{"id":2103,"date":"2021-12-22T21:18:01","date_gmt":"2021-12-22T21:18:01","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=2103"},"modified":"2022-02-08T20:19:00","modified_gmt":"2022-02-08T20:19:00","slug":"clase-digital-5-el-metodo-de-volumen-finito-para-flujos-en-estado-transitorio","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-5-el-metodo-de-volumen-finito-para-flujos-en-estado-transitorio\/","title":{"rendered":"Clase digital 5. El m\u00e9todo de volumen finito para flujos en estado transitorio"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"has-background-dim-40 wp-block-cover__gradient-background has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-2108\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/old-g025565a30_1920.jpg\" style=\"object-position:43% 67%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"43% 67%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1920\" height=\"1280\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-2108\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/old-g025565a30_1920.jpg\" style=\"object-position:43% 67%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"43% 67%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/old-g025565a30_1920.jpg 1920w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/old-g025565a30_1920-300x200.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/old-g025565a30_1920-1024x683.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/old-g025565a30_1920-768x512.jpg 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/old-g025565a30_1920-1536x1024.jpg 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/old-g025565a30_1920-272x182.jpg 272w\" sizes=\"auto, (max-width: 1920px) 100vw, 1920px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">El m\u00e9todo de volumen finito<br>para flujos en estado transitorio<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Me siento muy feliz al saber que sigues aprovechando este curso, espero que lo sigas disfrutando, por lo tanto te invito a comenzar nuestra quinta clase con el tema El m\u00e9todo de volumen finito para flujos en estado transitorio de la unidad de aprendizaje <strong>Introducci\u00f3n al volumen finito<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Hasta ahora s\u00f3lo hemos considerado ecuaciones de conservaci\u00f3n asociadas a variables como la temperatura, la velocidad o la concentraci\u00f3n. Sin embargo, no se ha tenido en cuenta la contribuci\u00f3n del tiempo a la ecuaci\u00f3n de conservaci\u00f3n. Esta contribuci\u00f3n es de importancia al inicio de cualquier proceso, y por ello ser\u00e1 de inter\u00e9s cuando se requiera entender qu\u00e9 ocurre con alguna variable al inicio del proceso.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lo aprendido hasta ahora te servir\u00e1 de herramienta para poder entender la forma de discretizar los t\u00e9rminos dependientes del tiempo. En particular, los t\u00e9rminos dependientes del tiempo tienen ciertas similitudes con los t\u00e9rminos advectivos. En particular, al momento de discretizar estos t\u00e9rminos tienen las mismas dificultades en lo que refiere a estabilidad. De forma similar que para los t\u00e9rminos advectivos se pueden tomar decisiones en el momento de discretizarlos, estos esquemas son conocidos como discretizaci\u00f3n expl\u00edcita e impl\u00edcita. De estos esquemas, la discretizaci\u00f3n impl\u00edcita es incondicionalmente estable tal como sucede con la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n. Sin embargo, el esquema expl\u00edcito ser\u00e1 o no estable dependiendo del tama\u00f1o espacial y temporal que se elija, informaci\u00f3n que est\u00e1 contenida en el n\u00famero de Fourier. Adem\u00e1s, existen otros esquemas que estudiaremos en esta unidad, que implican de alguna forma un t\u00e9rmino medio entre el esquema expl\u00edcito e impl\u00edcito conocido como la discretizaci\u00f3n de Crank-Nicholson.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sin m\u00e1s pre\u00e1mbulo, comencemos con el estudio de la discretizaci\u00f3n de los t\u00e9rminos temporales y el c\u00e1lculo de los criterios de estabilidad.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1As\u00ed que comencemos!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema <\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"ecuacion-de-estado-transitorio\">Ecuaci\u00f3n de estado transitorio<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Hasta ahora hemos estudiado las ecuaciones de conservaci\u00f3n tomando en cuenta los t\u00e9rminos difusivos, as\u00ed como los t\u00e9rminos difusivos. Sin embargo, no se ha tenido en cuenta la dependencia del tiempo. Tomar en cuenta la dependencia temporal implica a\u00f1adir una nueva dimensi\u00f3n al problema asociado con una ecuaci\u00f3n diferencial parab\u00f3lica. Adem\u00e1s, es usual solo almacenar dos valores de la variable dependiente en el tiempo, descartando la informaci\u00f3n de pasos previos. Esta es la principal diferencia con respecto a los t\u00e9rminos advectivos, en los que para incrementar el orden de error se a\u00f1aden m\u00e1s t\u00e9rminos a la aproximaci\u00f3n de estos t\u00e9rminos relacionando el valor de la variable dependiente de un nodo con dos o m\u00e1s t\u00e9rminos adyacentes. Otra diferencia fundamental con respecto a los t\u00e9rminos advectivos es que siguiendo la naturaleza parab\u00f3lica de la ecuaci\u00f3n diferencial, al conocer lo que ocurre al inicio del tiempo <em>t = t<sub>0<\/sub><\/em>, es posible marchar en el tiempo conociendo lo que ocurrir\u00e1 en tiempos subsecuentes.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Entonces, para problemas en estado transiente las ecuaciones completamente discretizadas involucran t\u00e9rminos espaciales y temporales. As\u00ed, mientras la discretizaci\u00f3n espacial es realizada en el espacio, la discretizaci\u00f3n temporal involucra a\u00f1adir como variable dependiente adicional el tiempo.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una aproximaci\u00f3n para discretizar completamente los t\u00e9rminos temporales involucra realizar una expansi\u00f3n de series de Taylor usando como variable dependiente el tiempo. Dependiendo del punto a partir del cual se haga la expansi\u00f3n se suelen utilizar dos aproximaciones conocidas como <em>Euler hacia delante (esquema expl\u00edcito), Euler hacia atr\u00e1s (esquema impl\u00edcito)<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T5P1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2109\" width=\"612\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T5P1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2109\" width=\"612\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T5P1.jpg 512w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T5P1-300x169.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 512px) 100vw, 512px\" \/><\/noscript><figcaption>Imagen 1. Brook Taylor fue un matem\u00e1tico Ingl\u00e9s, que invent\u00f3 la integraci\u00f3n por partes, y descubri\u00f3 la famosa f\u00f3rmula conocida como la expansi\u00f3n de Taylor.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En las siguientes diapositivas podr\u00e1s encontrar en detalle el proceso de discretizaci\u00f3n de los t\u00e9rminos transientes. Por simplicidad, nos concentraremos en la discretizaci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n en estado transiente.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\" id=\"esquema-euler-hacia-delante\">Esquema Euler hacia delante<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El m\u00e9todo del Euler hacia delante (esquema expl\u00edcito) no requiere resolver un sistema de ecuaciones. En lugar de esto, el valor de la variable dependiente en un punto posterior depende de lo ocurrido en los nodos vecinos un tiempo anterior. La principal caracter\u00edstica de estos esquemas es su capacidad de generar soluciones marchantes en el tiempo sin necesidad de resolver un sistema de ecuaciones en el mismo nivel temporal. Sin embargo, este esquema es condicionalmente estable, y por ello raramente es usado en paquetes computacionales especializados.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T5P2-edited-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2112\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"614\" height=\"343\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T5P2-edited-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2112\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T5P2-edited-1.png 614w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_VolumenFinito_T5P2-edited-1-300x168.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 614px) 100vw, 614px\" \/><\/noscript><figcaption>Imagen 2. Leonhard Euler hizo aportaciones relevantes a la l\u00f3gica matem\u00e1tica con su diagrama de conjuntos.<br>Fuente: https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/File:Leonhard_Euler.png<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La estabilidad y convergencia de este esquema depende de la discretizaci\u00f3n temporal y espacial elegida. Courant et al. (Referencia 1 y 3), mostraron que para que estas soluciones converjan era necesario satisfacer la condici\u00f3n de que la suma de los t\u00e9rminos centrales en el tiempo t.y el tiempo t+\u03b4t debe ser menor que cero, esto es<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center wp-block-paragraph\"><em>AC(t) + A(t + \u03b4t) &lt; 0<\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Que puede ser escrita en t\u00e9rminos del n\u00famero adimensional de Fourier como Fo &lt; 1\/2, donde el n\u00famero de Fourier representa la raz\u00f3n de el transporte difusivo con respecto al transporte transiente.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\" id=\"esquema-euler-hacia-atras\">Esquema Euler hacia atr\u00e1s<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El esquema Euler hacia atr\u00e1s (esquema impl\u00edcito) a diferencia del esquema Euler hacia delante, es m\u00e1s costoso computacionalmente hablando. Esto ocurre debido a que la aproximaci\u00f3n de series de Taylor se hac\u00eda en la direcci\u00f3n hacia atr\u00e1s en el tiempo, entonces lo que ocurre a un nodo en el tiempo t est\u00e1 afectado por lo que le ocurre a todos los dem\u00e1s nodos en el mismo tiempo. Por lo tanto, en cada intervalo de tiempo es necesario resolver un sistema de ecuaciones algebr\u00e1icas. Para el caso de la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n en estado transiente, la estabilidad del m\u00e9todo num\u00e9rico est\u00e1 garantizada por la condici\u00f3n de radio espectral menor que la unidad. Adem\u00e1s, en el tiempo este esquema es incondicionalmente estable. Esta estabilidad est\u00e1 relacionada con el hecho de que los t\u00e9rminos centrales en tiempos presentes y pasados siempre tienen signos distintos, garantizando que la soluci\u00f3n est\u00e1 acotada en el tiempo.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Finalmente, est\u00e1s listo para resolver el problema asignado en la consigna 3 de esta Unidad de Aprendizaje la cual puedes acceder a trav\u00e9s de la siguiente <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/personal\/cesar_damian_ugto_mx\/_layouts\/15\/onedrive.aspx?id=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D5%2FProyecto%2D3%2Epdf&amp;parent=%2Fpersonal%2Fcesar%5Fdamian%5Fugto%5Fmx%2FDocuments%2FCursos%2FDiplomados%2FTaller%20para%20la%20digitalizaci%C3%B3n%20de%20unidades%20de%20aprendizaje%2FSemana%2D3%2FMaterial%2FClase%2D5\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">liga<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En resumen: En este tema aprendimos sobre c\u00f3mo discretizar el t\u00e9rmino transiente de una ecuaci\u00f3n de conservaci\u00f3n. Este t\u00e9rmino siempre llevar\u00e1 a un cambio en el car\u00e1cter de la ecuaci\u00f3n diferencial, que para el caso de la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n cambia la ecuaci\u00f3n diferencial de el\u00edptica a parab\u00f3lica. Este cambio se ve reflejado en las propiedades de la ecuaci\u00f3n y tendr\u00e1n un impacto marcado en la forma de discretizar la ecuaci\u00f3n diferencial.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En analog\u00eda con los t\u00e9rminos advectivos, estos t\u00e9rminos transientes llevar\u00e1n a inestabilidades en la soluci\u00f3n num\u00e9rica y estas inestabilidades pueden ser predichas a trav\u00e9s del criterio de Courant visto en esta unidad. Toma en cuenta que para los casos estudiados en la presente unidad solo tomamos el criterio de estabilidad para la ecuaci\u00f3n de difusi\u00f3n en estado transiente, sin embargo, este criterio es mucho m\u00e1s general. Es decir, siempre que conozcas los coeficientes de los t\u00e9rminos centrales podr\u00e1s determinar el criterio de estabilidad.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Finalmente, se aprendi\u00f3 sobre las limitaciones de los dos esquemas m\u00e1s utilizados en la discretizaci\u00f3n de los t\u00e9rminos transientes. El esquema expl\u00edcito es f\u00e1cil de resolver, su estabilidad depende del criterio de estabilidad, mientras que el esquema impl\u00edcito es m\u00e1s dif\u00edcil de resolver, pero es incondicionalmente estable, que se puede ver ya que este esquema satisface trivialmente el criterio de estabilidad.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es as\u00ed como se concluye pues con esta quinta sesi\u00f3n. \u00a1Felicitaciones por tu esfuerzo y dedicaci\u00f3n! No olvides realizar y mandar en tiempo y forma tu tarea, hasta luego.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"fuentes-de-informacion\">Fuentes de informaci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Moukalled, F., Mangani, L., &amp; Darwish, M. (2016). <em>The finite volume method in computational fluid dynamics<\/em> (Vol. 113, pp. 10-1007). Berlin, Germany: Springer.<\/li><li>Chapra, S. C., &amp; Canale, R. P. (2011). <em>Numerical methods for engineers<\/em> (Vol. 2). New York: Mcgraw-hill.<\/li><li>Courant, R., Friedrichs, K., &amp; Lewy, H. (1928). <em>\u00dcber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. Math Ann<\/em> (in German) 100:32\u201374<\/li><\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola! 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