sigas descubriendo esta unidad de aprendizaje <strong>Introducci\u00f3n al volumen finito<\/strong> y lo encuentres fascinante, en esta ocasi\u00f3n abordaremos el tema: El m\u00e9todo de volumen finito para problemas difusivos.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En este tema aprender\u00e1s acerca de la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n en estado estable, la cual representa el flujo de alguna cantidad conservada a trav\u00e9s de un medio. En particular nos referiremos al caso de la energ\u00eda, donde la variable dependiente ser\u00e1 la temperatura. En este caso, se le conoce como la ecuaci\u00f3n de calor. Esta ecuaci\u00f3n representa de una forma matem\u00e1tica la ley de la conservaci\u00f3n de la energ\u00eda que se deriva de la primera ley de la termodin\u00e1mica y es de suma importancia en todos los procesos que involucren cambios de temperatura en medios s\u00f3lidos.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La ecuaci\u00f3n de calor, describe c\u00f3mo se comporta la temperatura en un medio s\u00f3lido. Por ejemplo, si te interesa saber c\u00f3mo fluye el calor en una superficie extendida, la ecuaci\u00f3n gobernante ser\u00e1 la ecuaci\u00f3n de calor. Esta ecuaci\u00f3n tambi\u00e9n toma un papel muy importante en el estudio de intercambiadores de calor, enfriamiento de microchips y en el dise\u00f1o de paredes aislantes.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Matem\u00e1ticamente, esta ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n es una ecuaci\u00f3n diferencial parab\u00f3lica y durante este tema explorar\u00e1s c\u00f3mo se discretiza llev\u00e1ndola a un sistema de ecuaciones algebr\u00e1icas que pueden ser resueltas por los m\u00e9todos iterativos que se estudiaron en el tema anterior. Adem\u00e1s, las ecuaciones algebraicas que resultan de la discretizaci\u00f3n tienen la propiedad de ser diagonalmente dominantes, lo cual ser\u00e1 un prototipo de ecuaci\u00f3n para entender la estabilidad de los m\u00e9todos iterativos.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">No dudes en repasar los t\u00e9rminos de clases anteriores que a\u00fan se te dificultan ya que a lo largo del presente tema esta terminolog\u00eda ser\u00e1 usada de forma continua.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En este contexto, espero que el desarrollo de esta clase te resulte interesante. \u00a1Comencemos!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema <\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"ecuacion-de-difusion\">Ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n describe el movimiento de la materia, el momento o la energ\u00eda a trav\u00e9s de un medio. Este movimiento es debido al gradiente de alguna de estas cantidades. En general, el fen\u00f3meno de difusi\u00f3n est\u00e1 representado por la segunda derivada de una variable tal como la velocidad o temperatura con respecto a una posici\u00f3n espacial. En particular, cuando la variable de inter\u00e9s es la temperatura la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n expresa la raz\u00f3n de cambio del calor debido a este gradiente y la ecuaci\u00f3n es conocida como la ecuaci\u00f3n de calor. En el siguiente video podr\u00e1s ver una animaci\u00f3n relacionada con la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Que significa la ECUACION de CALOR \ud83d\ude09\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/jkChdx9A4rg?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Durante este tema nos enfocaremos en el estado estable, el cual es definido como el estado en el l\u00edmite de un tiempo infinito. Esto implica que cualquier dependencia temporal de la temperatura (en el caso de la ecuaci\u00f3n de calor) es despreciable.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n es una ecuaci\u00f3n diferencial parab\u00f3lica, y esta propiedad se ve reflejada al momento de su discretizaci\u00f3n. Esto es, en las ecuaciones parab\u00f3licas para poder entender lo que pasa en un medio, es necesario conocer lo que pasa en las fronteras, y esta informaci\u00f3n se propaga a todo el medio. Sin embargo, este proceso se hace a una velocidad sin l\u00edmite por lo que esta ecuaci\u00f3n solo describe fen\u00f3menos que no se encuentran muy fuera del equilibrio. Para m\u00e1s informaci\u00f3n acerca de procesos muy fuera del equilibrio te invito a revisar la referencia 3.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En el proceso de discretizaci\u00f3n, tal como lo hicimos en los temas pasados es necesario pasar de la ecuaci\u00f3n diferencial parcial a una ecuaci\u00f3n semidiscretizada. Este procedimiento se realiza mediante la integraci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de conservaci\u00f3n. Posteriormente, los t\u00e9rminos semidiscretizados son aproximados mediante aproximaciones de Taylor.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T3P1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2093\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"512\" height=\"358\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T3P1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2093\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T3P1.png 512w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T3P1-300x210.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 512px) 100vw, 512px\" \/><\/noscript><figcaption>Imagen 1. En matem\u00e1ticas aplicadas, la discretizaci\u00f3n es el proceso de transferir funciones continuas, modelos, variables y ecuaciones a contrapartes discretas.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El resultado de este proceso de discretizaci\u00f3n es un sistema de ecuaciones algebraicas donde el t\u00e9rmino de la diagonal ser\u00e1 igual o mayor a la suma de todos los t\u00e9rminos fuera de la diagonal. Esta clase de matrices es conocida como matrices diagonalmente dominantes, los cuales implican que el eigenvalor m\u00e1s grande ser\u00e1 menor que la unidad (radio espectral). Y esta es la propiedad que se busca al emplear los m\u00e9todos iterativos, es decir, siempre que se obtenga un sistema de ecuaciones algebraicas con radio espectral menor que 1, el m\u00e9todo converger\u00e1. Aunque esta propiedad es autom\u00e1tica en la discretizaci\u00f3n de los problemas de difusi\u00f3n, no lo es en general, tal como lo veremos en el siguiente tema, cuando se trata de la discretizaci\u00f3n de advecci\u00f3n difusi\u00f3n este es un factor que hay que tomar en cuenta para poder tener resultados coherentes en el proceso de soluci\u00f3n de las ecuaciones algebraicas. En la siguiente presentaci\u00f3n titulada <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/personal\/cesar_damian_ugto_mx\/_layouts\/15\/onedrive.aspx?id=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D3%2FProblemas%2Ddufusivos%2Epdf&amp;parent=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D3\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">El m\u00e9todo del volumen finito para problemas difusivos<\/a>, se muestra con m\u00e1s detalle el proceso de discretizaci\u00f3n para la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para este tema revisaremos tus conocimientos para discretizar la ecuaci\u00f3n de calor. Tomemos el caso de una aleta de secci\u00f3n transversal constante. El prop\u00f3sito de una aleta o superficie extendida es incrementar el \u00e1rea de contacto con alg\u00fan fluido con coeficiente de calor bajo con el fin de incrementar el flujo de calor y esta ecuaci\u00f3n esta representada por una ecuaci\u00f3n diferencial parab\u00f3lica.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En el siguiente enlace podr\u00e1s descargar el <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/personal\/cesar_damian_ugto_mx\/_layouts\/15\/onedrive.aspx?id=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D3%2FProyecto%2D1%2Epdf&amp;parent=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D3\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Proyecto 1<\/a>, relacionado a la discretizaci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de calor. Con lo que has aprendido hasta ahora tendr\u00e1s que encontrar una soluci\u00f3n num\u00e9rica usando la metodolog\u00eda del volumen finito.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para concluir la clase repasemos lo siguiente: durante este tema se revis\u00f3 c\u00f3mo discretizar la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n, la cual es usada para modelar cambios de concentraci\u00f3n, temperatura o momento en un medio con respecto a variables tanto espaciales como temporales. En particular, se enfatiz\u00f3 el uso y la importancia de la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n cuando la variable dependiente es la temperatura. En este caso, los problemas de transferencia de calor en aletas e intercambiadores de calor son analizados a trav\u00e9s de ecuaciones como esta.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En la consigna asignada en este tema podr\u00e1s observar que la condici\u00f3n de interacci\u00f3n de la aleta con un fluido externo es tomada en cuenta en forma de un t\u00e9rmino fuente, es decir, un t\u00e9rmino que depende de la variable dependiente pero no de sus derivadas.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Matem\u00e1ticamente, la ecuaci\u00f3n diferencial es una ecuaci\u00f3n hiperb\u00f3lica cuyas caracter\u00edsticas son heredadas al sistema de ecuaciones algebraicas que se obtienen al final de la discretizaci\u00f3n, es decir, en cada rengl\u00f3n de la ecuaci\u00f3n algebraica los t\u00e9rminos fuera del t\u00e9rmino diagonal est\u00e1n relacionados con todos los t\u00e9rminos alrededor de este, justo como sucede al determinar lo que ocurre en la ecuaci\u00f3n parab\u00f3lica donde es necesario conocer lo que pasa en las fronteras del dominio.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En cuanto a la estabilidad del m\u00e9todo, las ecuaciones en estado estable y parab\u00f3licas siempre llevar\u00e1n a sistemas de ecuaciones algebraicas incondicionalmente estables, con propiedades que te ayudar\u00e1n a entender los criterios de estabilidad en los pr\u00f3ximos temas.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Finalmente, recuerda que en todo proceso de discretizaci\u00f3n de ecuaciones algebraicas es necesario que compruebes que tu respuesta y conclusiones no depende del n\u00famero de elementos que elijas, ya que esto es una mera elecci\u00f3n del ingeniero analista y la respuesta f\u00edsica no puede depender de esto.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Has llegado al final de la sesi\u00f3n y como puedes observar sigues abonando informaci\u00f3n valiosa a tu aprendizaje, te invito a continuar sumando informaci\u00f3n realizando la tarea asignada a esta clase. Recuerda que te espero en la pr\u00f3xima sesi\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"fuentes-de-informacion\">Fuentes de informaci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Moukalled, F., Mangani, L., &amp; Darwish, M. (2016). <em>The finite volume method in computational fluid dynamics<\/em> (Vol. 113, pp. 10-1007). Berlin, Germany: Springer.<\/li><li>Chapra, S. C., &amp; Canale, R. P. (2011). <em>Numerical methods for engineers<\/em> (Vol. 2). New York: Mcgraw-hill.<\/li><li>Lebon, G., Jou, D., &amp; Casas-V\u00e1zquez, J. (2008). <em>Understanding non-equilibrium thermodynamics<\/em> (Vol. 295). Berlin: Springer.<\/li><\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola! Qu\u00e9 gusto poder encontrarte en esta nueva sesi\u00f3n, espero que sigas descubriendo esta unidad de aprendizaje Introducci\u00f3n al volumen finito y lo encuentres fascinante, en esta ocasi\u00f3n abordaremos el tema: El m\u00e9todo de volumen finito para problemas difusivos. En este tema aprender\u00e1s acerca de la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n en estado estable, la cual &#8230; <a title=\"Clase digital 3. El m\u00e9todo de volumen finito para problemas difusivos\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-3-el-metodo-de-volumen-finito-para-problemas-difusivos\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 3. 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