{"id":3848,"date":"2021-12-22T15:20:38","date_gmt":"2021-12-22T15:20:38","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=3848"},"modified":"2022-02-08T20:17:41","modified_gmt":"2022-02-08T20:17:41","slug":"clase-digital-3-resolucion-de-sistemas-de-ecuaciones-lineales-mediante-matrices-inversas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-3-resolucion-de-sistemas-de-ecuaciones-lineales-mediante-matrices-inversas\/","title":{"rendered":"Clase digital 3. Resoluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices inversas"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover is-light\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"has-background-dim-40 wp-block-cover__gradient-background has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-3849\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-algebra-clase-3-scaled.jpg\" style=\"object-position:61% 21%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"61% 21%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"2560\" height=\"1708\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-3849\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-algebra-clase-3-scaled.jpg\" style=\"object-position:61% 21%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"61% 21%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-algebra-clase-3-scaled.jpg 2560w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-algebra-clase-3-300x200.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-algebra-clase-3-1024x683.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-algebra-clase-3-768x513.jpg 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-algebra-clase-3-1536x1025.jpg 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-algebra-clase-3-2048x1367.jpg 2048w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-algebra-clase-3-272x182.jpg 272w\" sizes=\"auto, (max-width: 2560px) 100vw, 2560px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">Resoluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices inversas<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Qu\u00e9 gusto saber de ti en esta nueva clase, espero que sigas encontrando fascinante este curso de \u00c1lgebra Lineal, en esta ocasi\u00f3n tenemos el tema de Resoluci\u00f3n de ecuaciones lineales mediante matrices inversas.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En esta clase veremos c\u00f3mo resolver sistemas de ecuaciones lineales, que representan procesos de la vida real, mediante una estrategia m\u00e1s concisa y formal que los m\u00e9todos presentados en la primera clase.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Esta estrategia alternativa para resolver sistemas de ecuaciones lineales emplea matrices inversas y la representaci\u00f3n matricial de los sistemas de ecuaciones lineales. Por lo anterior, primero definiremos a las matrices inversas y explicaremos un par de m\u00e9todos para obtenerlas. Luego veremos c\u00f3mo un sistema de ecuaciones lineales puede ser resuelto mediante una matriz inversa.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ten en cuenta que la estrategia de soluci\u00f3n presentada en esta clase digital es v\u00e1lida s\u00f3lo para sistemas de ecuaciones lineales con soluci\u00f3n \u00fanica, ya que las matrices inversas est\u00e1n definidas s\u00f3lo para matrices de coeficientes cuadradas (mismo n\u00famero de ecuaciones y de inc\u00f3gnitas) no singulares (con determinante diferente de cero).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sin m\u00e1s pre\u00e1mbulos, vamos a comenzar.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema <\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"definiciones\">Definiciones<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Matriz identidad<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una matriz identidad (<em>I<\/em>) es una matriz cuadrada (igual n\u00famero de renglones y columnas) en la que los elementos en la diagonal principal son iguales a uno; mientras que los elementos fuera de la diagonal principal son cero. La principal caracter\u00edstica de una matriz identidad es que, al multiplicarla por un vector o una matriz, el resultado es ese mismo vector o matriz.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Matriz transpuesta<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Esta matriz se obtiene al convertir los renglones de una matriz <em>A<\/em> en las columnas de matriz transpuesta (<em>A<\/em><em><sup>T<\/sup><\/em>).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Matriz de cofactores<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una matriz de cofactores (<em>B<\/em>) es una matriz cuadrada cuyos elementos <em>b<sub>ij<\/sub><\/em> son conocidos como cofactores y est\u00e1n definidos mediante la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-1-clase-3-1024x138.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3932\" width=\"571\" height=\"78\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-1-clase-3-1024x138.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3932\" width=\"571\" height=\"78\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-1-clase-3-1024x138.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-1-clase-3-300x40.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-1-clase-3-768x103.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-1-clase-3.png 1116w\" sizes=\"auto, (max-width: 571px) 100vw, 571px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Donde <em>i<\/em> es el n\u00famero de rengl\u00f3n y <em>j<\/em> el n\u00famero de columna del cofactor. |<em>M<\/em><em><sub>ij<\/sub><\/em>| es el determinante de la <em>matriz menor<\/em> que resulta de eliminar el rengl\u00f3n <em>i<\/em> y la columna <em>j<\/em> de la matriz <em>A<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Matriz adjunta<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La matriz adjunta de <em>A<\/em> es la traspuesta de la matriz de cofactores, es decir, <em>Adj<\/em>(<em>A<\/em>) = <em>B<\/em><em><sup>T<\/sup><\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Matriz inversa<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una matriz inversa (<em>A<sup>-1<\/sup><\/em>) es una matriz que al multiplicarla por la matriz original (<em>A<\/em>) da como resultado una matriz identidad. S\u00f3lo las matrices cuadradas no singulares (con determinante diferente de cero) son invertibles.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"metodos-para-invertir-matrices\">M\u00e9todos para invertir matrices<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>M\u00e9todo 1: Por eliminaci\u00f3n gaussiana<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En este m\u00e9todo formamos una matriz extendida con la matriz de coeficientes (<em>A<\/em>) en la parte izquierda y una matriz identidad de la misma dimensi\u00f3n en la parte extendida. Luego aplicamos el procedimiento de eliminaci\u00f3n gaussiana a la matriz extendida para que despu\u00e9s de una serie de pasos obtengamos una matriz equivalente con unos en la diagonal principal y ceros fuera de ella. La matriz que queda en la parte extendida es la inversa <em>A<sup>-1<\/sup><\/em>. Revisa el siguiente enlace para ver un video corto con el c\u00e1lculo de una <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/VVJBTQZe\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Matriz inversa por el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n gaussiana y una aplicaci\u00f3n<\/a> (GeoGebra, Autor: Allan Avenda\u00f1o).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/174TiSmUvJ_4brJStCBXJXQ5AVOYfxucO\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Matriz inversa &#8211; M\u00e9todo por eliminaci\u00f3n gaussiana.<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/ESc_Z01-o-BJuVQWHZ_4-tYB452z5njTPpf0s2x3nBCIwQ?e=HsUqyW\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Matrices inversas: M\u00e9todo por eliminaci\u00f3n gaussiana<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>M\u00e9todo 2: Pormenores y cofactores<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vamos a invertir una matriz de coeficientes cuadrada <em>A<\/em> dada por:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-2-clase-3-2-1024x76.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3933\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"76\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-2-clase-3-2-1024x76.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3933\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-2-clase-3-2-1024x76.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-2-clase-3-2-300x22.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-2-clase-3-2-768x57.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-2-clase-3-2-1536x114.png 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-2-clase-3-2.png 1826w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La matriz de cofactores correspondiente es:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-3-clase-3-1024x85.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3934\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"85\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-3-clase-3-1024x85.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3934\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-3-clase-3-1024x85.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-3-clase-3-300x25.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-3-clase-3-768x64.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-3-clase-3-1536x128.png 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-3-clase-3.png 1826w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Donde cada uno de los cofactores <em>b<sub>ij<\/sub><\/em> se obtiene mediante la Ec. 1. En este segundo m\u00e9todo obtenemos la matriz inversa de <em>A<\/em> como:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-4-clase-3-1024x151.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3935\" width=\"626\" height=\"93\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-4-clase-3-1024x151.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3935\" width=\"626\" height=\"93\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-4-clase-3-1024x151.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-4-clase-3-300x44.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-4-clase-3-768x113.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-4-clase-3.png 1152w\" sizes=\"auto, (max-width: 626px) 100vw, 626px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ahora ve al siguiente enlace para ver un material interactivo para la obtenci\u00f3n de una <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/y2vsdy3e\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Matriz inversa por el m\u00e9todo pormenores y cofactores<\/a> (GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1lLtNrhUk2_uw8eCOYq9_bKfUapLWkcW7\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Matriz inversa &#8211; M\u00e9todo pormenores y cofactores<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/EWPKUT68Im1HqCsDqveM4ToBQcxUmbJvoCaCLhewflfRNg?e=f6QBPH\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Matrices inversas: M\u00e9todo pormenores y cofactores<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Determinantes: M\u00e9todo general<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El determinante de <em>A<\/em> puede ser calculado mediante la <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/FzFfAhzv\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Regla de Sarrus<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Elvira Mart\u00ednez y Carlos Romero) cuando la matriz es de dimensi\u00f3n 2&#215;2 o 3&#215;3. El m\u00e9todo general para resolver determinantes de matrices cuadradas de cualquier dimensi\u00f3n es:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-5-clase-3-1024x103.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3936\" width=\"806\" height=\"81\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-5-clase-3-1024x103.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3936\" width=\"806\" height=\"81\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-5-clase-3-1024x103.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-5-clase-3-300x30.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-5-clase-3-768x77.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-5-clase-3.png 1452w\" sizes=\"auto, (max-width: 806px) 100vw, 806px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1BcTGRsWmqM1ICUbWpEoI-A3R7QgqnttI\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">C\u00e1lc<\/a><a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1BcTGRsWmqM1ICUbWpEoI-A3R7QgqnttI\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">u<\/a><a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1BcTGRsWmqM1ICUbWpEoI-A3R7QgqnttI\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">lo de determinantes<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/EeLIJ5W7ythDozo-gpPKSH4BPBHfoYq9fajNVp_L22FgtA?e=xM8y7h\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Determinantes<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cabe mencionar que para calcular el determinante de <em>A<\/em> tambi\u00e9n es posible usar otros renglones de las matrices <em>A<\/em> y <em>B<\/em>, siempre y cuando se use el mismo n\u00famero de rengl\u00f3n en ambas matrices. El determinante de matrices grandes puede implicar una cantidad considerable de operaciones; as\u00ed que es muy recomendable aplicar <em>propiedades de los determinantes<\/em> siempre que sea posible a fin de reducir el tiempo y trabajo requerido. Te invito a revisar el contenido interactivo de <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/tsyqw33w\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Resumen de <em>propiedades de los determinantes<\/em><\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Matematicaula) y los <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/tsyqw33w\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Ejemplos del uso de <em>propiedades de los determinantes<\/em>.<\/a><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"resolucion-de-sistemas-de-ecuaciones-lineales-mediante-matrices-inversas\">Resoluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices inversas<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Podemos representar a cualquier sistema de ecuaciones lineales mediante su forma matricial como:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-6-clase-3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3937\" width=\"548\" height=\"75\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-6-clase-3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3937\" width=\"548\" height=\"75\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-6-clase-3.png 1018w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-6-clase-3-300x41.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-6-clase-3-768x106.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 548px) 100vw, 548px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para resolver esta ecuaci\u00f3n matricial no podemos dividir entre la matriz <em>A<\/em> para despejar al vector <strong><em>x<\/em><\/strong> porque la divisi\u00f3n entre vectores o matrices no est\u00e1 definida, no existe; as\u00ed que necesitamos una estrategia diferente. Para despejar y encontrar el vector soluci\u00f3n <strong><em>x<\/em><\/strong> multiplicamos por la izquierda ambos lados de la ecuaci\u00f3n por <em>A<sup>-1<\/sup><\/em>:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-7-clase-3-1024x145.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3938\" width=\"516\" height=\"73\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-7-clase-3-1024x145.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3938\" width=\"516\" height=\"73\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-7-clase-3-1024x145.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-7-clase-3-300x42.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-7-clase-3-768x108.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-7-clase-3.png 1048w\" sizes=\"auto, (max-width: 516px) 100vw, 516px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ahora recordemos que el resultado de multiplicar una matriz por su inversa es una matriz identidad. Por consiguiente, obtenemos:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-8-clase-3-1024x146.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3939\" width=\"559\" height=\"80\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-8-clase-3-1024x146.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3939\" width=\"559\" height=\"80\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-8-clase-3-1024x146.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-8-clase-3-300x43.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-8-clase-3-768x109.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-8-clase-3.png 1026w\" sizes=\"auto, (max-width: 559px) 100vw, 559px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Tambi\u00e9n recordemos que al multiplicar cualquier matriz o vector por una matriz identidad el resultado es la misma matriz o vector. As\u00ed logramos resolver la ecuaci\u00f3n matricial y obtenemos:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-9-clase-3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3940\" width=\"590\" height=\"86\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-9-clase-3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3940\" width=\"590\" height=\"86\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-9-clase-3.png 1014w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-9-clase-3-300x44.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Imagen-9-clase-3-768x112.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 590px) 100vw, 590px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De esta manera calculamos el vector soluci\u00f3n del sistema de ecuaciones lineales. La ecuaci\u00f3n anterior es v\u00e1lida para cualquier sistema de ecuaciones lineales con soluci\u00f3n \u00fanica, por lo que es innecesario deducirla cada vez que resolvamos un problema. En este m\u00e9todo usualmente calculamos la matriz <em>A<sup>-1<\/sup><\/em> (mayor parte del trabajo) para despu\u00e9s multiplicarla por el vector de t\u00e9rminos independientes <strong><em>b<\/em><\/strong>, y as\u00ed obtener el vector soluci\u00f3n <strong><em>x<\/em><\/strong>. Te recomiendo revisar el siguiente video con un par de <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Ea63JXK4-PlIjuClK1y4rs8B8O6baUYir72Fu9BHXhIYPA?e=TfQuM4\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Problemas aplicados resueltos con matrices inversas<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En conclusi\u00f3n, los sistemas de ecuaciones lineales con soluci\u00f3n \u00fanica pueden ser resueltos no s\u00f3lo mediante los m\u00e9todos revisados en la primera clase digital, sino que tambi\u00e9n pueden ser resueltos mediante matrices inversas. Este m\u00e9todo de soluci\u00f3n alternativo emplea una representaci\u00f3n m\u00e1s concisa y un procedimiento sistem\u00e1tico.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">No todas las matrices de coeficientes son invertibles. S\u00f3lo las matrices cuadradas no singulares (con determinante diferente de cero) tienen inversa.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El m\u00e9todo para resolver sistemas de ecuaciones lineales por matrices inversas es especialmente apropiado para su implementaci\u00f3n en un algoritmo computacional. Adem\u00e1s, tiene la ventaja de que con la matriz inversa podemos calcular otras soluciones para diferentes condiciones con tal s\u00f3lo un producto matricial; mientras que con los m\u00e9todos de Gauss y Gauss-Jordan tendr\u00edamos que repetir el procedimiento completo.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Excelente!&nbsp;Ya eres capaz de resolver sistemas de ecuaciones lineales usando diferentes m\u00e9todos. \u00a1Sigue adelante!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Has llegado al final de la sesi\u00f3n y como puedes observar sigues abonando informaci\u00f3n valiosa a tu aprendizaje, te invito a continuar sumando informaci\u00f3n realizando la tarea asignada a esta clase. Recuerda que te espero en la pr\u00f3xima sesi\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"fuentes-de-informacion\">Fuentes de informaci\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Grossman, S. &amp; Godoy, J. (2019). <em>\u00c1lgebra Lineal.<\/em> (8\u00aa ed.). Mc Graw Hill.<\/li><li>Luque, C., S\u00e1nchez, Y. &amp; Jim\u00e9nez H. (2018).<em> De los Grupos Abelianos al \u00c1lgebra Lineal Abstracta. <\/em>(1\u00aa Ed.). Universidad Pedag\u00f3gica Nacional.<\/li><li>Poole, D. (2018). <em>\u00c1lgebra Lineal. Una Introducci\u00f3n Moderna.<\/em> (4\u00aa ed.). Cengage Learning.<\/li><li>Saldarriaga, O. &amp; Giraldo, H. (2018). <em>\u00c1lgebra Lineal con el uso de Matlab.<\/em> Universidad de Antioquia.<\/li><li>Lay, D., McDonald, J. &amp; Lay, S. (2016). <em>\u00c1lgebra Lineal y sus Aplicaciones.<\/em> (5\u00aa ed.). Pearson Education.<\/li><li>Larson, R. (2015). <em>Fundamentos de \u00c1lgebra Lineal.<\/em> (7\u00aa ed.). Cengage Learning.<\/li><li>Guti\u00e9rrez, E. &amp; Ochoa, S. (2014). <em>\u00c1lgebra Lineal y sus Aplicaciones.<\/em> Editorial Patria.<\/li><li>Hitt, F. (2012). <em>\u00c1lgebra Lineal.<\/em> Pearson Education.<\/li><li>Kolman, B. &amp; Hill, D. (2012). <em>\u00c1lgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones.<\/em> (8\u00aa ed.). Pearson Education.<\/li><li>Nicholson, W. (2003). <em>\u00c1lgebra Lineal con Aplicaciones.<\/em> (4\u00aa ed.). Mc Graw Hill.<\/li><li>GeoGebra: https:\/\/www.geogebra.org<\/li><\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola! Qu\u00e9 gusto saber de ti en esta nueva clase, espero que sigas encontrando fascinante este curso de \u00c1lgebra Lineal, en esta ocasi\u00f3n tenemos el tema de Resoluci\u00f3n de ecuaciones lineales mediante matrices inversas. En esta clase veremos c\u00f3mo resolver sistemas de ecuaciones lineales, que representan procesos de la vida real, mediante una estrategia &#8230; <a title=\"Clase digital 3. Resoluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices inversas\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-3-resolucion-de-sistemas-de-ecuaciones-lineales-mediante-matrices-inversas\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 3. 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