{"id":2693,"date":"2021-12-22T21:44:34","date_gmt":"2021-12-22T21:44:34","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=2693"},"modified":"2022-03-15T19:38:10","modified_gmt":"2022-03-15T19:38:10","slug":"clase-digital-7-analisis-de-estabilidad","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-7-analisis-de-estabilidad\/","title":{"rendered":"Clase digital 7. An\u00e1lisis de estabilidad"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover is-light\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"has-background-dim-40 wp-block-cover__gradient-background has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-2700\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/image-from-rawpixel-id-86864-jpeg-scaled.jpg\" style=\"object-position:66% 25%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"66% 25%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"2560\" height=\"1709\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-2700\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/image-from-rawpixel-id-86864-jpeg-scaled.jpg\" style=\"object-position:66% 25%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"66% 25%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/image-from-rawpixel-id-86864-jpeg-scaled.jpg 2560w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/image-from-rawpixel-id-86864-jpeg-300x200.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/image-from-rawpixel-id-86864-jpeg-1024x683.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/image-from-rawpixel-id-86864-jpeg-768x513.jpg 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/image-from-rawpixel-id-86864-jpeg-1536x1025.jpg 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/image-from-rawpixel-id-86864-jpeg-2048x1367.jpg 2048w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/image-from-rawpixel-id-86864-jpeg-272x182.jpg 272w\" sizes=\"auto, (max-width: 2560px) 100vw, 2560px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">An\u00e1lisis de estabilidad<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es un gusto brindarte la bienvenida a esta clase, espero que la encuentres atractiva y sobre todo aprendas mucho.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La descripci\u00f3n de un sistema en t\u00e9rminos de mediciones en los extremos se denomina Modelo de entrada-salida.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La respuesta de un sistema lineal puede ser expresada como la suma de dos componentes: respuesta a entrada cero y respuesta a estado cero.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Te invito a conocerlas, \u00a1empecemos con mucho \u00e1nimo esta clase!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Consid\u00e9rese un sistema LTI modelado en espacio de estados como:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2694\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"739\" height=\"157\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2694\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P1.png 739w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P1-300x64.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 739px) 100vw, 739px\" \/><\/noscript><figcaption>Imagen 1. Filtro Pasa-Bajas.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>El sistema puede ser excitado por la entrada <strong><em>u(t)<\/em><\/strong> y por la condici\u00f3n inicial <strong><em>x(0)<\/em><\/strong>.<\/li><li>La salida obtenida cuando <strong><em>u(t) = 0<\/em><\/strong> es <strong><em>y<sub>zi<\/sub>(t)<\/em><\/strong>.<\/li><li>La salida obtenida cuando <strong><em>x(0) = 0<\/em><\/strong> es <strong><em>y<sub>zs<\/sub>(t)<\/em><\/strong>.<\/li><li>Debido a la propiedad de superposici\u00f3n de sistemas lineales <strong><em>y(t) = y<sub>zi<\/sub>(t) + y<sub>zs<\/sub>(t)<\/em><\/strong>.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"entradas-acotadas\">Entradas acotadas<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Consid\u00e9rese un sistema SISO-LTI con funci\u00f3n de transferencia<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P2.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2696\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"301\" height=\"147\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P2.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2696\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Se dice que la entrada <strong><em>u(t)<\/em><\/strong> es acotada si no crece hasta <strong>+\u221e<\/strong> y no decrece hasta <strong>\u2212\u221e<\/strong>, es decir:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2697\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"582\" height=\"81\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2697\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P3.png 582w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P3-300x42.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 582px) 100vw, 582px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"estabilidad-acotada-salida-acotada\">Estabilidad Acotada &#8211; Salida acotada<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un sistema es BIBO estable (Estable de Entrada Acotada &#8211; Salida Acotada) si para cada entrada acotada, el sistema genera una salida acotada.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\" id=\"teorema\">Teorema<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un sistema SISO-LTI con funci\u00f3n de transferencia <strong><em>G(s)<\/em><\/strong> es BIBO estable si y s\u00f3lo si <strong><em>g(t)<\/em><\/strong> es integrable en <strong><em>t<\/em> \u2208 [0, \u221e)<\/strong>, es decir:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P4.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2698\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"706\" height=\"135\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P4.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2698\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P4.png 706w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P4-300x57.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 706px) 100vw, 706px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un sistema SISO-LTI con funci\u00f3n de transferencia racional propia <strong><em>G(s)<\/em><\/strong> es integrable en <strong><em>t<\/em> \u2208 [0, \u221e)<\/strong> si y s\u00f3lo si cada polo de <strong><em>G(s)<\/em><\/strong> tiene parte real negativa, es decir, los polos de <strong><em>G(s)<\/em><\/strong> se encuentran en el semi plano imaginario izquierdo del plano complejo.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\" id=\"teorema\">Teorema<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un sistema MIMO-LTI con matriz de funciones de transferencia <strong><em>G(s)<\/em><\/strong> es BIBO estable si y s\u00f3lo si cada una de las funciones de transferencia <strong><em>g<sub>ij<\/sub> (t)<\/em><\/strong> es integrable en <strong><em>t<\/em> \u2208 [0, \u221e)<\/strong>. Para <strong><em>1 &lt; i &lt; p<\/em><\/strong> y <strong><em>1 &lt; j &lt; m<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un sistema MIMO-LTI con matriz de funciones de transferencia racional propia <strong><em>G(s)<\/em><\/strong> es integrable en <strong><em>t<\/em> \u2208 [0, \u221e)<\/strong> si y s\u00f3lo si cada polo de cada una de las funciones de transferencia <strong><em>G<sub>ij<\/sub> (s)<\/em><\/strong> tiene parte real negativa, es decir, los polos de <strong><em>G<sub>ij<\/sub> (s)<\/em><\/strong> se encuentran en el semi plano imaginario izquierdo del plano complejo. Para <strong><em>1 &lt; i &lt; p<\/em><\/strong> y <strong><em>1 &lt; j &lt; m<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"puntos-de-operacion\">Puntos de operaci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Consid\u00e9rese un sistema LTI aut\u00f3nomo, es decir:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P5.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2699\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"541\" height=\"75\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P5.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2699\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P5.png 541w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/11\/UDA_ControlContinuo_C7P5-300x42.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 541px) 100vw, 541px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Un punto de operaci\u00f3n <strong><em>x<sup>\u2217<\/sup><\/em><\/strong> se presenta cuando <strong><em>Ax(t) = 0<\/em><\/strong>.<\/li><li>Un sistema LTI tiene m\u00faltiples puntos de operaci\u00f3n.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"estabilidad-asintotica\">Estabilidad asint\u00f3tica<\/h3>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\" id=\"definicion\">Definici\u00f3n<\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un sistema LTI es asint\u00f3ticamente estable alrededor de su punto de operaci\u00f3n en el origen (punto de equilibrio) si se cumplen dos condiciones:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\"><li>Para cualquier <strong>\u2208 <em>&gt; 0<\/em><\/strong>, existe un <strong><em>\u03b4<sub>1<\/sub> &gt; 0<\/em><\/strong>, tal que si <strong><em>||x(0)||2 &lt; \u03b4<sub>1<\/sub><\/em><\/strong> entonces <strong><em>||x(t)||2 &lt; \u2208<\/em><\/strong> para todo <strong><em>t \u2265 0<\/em><\/strong>.<\/li><li>Existe un <strong><em>\u03b4<sub>2<\/sub> &gt; 0<\/em><\/strong> tal que si <strong><em>||x(0)||2 &lt; \u03b4<sub>2<\/sub><\/em><\/strong> entonces <strong><em>l\u00edm<sub>t\u2192\u221e<\/sub> x(t) = 0<\/em><\/strong>.<\/li><li>Estas condiciones se cumplen si y s\u00f3lo si cada polo de la matriz de funciones de transferencia <strong><em>G(s)<\/em><\/strong> tiene parte real negativa.<\/li><\/ol>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"condiciones-de-estabilidad\">Condiciones de estabilidad<\/h3>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\"><li><strong>Estabilidad asint\u00f3tica<\/strong>: <strong><em>Re(s<sub>i<\/sub>) &lt; 0<\/em><\/strong>, para todo <strong><em>i = 1, 2, . . . , n<\/em><\/strong>.<\/li><li><strong>Estabilidad o inestabilidad marginal<\/strong>: <strong><em>Re(s<sub>i<\/sub>) = 0<\/em><\/strong> para ra\u00edces simples <strong><em>e i = 1, 2, . . . , n<\/em><\/strong>, y no <strong><em>Re(s<sub>i<\/sub>) &gt; 0<\/em><\/strong>.<\/li><li><strong>Inestabilidad<\/strong>: <strong><em>Re(s<sub>i<\/sub>) &gt; 0<\/em><\/strong>, para cualquier <strong><em>i = 1, 2, . . . , n<\/em><\/strong> o <strong><em>Re(s<sub>i<\/sub>) = 0<\/em><\/strong> para ra\u00edces m\u00faltiples.<\/li><\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La respuesta de un sistema lineal puede ser expresada como la suma de dos componentes: respuesta a entrada cero y respuesta a estado cero.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Siguiendo el modelo entrada-salida del sistema, la respuesta se obtiene como la superposici\u00f3n de sus componentes:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table aligncenter is-style-stripes\"><table><tbody><tr><td>Respuesta<\/td><td>=<\/td><td>respuesta a<\/td><td>+<\/td><td>repuesta a<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table aligncenter is-style-stripes\"><table><tbody><tr><td><strong>total<\/strong><\/td><td><strong>entrada cero<\/strong><\/td><td><strong>estado cero<\/strong><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Hemos llegado al final de la sesi\u00f3n y como puedes notar, sigues abonando conocimiento a tu persona. \u00a1Muchas felicidades! Recuerda que la tarea es la confirmaci\u00f3n de tu aprendizaje, no olvides realizarla. Nos encontramos en la siguiente clase.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola! Es un gusto brindarte la bienvenida a esta clase, espero que la encuentres atractiva y sobre todo aprendas mucho. La descripci\u00f3n de un sistema en t\u00e9rminos de mediciones en los extremos se denomina Modelo de entrada-salida. La respuesta de un sistema lineal puede ser expresada como la suma de dos componentes: respuesta a &#8230; <a title=\"Clase digital 7. An\u00e1lisis de estabilidad\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-7-analisis-de-estabilidad\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 7. 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