{"id":3854,"date":"2021-12-22T15:31:38","date_gmt":"2021-12-22T15:31:38","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=3854"},"modified":"2022-02-08T20:29:16","modified_gmt":"2022-02-08T20:29:16","slug":"clase-digital-5-espacios-y-subespacios-vectoriales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-5-espacios-y-subespacios-vectoriales\/","title":{"rendered":"Clase digital 5. Espacios y subespacios vectoriales"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"has-background-dim-40 wp-block-cover__gradient-background has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-4024\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/young-female-teacher-finishing-to-draw-her-chart-for-mathematics-class-at-the-blackboard-scaled.jpg\" style=\"object-position:76% 29%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"76% 29%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"2560\" height=\"1707\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-4024\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/young-female-teacher-finishing-to-draw-her-chart-for-mathematics-class-at-the-blackboard-scaled.jpg\" style=\"object-position:76% 29%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"76% 29%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/young-female-teacher-finishing-to-draw-her-chart-for-mathematics-class-at-the-blackboard-scaled.jpg 2560w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/young-female-teacher-finishing-to-draw-her-chart-for-mathematics-class-at-the-blackboard-300x200.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/young-female-teacher-finishing-to-draw-her-chart-for-mathematics-class-at-the-blackboard-1024x683.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/young-female-teacher-finishing-to-draw-her-chart-for-mathematics-class-at-the-blackboard-768x512.jpg 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/young-female-teacher-finishing-to-draw-her-chart-for-mathematics-class-at-the-blackboard-1536x1024.jpg 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/young-female-teacher-finishing-to-draw-her-chart-for-mathematics-class-at-the-blackboard-2048x1365.jpg 2048w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/young-female-teacher-finishing-to-draw-her-chart-for-mathematics-class-at-the-blackboard-272x182.jpg 272w\" sizes=\"auto, (max-width: 2560px) 100vw, 2560px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">Espacios y subespacios vectoriales<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Me siento muy feliz al saber que sigues aprovechando este curso de<strong> \u00c1lgebra Lineal,<\/strong> espero que lo sigas disfrutando, por lo tanto, te invito a comenzar nuestra quinta clase con el tema Espacios y subespacios vectoriales.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En muchas ocasiones, los sistemas de ecuaciones, que representan alguna situaci\u00f3n de inter\u00e9s, tienen soluciones infinitas. Si ese conjunto de soluciones infinitas cumple con 10 axiomas definidos para este prop\u00f3sito, entonces constituyen un espacio vectorial. En esta clase determinaremos si un conjunto de vectores es un espacio vectorial. Adem\u00e1s, veremos que los espacios vectoriales pueden ser representados de manera compacta a trav\u00e9s de un conjunto finito de vectores conocidos como base del espacio vectorial. M\u00e1s a\u00fan, aprenderemos a representar un vector en t\u00e9rminos de la base que m\u00e1s nos sea conveniente. Finalmente, veremos un proceso para obtener bases ortonormales que facilitan considerablemente las operaciones con los vectores de un determinado espacio vectorial.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Los espacios vectoriales pudieran parecer un concepto abstracto muy lejano de nuestras actividades comunes, pero no es as\u00ed. Por ejemplo, los dispositivos digitales que usamos cotidianamente como los tel\u00e9fonos, computadoras, televisiones y servicios de telecomunicaciones emplean algoritmos basados en espacios vectoriales que detectan y corrigen errores en la transmisi\u00f3n de datos.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sin m\u00e1s que agregar, te invito a proseguir. \u00a1\u00c9xito!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema <\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"espacios-vectoriales\">Espacios vectoriales<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un espacio vectorial o espacio lineal es un conjunto de vectores que cumple con diez axiomas definidos para este prop\u00f3sito. Los axiomas son afirmaciones que por su naturaleza se consideran verdaderas. Los axiomas de los espacios vectoriales est\u00e1n relacionados con las operaciones de suma de vectores y con la multiplicaci\u00f3n de vectores por escalares. Para determinar si un grupo de vectores forma un espacio vectorial es necesario comprobar que cumple con todos y cada uno de los diez axiomas. Cuando un grupo de vectores no cumple con uno o m\u00e1s axiomas no es un espacio vectorial. Por favor, revisa detalladamente los <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/qxGJRjaW\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Axiomas de los espacios vectoriales<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Allan Avenda\u00f1o). Tambi\u00e9n presentamos una aplicaci\u00f3n interactiva con el <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/mufcrp5x\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Espacio vectorial generado por el producto cruz<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Melany Tapia).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1-gZO72fAPz4H_4O_8QxoeoykruRJzBZZ\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Espacios vectoriales<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/r\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Documents\/Clases%20Algebra%20Lineal%202020-2\/S18-AL%20Espacios%20vectoriales-Axiomas%2016oct2020.mp4?csf=1&amp;web=1&amp;e=GGavtN\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Espacios vectoriales y sus axiomas<\/a><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"subespacios-vectoriales\">Subespacios vectoriales<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Subespacio vectorial<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un subespacio vectorial es un espacio vectorial (hijo) que est\u00e1 contenido dentro de otro espacio vectorial mayor (padre). Los subespacios vectoriales heredan propiedades del espacio vectorial padre y por esa raz\u00f3n, para determinar si un subconjunto de vectores es un subespacio vectorial es suficiente con comprobar el cumplimiento de s\u00f3lo dos axiomas: \u00ab<em>Cerradura bajo la suma<\/em>\u00bb y \u00ab<em>Cerradura bajo la multiplicaci\u00f3n por un escalar<\/em>\u00ab. En el siguiente enlace mostramos un material interactivo que te ayudar\u00e1 a identificar si un vector pertenece a un <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/zhxbz9qx#material\/R432hHrx\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Subespacio vectorial<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1xrBM1kHFgvVRr7u7wP3ebFWqxcuA-JJJ\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Subespacios vectoriales<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/r\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Documents\/Clases%20Algebra%20Lineal%202020-2\/S19-AL%20Espacios%20y%20subespacios%20vectoriales%2020oct2020.mp4?csf=1&amp;web=1&amp;e=Dl3s6B\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Subespacios vectoriales<\/a><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"combinaciones-lineales-y-espacio-generado\">Combinaciones lineales y espacio generado<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Combinaci\u00f3n lineal<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una combinaci\u00f3n lineal es una suma de vectores que est\u00e1n multiplicados por escalares. En el siguiente enlace presentamos la interpretaci\u00f3n gr\u00e1fica de una <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/rw9whn5g#material\/phz7bagf\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Combinaci\u00f3n lineal<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Chapitall).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Conjunto generador<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un conjunto generador es grupo de <em>n<\/em> vectores <strong><em>v<\/em><\/strong><strong><em><sub>1<\/sub><\/em><\/strong><em>, <\/em><strong><em>v<\/em><\/strong><strong><em><sub>2<\/sub><\/em><\/strong><em>, <\/em><strong><em>v<\/em><\/strong><strong><em><sub>3<\/sub><\/em><\/strong><em>, \u2026 <\/em><strong><em>v<\/em><\/strong><strong><em><sub>n<\/sub><\/em><\/strong> que pertenecen a un espacio vectorial y que a trav\u00e9s de combinaciones lineales pueden generar a todos los dem\u00e1s vectores de ese espacio vectorial.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Espacio generado<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es el conjunto de vectores que son generados mediante combinaciones lineales de <em>n<\/em> vectores generadores <strong><em>v<sub>1<\/sub><\/em><\/strong><em>, <\/em><strong><em>v<sub>2<\/sub><\/em><\/strong><em>, <\/em><strong><em>v<sub>3<\/sub><\/em><\/strong><em>, \u2026 <\/em><strong><em>v<sub>n<\/sub><\/em><\/strong> de un espacio vectorial.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Independencia lineal<\/strong><br>Un grupo de vectores <strong><em>v<sub>1<\/sub><\/em><\/strong><em>, <\/em><strong><em>v<sub>2<\/sub><\/em><\/strong><em>, <\/em><strong><em>v<sub>3<\/sub><\/em><\/strong><em>, \u2026 <\/em><strong><em>v<sub>n<\/sub><\/em><\/strong> es linealmente independiente cuando ninguno de estos vectores es m\u00faltiplo de otro y tampoco es posible representar a uno de esos vectores como una combinaci\u00f3n lineal de los dem\u00e1s. Existen dos herramientas para determinar si un grupo de vectores es linealmente independiente o dependiente. En el primer caso necesitamos <em>n<\/em> vectores de dimensi\u00f3n <em>n<\/em> para que estos vectores se conviertan en las columnas de una matriz cuadrada; si el determinante de esa matriz es diferente de cero, entonces los vectores son independientes o de lo contrario son dependientes. En el segundo caso debemos encontrar los escalares <em>C<sub>1<\/sub>, C<sub>2<\/sub>, C<sub>3<\/sub>, \u2026 C<sub>n<\/sub><\/em> que hacen que se cumpla la siguiente ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">escalares <em>C<sub>1<\/sub>, C<sub>2<\/sub>, C<sub>3<\/sub>, \u2026 C<sub>n<\/sub><\/em> que hacen que se cumpla la siguiente ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-4-1024x129.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4025\" width=\"683\" height=\"86\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-4-1024x129.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4025\" width=\"683\" height=\"86\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-4-1024x129.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-4-300x38.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-4-768x96.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-4.png 1242w\" sizes=\"auto, (max-width: 683px) 100vw, 683px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si la Ec. 1 tiene soluci\u00f3n \u00fanica ser\u00e1 la trivial (<em>C<\/em><em><sub>1<\/sub><\/em><em>=C<\/em><em><sub>2<\/sub><\/em><em>=C<\/em><em><sub>3<\/sub><\/em><em>= \u2026 =C<\/em><em><sub>n<\/sub><\/em>=0) y los vectores son independientes. De lo contrario, el sistema tendr\u00e1 soluciones infinitas y los vectores ser\u00e1n dependientes.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Toma en cuenta que un espacio vectorial de dimensi\u00f3n <em>n<\/em> tiene como m\u00e1ximo <em>n<\/em> vectores linealmente independientes. Adem\u00e1s, un conjunto de <em>n<\/em> vectores linealmente independientes genera al espacio vectorial <em>R<sup>n<\/sup><\/em>. Tambi\u00e9n es importante considerar que el concepto de independencia lineal aplica no s\u00f3lo a grupos de vectores, sino tambi\u00e9n a matrices y polinomios. Finalmente, te invito a explorar el contenido hipermedia acerca de la <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/q2uf6zy3\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Independencia y dependencia lineal<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Carlos).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1hvv00MbSrEeK6D8aXbo9kP2PXpjhu1re\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Independencia lineal y combinaciones lineales<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/EeEOpYpT6kFDvtopZEohpTMBbYzN8QAAErfcnLg9_N5DpQ?e=sfqs6H\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Independencia lineal y combinaciones lineales<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"bases-y-dimensiones\">Bases y dimensiones<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Base<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La base es un conjunto finito de vectores {<strong><em>v<\/em><\/strong><strong><em><sub>1<\/sub><\/em><\/strong><em>, <\/em><strong><em>v<\/em><\/strong><strong><em><sub>2<\/sub><\/em><\/strong><em>, <\/em><strong><em>v<\/em><\/strong><strong><em><sub>3<\/sub><\/em><\/strong><em>, \u2026 <\/em><strong><em>v<\/em><\/strong><strong><em><sub>n<\/sub><\/em><\/strong>} linealmente independientes que generan al espacio vectorial V. Un espacio vectorial tiene un n\u00famero infinito de bases.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Base can\u00f3nica<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una base can\u00f3nica est\u00e1 formada por un grupo de vectores linealmente independientes que tienen una componente igual a uno y las dem\u00e1s componentes son cero. A menudo se emplean bases can\u00f3nicas por su sencillez y porque facilitan los c\u00e1lculos. Ejemplo: Base can\u00f3nica = {<strong><em>i<\/em><\/strong>=(1, 0); <strong><em>j<\/em><\/strong>=(0, 1)}.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Dimensi\u00f3n de un espacio vectorial<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La dimensi\u00f3n de un espacio vectorial es el n\u00famero de vectores en la base. Todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma dimensi\u00f3n. Cualquier conjunto de <em>n<\/em> vectores linealmente independientes en un espacio vectorial de dimensi\u00f3n <em>n<\/em> constituye una base.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"cambios-de-base\">Cambios de base<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Cambios de base&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Usualmente, los vectores del espacio <em>R<\/em><em><sup>2<\/sup><\/em> son expresados como combinaciones lineales de una base can\u00f3nica formada por los vectores unitarios {<strong><em>i<\/em><\/strong>=(1, 0); <strong><em>j<\/em><\/strong>=(0, 1)} o en el espacio <em>R<\/em><em><sup>3<\/sup><\/em> por los vectores <strong><em>i<\/em><\/strong>=(1, 0, 0); <strong><em>j<\/em><\/strong>=(0, 1, 0); <strong><em>k<\/em><\/strong>=(0, 0, 1)}. Sin embargo, en algunas ocasiones resulta m\u00e1s sencillo utilizar otras bases. Un ejemplo de esta situaci\u00f3n ocurre cuando analizamos el movimiento de un objeto en un plano inclinado debido a la acci\u00f3n de una o m\u00e1s fuerzas; en estos casos, el uso de un sistema de coordenadas rotados facilita la soluci\u00f3n del problema.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Supongamos que tenemos un vector <strong><em>v<\/em><\/strong> representado por una combinaci\u00f3n lineal de la base <em>B<sub>1<\/sub><\/em>={<strong><em>i<\/em><\/strong>=(1, 0); <strong><em>j<\/em><\/strong>=(0, 1)} y que necesitamos representarlo como una combinaci\u00f3n de otra base <em>B<sub>2<\/sub><\/em> dada por <em>B<sub>2<\/sub><\/em>={<strong><em>p<\/em><\/strong><em>=(a<sub>1<\/sub>, a<sub>2<\/sub>); <\/em><strong><em>q<\/em><\/strong><em>=(b<sub>1<\/sub>, b<sub>2<\/sub><\/em>)}. Para realizar este cambio de base aplicamos la siguiente ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-3-1024x139.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4026\" width=\"653\" height=\"89\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-3-1024x139.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4026\" width=\"653\" height=\"89\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-3-1024x139.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-3-300x41.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-3-768x104.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-3.png 1088w\" sizes=\"auto, (max-width: 653px) 100vw, 653px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><em>T<\/em> es una matriz de transici\u00f3n de <em>B<sub>1<\/sub><\/em> a <em>B<sub>2<\/sub><\/em>. La matriz de transici\u00f3n est\u00e1 dada por <em>T=C<sup>-1<\/sup><\/em>, donde <em>C<\/em> es una matriz cuyas columnas son los vectores <strong><em>p<\/em><\/strong> y <strong><em>q<\/em><\/strong> de la base <em>B<sub>2<\/sub><\/em>. Te invito a que explores el contenido interactivo para <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/zhxbz9qx#material\/NUBj26b2\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Cambios de base<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez).<br>Para regresar un vector escrito en t\u00e9rminos de la base <em>B<sub>2<\/sub><\/em> a la base <em>B<sub>1<\/sub><\/em> aplicamos la siguiente ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-2-1024x151.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4027\" width=\"653\" height=\"98\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-2-1024x151.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4027\" width=\"653\" height=\"98\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En este caso, la matriz de transici\u00f3n de <em>B<\/em><em><sub>2<\/sub><\/em> a <em>B<\/em><em><sub>1<\/sub><\/em> es <em>C<\/em>, la matriz formada con los vectores de la base 2.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1d4HLBqQ0W1V8IobaGYsajOq6TUJn571X\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Bases, dimensiones y cambios de base<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/r\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Documents\/Clases%20Algebra%20Lineal%202020-2\/S21-AL%20Bases%20dimensiones%20y%20cambios%20de%20base%2027oct2020.mp4?csf=1&amp;web=1&amp;e=jWgtDp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Bases, dimensiones y cambios de base<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"bases-ortonormales\">Bases ortonormales<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Los cambios de base son muy \u00fatiles para facilitar el an\u00e1lisis de situaciones de inter\u00e9s en diferentes \u00e1reas de las ciencias. Sin embargo, los vectores de la nueva base frecuentemente tienen una magnitud diferente de uno y en general no son ortogonales. No obstante, siempre es deseable representar a los vectores de un espacio vectorial en t\u00e9rminos de bases ortonormales; es decir, con vectores base unitarios y perpendiculares entre s\u00ed, ya que las operaciones se simplifican considerablemente. Para obtener una base ortonormal aplicamos el proceso de ortonormalizaci\u00f3n de Gram-Schmidt.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Ortonormalizaci\u00f3n de Gram-Schmidt<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La ortonormalizaci\u00f3n de Gram-Schmidt consiste en que a partir de una base cualquiera obtengamos una base ortonormal formada por un conjunto de vectores que tengan la caracter\u00edstica de ser unitarios y perpendiculares entre s\u00ed. Para calcular el primer vector <strong><em>(u<sub>1<\/sub>)<\/em><\/strong> de la base ortonormal tomamos el vector <strong><em>v<sub>1<\/sub><\/em><\/strong> de la base original y lo dividimos entre su magnitud para hacerlo unitario o normalizarlo. Despu\u00e9s, para determinar el segundo vector ortonormal <strong><em>(u<sub>2<\/sub>) <\/em><\/strong>tomamos el vector <strong><em>v<sub>2<\/sub><\/em> <\/strong>de la base original y los transformamos en un vector perpendicular a <strong><em>u<sub>1<\/sub><\/em><\/strong>, para luego normalizarlo y obtener <strong><em>u<sub>2<\/sub><\/em><\/strong>. Para encontrar un tercer vector ortonormal tomamos el vector <strong><em>v<sub>3<\/sub><\/em><\/strong> de la base original y lo transformamos en un vector perpendicular a <strong><em>u<sub>1 <\/sub><\/em><\/strong>y<strong><em> u<sub>2<\/sub><\/em><\/strong>, para luego normalizarlo y obtener <strong><em>u<sub>3<\/sub>. <\/em><\/strong><em>Finalmente, r<\/em>epetimos este \u00faltimo paso tantas veces como vectores haya en la base original. Te invito a revisar los detalles del <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:b:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/EdDUjxT2wf1PpTIqxSiKzXgBlN85W7v80SsLqJu-R3-BtQ?e=GitL3N\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Proceso de ortonormalizaci\u00f3n de Gram-Schmidt<\/a> (Grossman, 2019); as\u00ed como su <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/zhxbz9qx#material\/d7yH2MTX\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Interpretaci\u00f3n gr\u00e1fica en <em>R<sup>3<\/sup><\/em><\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez) y los ejemplos resueltos del tema.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1wK3Tvzc1ncbg39eKxI5syWVLGtsF82qq\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Bases ortonormales<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/r\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Documents\/Clases%20Algebra%20Lineal%202020-2\/S22-AL%20Bases%20ortonormales%2030oct2020.mp4?csf=1&amp;web=1&amp;e=K5zix5\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Bases ortonormales<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Se concluye el tema diciendo que en algunas ocasiones, los sistemas de ecuaciones lineales tienen soluciones infinitas, cada una de ellas representada por un vector soluci\u00f3n. Si este conjunto de vectores soluci\u00f3n tiene algunas caracter\u00edsticas determinadas por el cumplimiento diez axiomas, entonces esos vectores forman un espacio o subespacio vectorial. Como los espacios vectoriales son conjuntos infinitos de vectores es m\u00e1s pr\u00e1ctico representarlos mediante su base que es un conjunto finito de vectores linealmente independientes que generan al espacio vectorial. Los espacios vectoriales tienen una cantidad infinita de bases, todas ellas con la misma dimensi\u00f3n. Para facilitar la resoluci\u00f3n de algunos problemas o situaciones de inter\u00e9s a menudo necesitamos realizar cambios de base y\/o generar bases ortonormales que permiten simplificar los c\u00e1lculos. Todos estos conceptos permiten determinar las caracter\u00edsticas de los sistemas de ecuaciones lineales para predecir y controlar un proceso en nuestro beneficio.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es as\u00ed como se concluye con esta quinta sesi\u00f3n. \u00a1Felicitaciones por tu esfuerzo y dedicaci\u00f3n, contin\u00faa haci\u00e9ndolo! No olvides realizar y mandar en tiempo y forma tu tarea, hasta luego.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"fuentes-de-informacion\">Fuentes de informaci\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Grossman, S. &amp; Godoy, J. (2019). <em>\u00c1lgebra Lineal.<\/em> (8\u00aa ed.). Mc Graw Hill.\u00c7<\/li><li>Luque, C., S\u00e1nchez, Y. &amp; Jim\u00e9nez H. (2018).<em> De los Grupos Abelianos al \u00c1lgebra Lineal Abstracta. <\/em>(1\u00aa Ed.). Universidad Pedag\u00f3gica Nacional.<\/li><li>Poole, D. (2018). <em>\u00c1lgebra Lineal. Una Introducci\u00f3n Moderna.<\/em> (4\u00aa ed.). Cengage Learning.<\/li><li>Saldarriaga, O. &amp; Giraldo, H. (2018). <em>\u00c1lgebra Lineal con el uso de Matlab.<\/em> Universidad de Antioquia.<\/li><li>Lay, D., McDonald, J. &amp; Lay, S. (2016). <em>\u00c1lgebra Lineal y sus Aplicaciones.<\/em> (5\u00aa ed.). Pearson Education.<\/li><li>Larson, R. (2015). <em>Fundamentos de \u00c1lgebra Lineal.<\/em> (7\u00aa ed.). Cengage Learning.<\/li><li>Guti\u00e9rrez, E. &amp; Ochoa, S. (2014). <em>\u00c1lgebra Lineal y sus Aplicaciones.<\/em>Editorial Patria.<\/li><li>Hitt, F. (2012). <em>\u00c1lgebra Lineal.<\/em> Pearson Education.<\/li><li>Kolman, B. &amp; Hill, D. (2012). <em>\u00c1lgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones.<\/em> (8\u00aa ed.). Pearson Education.<\/li><li>Nicholson, W. (2003). <em>\u00c1lgebra Lineal con Aplicaciones.<\/em> (4\u00aa ed.). Mc Graw Hill.<\/li><li>GeoGebra: https:\/\/www.geogebra.org<\/li><\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola! Me siento muy feliz al saber que sigues aprovechando este curso de \u00c1lgebra Lineal, espero que lo sigas disfrutando, por lo tanto, te invito a comenzar nuestra quinta clase con el tema Espacios y subespacios vectoriales. En muchas ocasiones, los sistemas de ecuaciones, que representan alguna situaci\u00f3n de inter\u00e9s, tienen soluciones infinitas. Si &#8230; <a title=\"Clase digital 5. Espacios y subespacios vectoriales\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-5-espacios-y-subespacios-vectoriales\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 5. 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