{"id":2095,"date":"2021-12-22T21:17:39","date_gmt":"2021-12-22T21:17:39","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=2095"},"modified":"2022-02-08T20:18:53","modified_gmt":"2022-02-08T20:18:53","slug":"clase-digital-4-el-metodo-de-volumen-finito-para-problemas-convectivo-difusivos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-4-el-metodo-de-volumen-finito-para-problemas-convectivo-difusivos\/","title":{"rendered":"Clase digital 4. El m\u00e9todo de volumen finito para problemas convectivo-difusivos"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"has-background-dim-40 wp-block-cover__gradient-background has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-2097\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/torrent-g598bdd4d6_1920.jpg\" style=\"object-position:61% 39%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"61% 39%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1920\" height=\"1280\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-2097\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/torrent-g598bdd4d6_1920.jpg\" style=\"object-position:61% 39%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"61% 39%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/torrent-g598bdd4d6_1920.jpg 1920w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/torrent-g598bdd4d6_1920-300x200.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/torrent-g598bdd4d6_1920-1024x683.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/torrent-g598bdd4d6_1920-768x512.jpg 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/torrent-g598bdd4d6_1920-1536x1024.jpg 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/torrent-g598bdd4d6_1920-272x182.jpg 272w\" sizes=\"auto, (max-width: 1920px) 100vw, 1920px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">El m\u00e9todo de volumen finito<br>para problemas convectivo-difusivos<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Siempre es un gusto saludarte y saber que tienes el \u00e1nimo para continuar, te invito a seguir en este camino formativo en tu cuarta clase titulada El m\u00e9todo de volumen finito para problemas convectivo-difusivos de la unidad de aprendizaje <strong>Introducci\u00f3n al volumen finito<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Hasta ahora hemos estudiado problemas de discretizaci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n, el cual involucra en el caso de que la variable dependiente es la temperatura, la propagaci\u00f3n de alguna cantidad como el calor a trav\u00e9s de un medio s\u00f3lido. Sin embargo, otro t\u00e9rmino importante que aparece en las ecuaciones de conservaci\u00f3n es el t\u00e9rmino convectivo representado por el operador de divergencia. Este t\u00e9rmino a diferencia de los t\u00e9rminos difusivos no siempre lleva a sistemas estables que permitan una predicci\u00f3n f\u00edsica razonable. Por ejemplo, veremos que existen varias formas de discretizar los cuales se conocen como esquemas de discretizaci\u00f3n y el sistema de ecuaciones algebraicas que se derivar\u00e1 al final depender\u00e1 del esquema seleccionado. Adem\u00e1s, estos esquemas no son incondicionalmente estables como es el caso de los t\u00e9rminos difusivos, en cambio, s\u00f3lo ser\u00e1n estables en ciertos reg\u00edmenes parametrizados por el n\u00famero de Peclet local (recuerda que este n\u00famero adimensional representa la raz\u00f3n de transporte advectivo con respecto al transporte difusivo).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para entender este t\u00e9rmino puedes imaginar un r\u00edo cuya agua se encuentra en movimiento, y t\u00fa est\u00e1s situado en un punto del r\u00edo en el cual puedes estar midiendo el contenido de sal. Luego, en un punto aguas abajo de donde est\u00e1s colocado, una persona arroja un costal de sal, y segundos despu\u00e9s t\u00fa registras un incremento sustancial del contenido de sal, pero conforme esta porci\u00f3n de fluido se mueve, el contenido de sal que registras volver\u00e1 a bajar de forma s\u00fabita. Este fen\u00f3meno puede ser explicado a trav\u00e9s del t\u00e9rmino convectivo, y sus propiedades de transporte estar\u00e1n reflejadas en el proceso de discretizaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En aplicaciones en la ingenier\u00eda, este t\u00e9rmino ayuda a entender no solo el cambio de la concentraci\u00f3n de alguna especie como resultado de un proceso qu\u00edmico. Tambi\u00e9n sirve para entender c\u00f3mo fluye el calor o el momento en un fluido.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Espero te resulte interesante esta clase, empecemos!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema <\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"ecuacion-de-adveccion\">Ecuaci\u00f3n de advecci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para comenzar considera la ecuaci\u00f3n de advecci\u00f3n pura. Esta se consigue despreciando los t\u00e9rminos difusivos. En el caso de una sola dimensi\u00f3n, esta ecuaci\u00f3n implica una derivada total del cambio de un flujo (tal como el flujo de momento, el flujo de calor o flujo de alguna especie) , y por tanto expresa la conservaci\u00f3n de dicho flujo. En particular para el caso de advecci\u00f3n pura, una forma de resolver un problema donde las condiciones de frontera cambian de una frontera a otra implica un cambio s\u00fabito de la variable dependiente la cual puede ser expresada por una funci\u00f3n de paso. Este problema, aunque no es muy realista (puesto que todos los fen\u00f3menos de transporte involucran una mezcla de transporte por advecci\u00f3n y difusi\u00f3n) muestra una caracter\u00edstica importante del fen\u00f3meno advectivo. Este puedes ser representado en la Figura 1. En este caso considera dos paredes infinitamente largas donde existe un fluido con una concentraci\u00f3n de 1 en el lado izquierdo y de 0 en el lado derecho. Como se observa en la Figura 1, en el caso de advecci\u00f3n pura la concentraci\u00f3n deber\u00e1 cambiar de forma s\u00fabita en alg\u00fan punto en el dominio para satisfacer las condiciones de frontera. Sin embargo, en presencia del t\u00e9rmino difusivo, el perfil de concentraci\u00f3n es suavizado evitando el cambio s\u00fabito. Por lo tanto, en la pendiente de este cambio de concentraci\u00f3n indica qu\u00e9 tan relevante es el t\u00e9rmino advectivo con respecto al t\u00e9rmino difusivo.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T4P1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2099\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"512\" height=\"390\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T4P1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2099\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T4P1.png 512w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T4P1-300x229.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 512px) 100vw, 512px\" \/><\/noscript><figcaption>Figura 1. Diagrama \u03c6 vs posici\u00f3n espacial en x. La curva negra representa el perfil predicho en el caso de advecci\u00f3n pura mientras que el perfil rojo, el predicho por advecci\u00f3n m\u00e1s difusi\u00f3n.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\" id=\"ecuacion-de-adveccion-difusion\">Ecuaci\u00f3n de advecci\u00f3n difusi\u00f3n<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En el caso de advecci\u00f3n-difusi\u00f3n, como se mostr\u00f3 en la Figura. 1, se espera que el perfil sea m\u00e1s suave. As\u00ed, tambi\u00e9n lo esperado es que esta propiedad se preserve despu\u00e9s de la discretizaci\u00f3n. Existen otras propiedades que tienen los t\u00e9rminos advectivos las cuales son:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\"><li><strong>Propiedad de Conservaci\u00f3n<\/strong>. Despu\u00e9s de la integraci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de advecci\u00f3n-difusi\u00f3n en una regi\u00f3n finita se obtiene una relaci\u00f3n involucrando flujos de la cantidad transportada a trav\u00e9s de las fronteras del volumen de control. Entonces, para asegurar que la propiedad se conserve en todos los vol\u00famenes de control es necesario que en cada uno de los elementos discretizados esta cantidad se conserve. Esto se consigue de una manera consistente ya que el flujo que sale de una cara adyacente con respecto a otra de los elementos discretizados debe ser igual en magnitud.<\/li><li><strong>Acotada<\/strong>. Como se ha mencionado a lo largo del curso, una vez que la ecuaci\u00f3n de conservaci\u00f3n se encuentra completamente discretizada se llega a un sistema de ecuaciones algebraicas que deben ser resueltas. Debido al gran n\u00famero de elementos que se suelen requerir para representar correctamente un problema f\u00edsico, es necesario emplear m\u00e9todos iterativos los cuales requieren de proponer un valor inicial para comenzar con la iteraci\u00f3n. Estos m\u00e9todos ser\u00e1n convergentes si el radio espectral de la matriz (que en el caso de la discretizaci\u00f3n esta relacionada con el sistema de ecuaciones a resolver) es menor que la unidad. Esta condici\u00f3n se asegura si la matriz es diagonalmente dominante, esto es, si los t\u00e9rminos de la diagonal siempre son mayores en valor absolutos a la suma de los t\u00e9rminos fuera de la diagonal. F\u00edsicamente, esta condici\u00f3n implica que en ausencia de fuentes los valores de los nodos interiores deben estar acotados por los valores de los nodos de frontera.<\/li><li><strong>Propiedad de Transporte<\/strong>. Esta propiedad puede ser ilustrada al considerar dos nodos adyacentes E y W a un nodo central P. Ahora, definiendo el n\u00famero adimensional de Peclet como la raz\u00f3n de la intensidad de t\u00e9rminos advectivos sobre difusivos, entonces el valor de un elemento P estar\u00e1 influenciado mayormente por los nodos aguas abajo para n\u00fameros de Peclet mayores que la unidad (este es el caso donde dominan los t\u00e9rminos advectivos). Sin embargo, para los casos en el que el n\u00famero de Peclet sea mucho menor que la unidad, los t\u00e9rminos difusivos son dominantes, y los valores de los elementos centrales est\u00e1n igualmente influenciados por los t\u00e9rminos de frontera, tal como era el caso de las ecuaciones parab\u00f3licas. En la Figura 2, se representa estas situaciones.<\/li><\/ol>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T4P4-1024x281.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2101\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"281\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T4P4-1024x281.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2101\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T4P4-1024x281.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T4P4-300x82.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T4P4-768x211.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T4P4.png 1106w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><figcaption>Figura 2. Representaci\u00f3n de la regi\u00f3n de influencia del nodo central debido a los nodos vecinos. Como se observa en la Figura 1, (Pe&lt;1), el nodo central est\u00e1 igualmente influenciado por los nodos W y E. Para el caso b) el nodo central est\u00e1 mayormente influenciado por los elementos aguas abajo (nodo W).<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En la siguiente presentaci\u00f3n titulada <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/personal\/cesar_damian_ugto_mx\/_layouts\/15\/onedrive.aspx?id=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D4%2FSlides%2DAdveccion%2Epdf&amp;parent=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D4\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">El m\u00e9todo de volumen finito para problemas convectivo-difusivos<\/a>, podr\u00e1s revisar con detalle el proceso de discretizaci\u00f3n para los t\u00e9rminos advectivos as\u00ed como algunos esquemas.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En el siguiente enlace encontrar\u00e1s el <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/personal\/cesar_damian_ugto_mx\/_layouts\/15\/onedrive.aspx?id=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D4%2FProyecto%2D2%2Epdf&amp;parent=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D4\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Proyecto 2<\/a> el cual te servir\u00e1 para practicar la forma de discretizar los t\u00e9rminos advectivos.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En resumen, en este tema se estudi\u00f3 la discretizaci\u00f3n de los t\u00e9rminos que involucran el movimiento de un fluido. Como pudiste observar, a pesar de que el m\u00e9todo de discretizaci\u00f3n procede de la misma manera, existen ciertas sutilezas que debes tomar en cuenta para obtener un resultado razonable. En particular, siempre deber\u00e1s tomar en cuenta las tres propiedades que se desea preservar durante el proceso de discretizaci\u00f3n, estas son:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Propiedad de transporte,<\/li><li>Acotada y<\/li><li>Propiedad de conservaci\u00f3n.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La propiedad de acotaci\u00f3n es necesaria para poder garantizar la convergencia de la soluci\u00f3n mediante los m\u00e9todos iterativos, aunque no es necesaria si se resuelve el sistema de ecuaciones por m\u00e9todos directos.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En las diapositivas se revis\u00f3 que existen diversas elecciones que puedes hacer para discretizar estos t\u00e9rminos. La elecci\u00f3n de alg\u00fan esquema ser\u00e1 \u201cmejor\u201d que otra dependiendo de la naturaleza del sistema. Por ejemplo, en el caso de Pe&lt;1 quiz\u00e1 sea mejor tomar en cuenta una discretizaci\u00f3n central, donde esperar\u00edas que los t\u00e9rminos centrales de cada elemento se encuentren igualmente influenciados por los t\u00e9rminos de frontera. En cambio, para Pe&gt;1 quiz\u00e1 puedas optar por un esquema hacia delante. Sin embargo, la simpleza de este m\u00e9todo se ve afectada por el pobre orden de error que maneja, y quiz\u00e1 quieras intentar un m\u00e9todo de discretizaci\u00f3n de orden superior como lo es el QUICK al precio de realizar m\u00e1s operaciones y que el tiempo soluci\u00f3n del sistema sea mucho m\u00e1s largo. Es decir, \u00a1nunca se obtiene nada gratis!, siempre tendr\u00e1s que balancear los pros y los contras para tomar la mejor decisi\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Hasta aqu\u00ed se concluye la sesi\u00f3n. \u00a1Te felicito, vas muy bien! Te recuerdo que tu aprendizaje depende mucho de tu entusiasmo para continuar. No olvides hacer y mandar como corresponde la tarea asignada. Te espero en tu pr\u00f3xima clase, hasta entonces.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"fuentes-de-informacion\">Fuentes de informaci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Moukalled, F., Mangani, L., &amp; Darwish, M. (2016). <em>The finite volume method in computational fluid dynamics<\/em> (Vol. 113, pp. 10-1007). Berlin, Germany: Springer.<\/li><li>Chapra, S. C., &amp; Canale, R. P. (2011). <em>Numerical methods for engineers<\/em> (Vol. 2). New York: Mcgraw-hill.<\/li><li>Lebon, G., Jou, D., &amp; Casas-V\u00e1zquez, J. (2008). <em>Understanding non-equilibrium thermodynamics<\/em> (Vol. 295). Berlin: Springer.<\/li><\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola! Siempre es un gusto saludarte y saber que tienes el \u00e1nimo para continuar, te invito a seguir en este camino formativo en tu cuarta clase titulada El m\u00e9todo de volumen finito para problemas convectivo-difusivos de la unidad de aprendizaje Introducci\u00f3n al volumen finito. Hasta ahora hemos estudiado problemas de discretizaci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n &#8230; <a title=\"Clase digital 4. El m\u00e9todo de volumen finito para problemas convectivo-difusivos\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-4-el-metodo-de-volumen-finito-para-problemas-convectivo-difusivos\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 4. 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