{"id":3852,"date":"2021-12-22T15:26:59","date_gmt":"2021-12-22T15:26:59","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=3852"},"modified":"2022-02-08T20:28:48","modified_gmt":"2022-02-08T20:28:48","slug":"clase-digital-4-vectores-en-r2-y-r3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-4-vectores-en-r2-y-r3\/","title":{"rendered":"Clase digital 4. Vectores en R2 y R3"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"has-background-dim-40 wp-block-cover__gradient-background has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-4010\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/night-paperwork-scaled.jpg\" style=\"object-position:73% 36%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"73% 36%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"2560\" height=\"1707\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-4010\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/night-paperwork-scaled.jpg\" style=\"object-position:73% 36%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"73% 36%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/night-paperwork-scaled.jpg 2560w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/night-paperwork-300x200.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/night-paperwork-1024x683.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/night-paperwork-768x512.jpg 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/night-paperwork-1536x1024.jpg 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/night-paperwork-2048x1365.jpg 2048w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/night-paperwork-272x182.jpg 272w\" sizes=\"auto, (max-width: 2560px) 100vw, 2560px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">Vectores en <em>R<sup>2<\/sup><\/em> y <em>R<sup>3<\/sup><\/em><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Siempre es un gusto saludarte y saber que tienes el \u00e1nimo para continuar, te invito a seguir en este camino formativo en tu cuarta clase titulada Vectores en <em>R<\/em><em><sup>2<\/sup><\/em> y <em>R<\/em><em><sup>3<\/sup><\/em> del curso <strong>\u00c1lgebra Lineal.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Los vectores son conjuntos de n\u00fameros ordenados. Cada uno de los n\u00fameros o elementos del vector se conocen como componentes y est\u00e1n asociados a las variables del sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema de ecuaciones depende de dos variables, entonces el vector de soluci\u00f3n ser\u00e1 de dimensi\u00f3n dos y tendr\u00e1 dos componentes. De manera an\u00e1loga, un sistema de ecuaciones con tres variables tendr\u00e1 un vector soluci\u00f3n de dimensi\u00f3n 3 (tres componentes) y as\u00ed sucesivamente. De hecho, los vectores pueden tener cualquier dimensi\u00f3n o n\u00famero de componentes ya que no est\u00e1n restringidos a representar variables espaciales. Si las componentes de un vector de dimensi\u00f3n dos son reales, entonces decimos que pertenece al espacio <em>R<\/em><em><sup>2<\/sup><\/em>. Si el vector tiene 3, 4 o <em>n<\/em> componentes reales, entonces pertenecer\u00e1n al espacio <em>R<\/em><em><sup>3<\/sup><\/em>, <em>R<\/em><em><sup>4<\/sup><\/em><em> o R<\/em><em><sup>n<\/sup><\/em>, respectivamente.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Los vectores representan variables con magnitud y direcci\u00f3n, y eso hace una gran diferencia con respecto a las variables escalares, ya que no obedecen a las mismas reglas matem\u00e1ticas. Por ejemplo, podemos sumar cualquiera de los dos escalares, pero no podemos sumar vectores con direcciones diferentes. La \u00fanica manera de sumar directamente dos vectores es que estos sean paralelos. En esta clase digital aprenderemos a realizar otras operaciones b\u00e1sicas con vectores y veremos c\u00f3mo los vectores pueden formar l\u00edneas y planos en espacios tridimensionales. Muy pronto estas nuevas herramientas matem\u00e1ticas nos permitir\u00e1n comprender con profundidad las caracter\u00edsticas de las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&nbsp;Vas progresando muy bien, no te detengas. Te invito a continuar la sesi\u00f3n, \u00a1mucho \u00e9xito!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema <\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"suma-y-resta-de-vectores\">Suma y resta de vectores<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El m\u00e9todo del paralelogramo es un m\u00e9todo gr\u00e1fico que consiste en dibujar al primer vector con su magnitud y direcci\u00f3n a partir del origen del sistema de coordenadas. Luego, trazamos el segundo vector iniciando en la punta del primer vector. Si hubiese otros vectores por sumar estos se trazan iniciando en la punta del vector anterior. El vector resultante es la flecha que une al origen con la punta del \u00faltimo vector. Te invito a revisar el siguiente contenido interactivo: <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/zhxbz9qx#material\/cWwtgm8C\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Suma de vectores &#8211; M\u00e9todo del paralelogramo<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez).<br>La resta de vectores es un caso particular de la suma. Cuando a un vector le restamos uno o m\u00e1s vectores usamos la misma estrategia del paralelogramo, pero invertimos la direcci\u00f3n de los vectores restados. En el siguiente contenido interactivo podr\u00e1s visualizar la <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/zhxbz9qx#material\/kQFm5YEC\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Resta de vectores &#8211; M\u00e9todo del paralelogramo<\/a> (Fuente:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>M\u00e9todo anal\u00edtico<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La \u00fanica manera en que podemos sumar directamente dos vectores es que sean paralelos. Sin embargo, en general los vectores que necesitamos sumar pueden tener direcciones distintas. Para sumar dos vectores con direcciones distintas es indispensable obtener sus componentes para representarlos a trav\u00e9s de la <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/zhxbz9qx#material\/Q32jCb9Q\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Notaci\u00f3n Cartesiana<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez) o con vectores unitarios. Luego sumamos entre s\u00ed a las componentes horizontales y por separado a las componentes verticales. La suma de las componentes horizontales ser\u00e1 la componente horizontal del vector resultante y la suma de las componentes verticales ser\u00e1 la componente vertical del vector resultante.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En el caso de la resta de vectores tambi\u00e9n calculamos las componentes de los vectores. Luego multiplicamos por lo menos uno a las componentes de los vectores que se est\u00e9n restando. Finalmente, sumamos las componentes horizontales y verticales por separado para obtener el vector resultante. Para sumar o restar vectores es indispensable que tengan la misma dimensi\u00f3n (mismo n\u00famero de componentes).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1vDDlZfsO0N_WqvjF1_RveTstCZ97CUIF\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Suma y resta de vectores; Multiplicaci\u00f3n de un vector o matriz por un escala<\/a>r.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/EVcz3B0KDgtArOOXlIcZW00BvTJfWv9LDAfWN_ply1fOHw?e=87P2FT\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Suma y resta de vectores. Multiplicaci\u00f3n de un vector o matriz por un escalar.<\/a><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"suma-y-resta-de-matrices\">Suma y resta de matrices<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La suma de matrices consiste en sumar los elementos que se encuentran en la misma posici\u00f3n de los sumandos. S\u00f3lo es posible sumar matrices de la misma dimensi\u00f3n y el resultado es otra matriz de la misma dimensi\u00f3n que las que fueron sumadas.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La resta de matrices tambi\u00e9n es un caso particular de la suma. Cuando a una matriz le restamos otra debemos multiplicar por lo menos uno a todos los elementos de la matriz que se resta para luego sumarla a la primera matriz. Por ser un caso especial de la suma, la resta de matrices tambi\u00e9n est\u00e1 definida s\u00f3lo para matrices de la misma dimensi\u00f3n y el resultado es otra matriz con la misma dimensi\u00f3n que las matrices restadas.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"producto-de-un-vector-o-matriz-por-un-escalar\">Producto de un vector o matriz por un escalar<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El producto de un vector o matriz por un escalar consiste en multiplicar todos los elementos del vector o matriz por dicho escalar. Gr\u00e1ficamente, al multiplicar un vector por un escalar obtenemos como resultado un vector con la misma direcci\u00f3n, pero m\u00e1s grande o peque\u00f1o seg\u00fan sea el escalar. Si el escalar es negativo, el sentido del vector resultante se invierte. En el siguiente contenido interactivo podr\u00e1s visualizar el <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/zhxbz9qx#material\/TJrRu457\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Producto de un vector por un escalar<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez).<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"producto-escalar-de-vectores-producto-punto-o-producto-interno\">Producto escalar de vectores (producto punto o producto interno)<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El producto punto es una operaci\u00f3n entre dos vectores de la misma dimensi\u00f3n y lo podemos obtener de dos maneras. Sea <strong><em>v<sub>1<\/sub><\/em><\/strong><em> = (a<sub>1<\/sub>, a<sub>2<\/sub>, a<sub>3<\/sub>, \u2026 a<sub>n<\/sub>) y <\/em><strong><em>v<sub>2<\/sub><\/em><\/strong><em> = (b<sub>1<\/sub>, b<sub>2<\/sub>, b<sub>3<\/sub>, \u2026 b<sub>n<\/sub>),<\/em> entonces el producto punto de estos vectores es la suma de los productos de sus componentes:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-3-1024x122.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4011\" width=\"814\" height=\"97\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-3-1024x122.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4011\" width=\"814\" height=\"97\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-3-1024x122.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-3-300x36.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-3-768x92.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-3.png 1274w\" sizes=\"auto, (max-width: 814px) 100vw, 814px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Tambi\u00e9n podemos calcular el producto punto de dos vectores como el producto de sus magnitudes por el coseno del \u00e1ngulo interno <em>\u03a6<\/em> que se forma entre ellos, es decir;<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-2-1024x180.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4013\" width=\"671\" height=\"118\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-2-1024x180.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4013\" width=\"671\" height=\"118\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-2-1024x180.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-2-300x53.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-2-768x135.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-2.png 1158w\" sizes=\"auto, (max-width: 671px) 100vw, 671px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El producto punto entre dos vectores da como resultado un escalar, de all\u00ed el nombre de producto escalar de vectores. El producto punto a menudo es \u00fatil para determinar el \u00e1ngulo formado por dos vectores, algo que es dif\u00edcil determinar para vectores tridimensionales o de mayor dimensi\u00f3n. Adem\u00e1s, el producto punto entre dos vectores perpendiculares (ortogonales) es cero. Adicionalmente, el producto punto es conmutativo. En el siguiente material interactivo mostramos una interpretaci\u00f3n gr\u00e1fica del <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/zhxbz9qx#material\/SfsSxd9J\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Producto punto<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez).<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"producto-vectorial-producto-cruz\">Producto vectorial (producto cruz)<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El producto cruz entre dos vectores da como resultado un tercer vector que es perpendicular a los vectores de la operaci\u00f3n. En el caso de vectores en <em>R<sup>2<\/sup><\/em> y <em>R<sup>3<\/sup><\/em> podemos calcular el producto cruz de manera similar al determinante de una matriz.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-1-1024x147.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4014\" width=\"678\" height=\"98\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-1-1024x147.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4014\" width=\"678\" height=\"98\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-1-1024x147.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-1-300x43.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-1-768x111.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-1.png 1208w\" sizes=\"auto, (max-width: 678px) 100vw, 678px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Donde <strong><em>i<\/em><\/strong>, <strong><em>j<\/em><\/strong> y <strong><em>k<\/em><\/strong> son vectores unitarios coincidentes con los ejes <em>x<\/em>, <em>y<\/em>, <em>z<\/em>. Los coeficientes <em>a<\/em> son las componentes del vector <strong><em>v<sub>1<\/sub><\/em><\/strong> y los coeficientes <em>b<\/em> son las componentes del vector <strong><em>v<sub>2<\/sub><\/em><\/strong>.&nbsp;<br>De manera alternativa podemos calcular el producto cruz como el producto de las magnitudes de los vectores por el seno del \u00e1ngulo interno que se forma entre ellos y por un vector unitario <strong><em>n<\/em><\/strong> perpendicular a los vectores <strong><em>V<sub>1<\/sub><\/em><\/strong> y <strong><em>V<sub>2<\/sub><\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-1-1024x205.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4015\" width=\"675\" height=\"135\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-1-1024x205.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4015\" width=\"675\" height=\"135\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-1-1024x205.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-1-300x60.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-1-768x154.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-1.png 1180w\" sizes=\"auto, (max-width: 675px) 100vw, 675px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El producto cruz entre dos vectores paralelos es cero. Adem\u00e1s, el producto cruz no es conmutativo. Te invito a revisar el siguiente material interactivo con la definici\u00f3n y ejemplos del <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/hqG44Uj4\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Producto cruz<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alberto Guti\u00e9rrez).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1IINkGI3saKnVuD2zcQN3PsZDZ3NDP8ns\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Producto punto y Producto cruz<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Eb5e8vr6C9lIjdnoD5WtPD8BTh4CSUk1Y9eMORpDUsRNMA?e=fMcQGD\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Producto punto y Producto cruz.<\/a><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"proyecciones-de-vectores\">Proyecciones de vectores<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La proyecci\u00f3n de un vector sobre otro puede interpretarse como la componente de un vector en la direcci\u00f3n de otro. La proyecci\u00f3n de un vector <strong><em>u<\/em><\/strong> sobre un vector <strong><em>v<\/em><\/strong> est\u00e1 definida como:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-1-1024x158.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4016\" width=\"673\" height=\"104\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-1-1024x158.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4016\" width=\"673\" height=\"104\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-1-1024x158.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-1-300x46.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-1-768x119.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-1.png 1074w\" sizes=\"auto, (max-width: 673px) 100vw, 673px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De manera an\u00e1loga, la proyecci\u00f3n del vector <strong><em>v<\/em><\/strong> sobre <strong><em>u<\/em><\/strong> es:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-1-1024x157.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4017\" width=\"708\" height=\"109\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-1-1024x157.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4017\" width=\"708\" height=\"109\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-1-1024x157.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-1-300x46.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-1-768x118.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-1.png 1124w\" sizes=\"auto, (max-width: 708px) 100vw, 708px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Revisa el contenido interactivo de <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/zhxbz9qx#material\/m7fBjdrq\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Proyecciones de vectores<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez) para que observes claramente su interpretaci\u00f3n gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/EYsMUxbqQntHoiG1XmpXtOwBspY16K9ytvIW3oOxAfba4g?e=llo4c4\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Proyecciones de vectores.<\/a><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"rectas-en-el-espacio-r3\">Rectas en el espacio <em>r<sup>3<\/sup><\/em><\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La o las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales siempre pueden ser representadas como vectores. En ocasiones, los sistemas de ecuaciones tienen soluciones infinitas o un n\u00famero infinito de vectores soluci\u00f3n. M\u00e1s a\u00fan, a veces los vectores soluci\u00f3n de un sistema de ecuaciones se encuentran en una recta localizada en un espacio tridimensional, es decir, en <em>R<sup>3<\/sup><\/em>. La ecuaci\u00f3n de una recta en <em>R<sup>3<\/sup><\/em> puede ser definida de tres maneras equivalentes: ecuaci\u00f3n vectorial, ecuaciones param\u00e9tricas y ecuaciones sim\u00e9tricas.<br>La <em>ecuaci\u00f3n vectorial<\/em> de una recta <em>L<\/em> en el espacio <em>R<sup>3<\/sup><\/em> est\u00e1 determinada por todos los puntos con coordenadas (<em>x, y, z<\/em>) que cumplan con la siguiente ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-1-1024x128.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4018\" width=\"761\" height=\"95\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-1-1024x128.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4018\" width=\"761\" height=\"95\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-1-1024x128.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-1-300x37.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-1-768x96.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-1.png 1396w\" sizes=\"auto, (max-width: 761px) 100vw, 761px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Donde <em>x<sub>1<\/sub>, y<sub>1<\/sub> y z<sub>1<\/sub><\/em> son las coordenadas de un punto conocido sobre la recta; <em>a, b y c<\/em> son las componentes de un vector director paralelo a la recta; y <em>t<\/em> es un factor de escala que permite encontrar diferentes puntos sobre la recta y puede tomar cualquier valor real. Igualando las componentes de la Ec. 7 anterior obtenemos las <em>ecuaciones param\u00e9tricas<\/em> de la recta <em>L<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-1-1024x264.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4019\" width=\"668\" height=\"173\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-1-1024x264.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4019\" width=\"668\" height=\"173\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-1-1024x264.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-1-300x77.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-1-768x198.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-1.png 1080w\" sizes=\"auto, (max-width: 668px) 100vw, 668px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Despejando el factor de escala <em>t<\/em> de las ecuaciones param\u00e9tricas obtenemos las <em>ecuaciones sim\u00e9tricas<\/em> de la recta <em>L<\/em> en el espacio <em>R<sup>3<\/sup><\/em>.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-1-1024x153.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4020\" width=\"663\" height=\"99\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-1-1024x153.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4020\" width=\"663\" height=\"99\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-1-1024x153.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-1-300x45.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-1-768x115.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-1.png 1150w\" sizes=\"auto, (max-width: 663px) 100vw, 663px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las Ecs. 7, 8 y 9 muestran tres maneras distintas, pero totalmente equivalentes para establecer la ecuaci\u00f3n de una recta en <em>R<\/em><em><sup>3<\/sup><\/em>. Te invito a revisar el siguiente material donde podr\u00e1s observar una animaci\u00f3n acerca de la generaci\u00f3n de una <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/zhxbz9qx#material\/N4fGXpvb\">Recta en <em>R<\/em><em><sup>3<\/sup><\/em>.<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1P4QH3ZQlmR7vM7fFe8qn_fXe5ToG4KsZ\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Rectas en <em>R<sup>3<\/sup><\/em><\/a><em>.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/EUVrUV6kayFErv8NCAdmB9wB2PH-yI-8L1h2NsYxGpp1vw?e=ev9g5U\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Rectas en <em>R<sup>3<\/sup>.<\/em><\/a><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"planos-en-el-espacio-r3\">Planos en el espacio <em>R<sup>3<\/sup><\/em><\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Los vectores de soluci\u00f3n de un sistema de ecuaciones lineales tambi\u00e9n pueden estar localizados geom\u00e9tricamente sobre un plano \u03c0 en el espacio <em>R<sup>3<\/sup><\/em>. Para obtener la ecuaci\u00f3n de un plano en <em>R<sup>3<\/sup><\/em> necesitamos conocer un punto con coordenadas (<em>x<sub>1<\/sub>, y<sub>1<\/sub> y z<sub>1<\/sub><\/em>) sobre el plano, y un vector director perpendicular al plano con componentes <em>a, b y c<\/em>. A partir de esta informaci\u00f3n y mediante un producto punto obtenemos:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-1-1024x129.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4021\" width=\"673\" height=\"85\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-1-1024x129.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4021\" width=\"673\" height=\"85\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-1-1024x129.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-1-300x38.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-1-768x97.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-1.png 1252w\" sizes=\"auto, (max-width: 673px) 100vw, 673px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Esta expresi\u00f3n representa la ecuaci\u00f3n de un plano \u03c0 en <em>R<\/em><em><sup>3<\/sup><\/em>. Te sugiero analizar las siguientes gr\u00e1ficas de <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/rw9whn5g#material\/n4cm64vj\">Rectas y Planos en <em>R<\/em><em><sup>3<\/sup><\/em><\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Chapitall).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:i:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/EfaimRIc_dtLlnDumBt0Ax4BSsOeWwasDugW_c1AsPSZkg?e=oh6Jnh\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Planos en <em>R<sup>3<\/sup>.<\/em><\/a>Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/EW212C2eodJMqgoemQrZSQoBjgXoXs73dYlT6_fiD4-cSQ?e=JrbTOO\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Planos en <em>R<sup>3<\/sup>.<\/em><\/a><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En conclusi\u00f3n, hemos visto que los vectores y matrices son conjuntos de n\u00fameros ordenados. Un vector puede tener cualquier n\u00famero de elementos o componentes y puede estar representado de manera gr\u00e1fica o mediante una notaci\u00f3n matem\u00e1tica. Las operaciones b\u00e1sicas con vectores y matrices se realizan de manera diferente a las operaciones aritm\u00e9ticas con escalares. En esta clase digital presentamos las operaciones de suma y resta de vectores y matrices, la multiplicaci\u00f3n de un vector o matriz por un escalar, el producto punto y el producto cruz. En esta clase usamos las operaciones b\u00e1sicas con vectores para obtener las ecuaciones de rectas y planos en el espacio <em>R<\/em><em><sup>3<\/sup><\/em>. Las rectas y planos en <em>R<\/em><em><sup>3 <\/sup><\/em>son espacios geom\u00e9tricos que representan al conjunto de soluciones de algunos sistemas de ecuaciones lineales. Pronto veremos que las operaciones con vectores y matrices son muy \u00fatiles para obtener no s\u00f3lo la soluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones lineales, sino tambi\u00e9n las caracter\u00edsticas de esas soluciones.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Hasta aqu\u00ed se concluye la clase. Bien hecho, est\u00e1s a la mitad de camino. \u00a1Te felicito, vas muy bien! Te recuerdo que depende mucho de tu entusiasmo por aprender. No olvides hacer y mandar como corresponde la tarea asignada. Te espero en tu pr\u00f3xima clase, hasta entonces.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"fuentes-de-informacion\">Fuentes de informaci\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Grossman, S. &amp; Godoy, J. (2019). <em>\u00c1lgebra Lineal.<\/em> (8\u00aa ed.). Mc Graw Hill.\u00c7<\/li><li>Luque, C., S\u00e1nchez, Y. &amp; Jim\u00e9nez H. (2018).<em> De los Grupos Abelianos al \u00c1lgebra Lineal Abstracta. <\/em>(1\u00aa Ed.). Universidad Pedag\u00f3gica Nacional.<\/li><li>Poole, D. (2018). <em>\u00c1lgebra Lineal. Una Introducci\u00f3n Moderna.<\/em> (4\u00aa ed.). Cengage Learning.<\/li><li>Saldarriaga, O. &amp; Giraldo, H. (2018). <em>\u00c1lgebra Lineal con el uso de Matlab.<\/em> Universidad de Antioquia.<\/li><li>Lay, D., McDonald, J. &amp; Lay, S. (2016). <em>\u00c1lgebra Lineal y sus Aplicaciones.<\/em> (5\u00aa ed.). Pearson Education.<\/li><li>Larson, R. (2015). <em>Fundamentos de \u00c1lgebra Lineal.<\/em> (7\u00aa ed.). Cengage Learning.<\/li><li>Guti\u00e9rrez, E. &amp; Ochoa, S. (2014). <em>\u00c1lgebra Lineal y sus Aplicaciones.<\/em>Editorial Patria.<\/li><li>Hitt, F. (2012). <em>\u00c1lgebra Lineal.<\/em> Pearson Education.<\/li><li>Kolman, B. &amp; Hill, D. (2012). <em>\u00c1lgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones.<\/em> (8\u00aa ed.). Pearson Education.<\/li><li>Nicholson, W. (2003). <em>\u00c1lgebra Lineal con Aplicaciones.<\/em> (4\u00aa ed.). Mc Graw Hill.<\/li><li>GeoGebra: https:\/\/www.geogebra.org<\/li><\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola! Siempre es un gusto saludarte y saber que tienes el \u00e1nimo para continuar, te invito a seguir en este camino formativo en tu cuarta clase titulada Vectores en R2 y R3 del curso \u00c1lgebra Lineal. Los vectores son conjuntos de n\u00fameros ordenados. Cada uno de los n\u00fameros o elementos del vector se conocen &#8230; <a title=\"Clase digital 4. Vectores en R2 y R3\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-4-vectores-en-r2-y-r3\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 4. 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