{"id":3856,"date":"2021-12-22T15:36:06","date_gmt":"2021-12-22T15:36:06","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=3856"},"modified":"2022-02-08T19:05:58","modified_gmt":"2022-02-08T19:05:58","slug":"clase-digital-6-transformaciones-lineales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-6-transformaciones-lineales\/","title":{"rendered":"Clase digital 6. Transformaciones lineales"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover is-light\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"has-background-dim-40 wp-block-cover__gradient-background has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-4043\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-6.png\" style=\"object-position:77% 74%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"77% 74%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1374\" height=\"870\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-4043\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-6.png\" style=\"object-position:77% 74%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"77% 74%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-6.png 1374w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-6-300x190.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-6-1024x648.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/Portada-6-768x486.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 1374px) 100vw, 1374px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">Transformaciones lineales<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es un placer encontrarte, espero que sigas gozando de una excelente salud y tengas buen \u00e1nimo por aprender cosas nuevas de este curso, por ello te invito a la sexta clase titulada Transformaciones lineales del curso <strong>\u00c1lgebra Lineal.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cuando observamos a los objetos desde un punto de vista distinto podemos apreciar mejor algunas caracter\u00edsticas que antes pasamos inadvertidas. Esta es justo la intenci\u00f3n de las transformaciones lineales, que podamos apreciar caracter\u00edsticas de los sistemas de ecuaciones lineales que dif\u00edcilmente captamos directamente de las ecuaciones algebraicas.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En esta clase digital representaremos a los sistemas de ecuaciones lineales como transformaciones lineales que tienen propiedades distintivas como el n\u00facleo, nulidad, imagen y rango. Adem\u00e1s, veremos que cualquier transformaci\u00f3n lineal puede estar representada como una matriz de transformaci\u00f3n. Mas a\u00fan, frecuentemente necesitamos aplicar dos o m\u00e1s transformaciones lineales a un mismo vector, y por consiguiente se incrementa la cantidad de c\u00e1lculos. En estos casos, es probable que podamos aplicar operaciones con transformaciones lineales con la finalidad de reducir la cantidad de trabajo.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Veamos de qu\u00e9 tratan las transformaciones lineales!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema <\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"transformaciones\">Transformaciones<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Transformaci\u00f3n<\/strong><br>En \u00e1lgebra lineal las transformaciones son funciones que toman un vector <strong><em>v<\/em><\/strong> del espacio vectorial <em>V<\/em> y lo convierten en otro vector <strong><em>w<\/em><\/strong> que pertenece a un espacio vectorial distinto <em>W<\/em>, es decir.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-5-1024x155.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4030\" width=\"618\" height=\"93\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-5-1024x155.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4030\" width=\"618\" height=\"93\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-5-1024x155.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-5-300x45.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-5-768x116.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-5.png 1030w\" sizes=\"auto, (max-width: 618px) 100vw, 618px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lo anterior se lee como \u00abla transformaci\u00f3n del vector <strong><em>v<\/em><\/strong> es igual al vector transformado <strong><em>w<\/em><\/strong>\u00ab.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una transformaci\u00f3n lineal puede tener una infinidad de efectos distintos sobre un vector. Entre los efectos m\u00e1s comunes que producen las transformaciones lineales sobre los vectores tenemos las expansiones, contracciones, reflexiones, proyecciones y rotaciones, aunque son frecuentes las transformaciones lineales que implican una combinaci\u00f3n de los efectos anteriores. En el siguiente enlace encontrar\u00e1s material interactivo que muestra la interpretaci\u00f3n gr\u00e1fica de <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/efNVGNnP\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Algunas transformaciones lineales en el plano<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Jos\u00e9 Luis D\u00e1vila).<br>En la siguiente ecuaci\u00f3n mostramos una transformaci\u00f3n lineal de reflexi\u00f3n respecto al eje <em>y<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-4-1024x118.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4031\" width=\"635\" height=\"73\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-4-1024x118.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4031\" width=\"635\" height=\"73\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-4-1024x118.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-4-300x35.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-4-768x89.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-4.png 1210w\" sizes=\"auto, (max-width: 635px) 100vw, 635px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En este caso, la transformaci\u00f3n gr\u00e1ficamente funciona como un espejo que refleja a los vectores teniendo como eje de simetr\u00eda al eje <em>y<\/em>. Adem\u00e1s, las transformaciones lineales no necesariamente toman y generan vectores de la misma dimensi\u00f3n como en la ecuaci\u00f3n anterior; sino que pueden tomar un vector de cualquier dimensi\u00f3n y transformarlo en un vector con dimensi\u00f3n distinta.<br>Podemos interpretar a un sistema de ecuaciones lineales con representaci\u00f3n matricial (<em>A<\/em><strong><em>x<\/em><\/strong><em>=<\/em><strong><em>b<\/em><\/strong>) como una funci\u00f3n que toma un vector <strong><em>x<\/em><\/strong> de productos y lo convierte en un vector <strong><em>b<\/em><\/strong> de materias primas requeridas para generar dichos productos. Al resolver la ecuaci\u00f3n matricial para <strong><em>x<\/em><\/strong> estar\u00edamos determinando la cantidad de productos generados a trav\u00e9s un proceso empleando una cierta cantidad de materia prima <strong><em>b<\/em><\/strong>. Lo anterior es una interpretaci\u00f3n del uso pr\u00e1ctico que pueden tener las transformaciones.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Transformaci\u00f3n lineal<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las transformaciones son lineales cuando cumplen con los siguientes requisitos de linealidad:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-3-1024x280.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4032\" width=\"635\" height=\"173\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-3-1024x280.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4032\" width=\"635\" height=\"173\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-3-1024x280.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-3-300x82.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-3-768x210.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-3.png 1156w\" sizes=\"auto, (max-width: 635px) 100vw, 635px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cuando una transformaci\u00f3n cumple con las Ecs. 3 y 4 decimos que es una transformaci\u00f3n lineal. Si una transformaci\u00f3n no cumple con uno o ambos requisitos de linealidad entonces es una transformaci\u00f3n no-lineal. En esta UDA nos concentraremos en propiedades, operaciones y aplicaciones de las transformaciones <strong>lineales.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1VgTht1VIG1kUwYXd2tGPmAE9QAFse9Q_\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Definiciones de las transformaciones lineales<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/r\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Documents\/Clases%20Algebra%20Lineal%202020-2\/S23-AL%20Definici%C3%B3nTransformacionesLineales%2003nov2020.mp4?csf=1&amp;web=1&amp;e=Q1XPBy\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Definiciones de transformaciones lineales<\/a><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"propiedades-de-las-transformaciones-lineales\">Propiedades de las transformaciones lineales<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las transformaciones lineales tienen cuatro propiedades que son el n\u00facleo, la nulidad, la imagen y el rango. Las transformaciones no-lineales no cuentan con estas propiedades.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>N\u00facleo<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El n\u00facleo de una transformaci\u00f3n lineal <em>Nu(T) <\/em>est\u00e1 formado por todos aquellos vectores <strong><em>v<\/em><\/strong> que pertenecen al espacio vectorial V y que al ser transformados dan como resultado el vector cero. Es decir,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-2-1024x138.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4033\" width=\"600\" height=\"83\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-2-1024x138.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4033\" width=\"600\" height=\"83\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En la mayor\u00eda de las ocasiones resulta m\u00e1s conveniente expresar al n\u00facleo como el conjunto de vectores generado a trav\u00e9s de combinaciones lineales de sus vectores base.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Nulidad<\/strong><br>La nulidad de una transformaci\u00f3n lineal <em>\u03bd(T)<\/em> es la dimensi\u00f3n del n\u00facleo, es decir, el n\u00famero de vectores en la base del n\u00facleo. Podemos expresar a la nulidad como:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-2-1024x138.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4034\" width=\"594\" height=\"81\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-2-1024x138.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4034\" width=\"594\" height=\"81\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-2-1024x138.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-2-300x40.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-2-768x103.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-2.png 1102w\" sizes=\"auto, (max-width: 594px) 100vw, 594px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cuando el n\u00facleo de una transformaci\u00f3n s\u00f3lo contiene al vector cero, entonces la nulidad es cero.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Imagen<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La imagen de una transformaci\u00f3n lineal <em>im(T)<\/em> est\u00e1 dada por el conjunto de vectores <strong><em>w<\/em><\/strong> que pertenecen al espacio transformado <em>W<\/em> y son obtenidos al aplicar la transformaci\u00f3n <em>T<\/em> a vectores <strong><em>v<\/em><\/strong> que pertenecen al espacio <em>V<\/em>. La imagen tambi\u00e9n se puede expresar de manera equivalente como:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-2-1024x142.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4035\" width=\"651\" height=\"90\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-2-1024x142.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4035\" width=\"651\" height=\"90\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-2-1024x142.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-2-300x42.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-2-768x106.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-2.png 1226w\" sizes=\"auto, (max-width: 651px) 100vw, 651px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De manera similar al n\u00facleo, es m\u00e1s conveniente expresar a la imagen como el conjunto de vectores generado a trav\u00e9s de combinaciones lineales de los vectores base del espacio transformado <em>W<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Rango<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El rango de una transformaci\u00f3n lineal est\u00e1 definido como la dimensi\u00f3n de la imagen, es decir,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-2-1024x132.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4036\" width=\"601\" height=\"77\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-2-1024x132.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4036\" width=\"601\" height=\"77\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-2-1024x132.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-2-300x39.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-2-768x99.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-2.png 1104w\" sizes=\"auto, (max-width: 601px) 100vw, 601px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cabe mencionar que la suma de la nulidad m\u00e1s el rango es igual al n\u00famero de renglones linealmente independientes de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1_Mb0XQax2JZAMTvpn6UAo1-bnJgM7NIH\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Propiedades de las transformaciones lineales<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/r\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Documents\/Clases%20Algebra%20Lineal%202020-2\/S24-AL%20PropiedadesTransformacionesLineales%2006nov2020.mp4?csf=1&amp;web=1&amp;e=nE09Cd\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Propiedades de las transformaciones lineales<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"representacion-matricial-de-las-transformaciones-lineales\">Representaci\u00f3n matricial de las transformaciones lineales<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Al principio de esta clase digital mencionamos que las transformaciones son funciones que toman un vector perteneciente a un espacio vectorial y lo convierten en otro vector que pertenece a un espacio vectorial distinto; pero no especificamos qu\u00e9 tipo de funci\u00f3n porque a\u00fan no era indispensable. En concreto, las transformaciones lineales (<em>T<\/em>) son matrices (<em>A<sub>T<\/sub><\/em>) que al multiplicarlas por un vector dan como resultado otro vector. Es decir,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-2-1024x153.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4037\" width=\"613\" height=\"91\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-2-1024x153.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4037\" width=\"613\" height=\"91\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-2-1024x153.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-2-300x45.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-2-768x115.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-2.png 1086w\" sizes=\"auto, (max-width: 613px) 100vw, 613px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para obtener la representaci\u00f3n matricial <em>A<sub>T<\/sub><\/em> de una transformaci\u00f3n lineal aplicamos la transformaci\u00f3n a los vectores base del espacio vectorial original (<em>V<\/em>). Luego, convertimos los vectores transformados en las columnas de la matriz de transformaci\u00f3n. Tomemos como ejemplo la transformaci\u00f3n de reflexi\u00f3n mostrada en la Ec. 2,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-2.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4038\" width=\"185\" height=\"48\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-2.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4038\" width=\"185\" height=\"48\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-2.png 350w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-2-300x77.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 185px) 100vw, 185px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A menos que se indique lo contrario, los vectores base del espacio original (<em>V<\/em>) son los vectores can\u00f3nicos, en este caso <strong><em>i<\/em><\/strong>=(1, 0) y <strong><em>j<\/em><\/strong>=(0, 1). Al aplicar la transformaci\u00f3n de reflexi\u00f3n a estos vectores base tenemos:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-2-1024x185.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4039\" width=\"570\" height=\"103\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-2-1024x185.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4039\" width=\"570\" height=\"103\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-2-1024x185.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-2-300x54.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-2-768x139.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-2.png 1094w\" sizes=\"auto, (max-width: 570px) 100vw, 570px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Despu\u00e9s convertimos los vectores transformados en las columnas de la matriz de transformaci\u00f3n dando como resultado,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-1-1024x165.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4040\" width=\"586\" height=\"94\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-1-1024x165.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4040\" width=\"586\" height=\"94\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-1-1024x165.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-1-300x48.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-1-768x124.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-1.png 1114w\" sizes=\"auto, (max-width: 586px) 100vw, 586px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Esta es la representaci\u00f3n matricial de la transformaci\u00f3n de reflexi\u00f3n dada por la Ec. 2. Podemos comprobar este resultado sustituyendo la transformaci\u00f3n <em>T<\/em> en la Ec. 2 por su representaci\u00f3n matricial de la siguiente manera:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-1-1024x124.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4041\" width=\"598\" height=\"73\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-1-1024x124.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4041\" width=\"598\" height=\"73\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-1-1024x124.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-1-300x36.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-1-768x93.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-1.png 1356w\" sizes=\"auto, (max-width: 598px) 100vw, 598px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Al resolver el producto matricial de la ecuaci\u00f3n anterior queda en evidencia que ambos lados de la ecuaci\u00f3n son iguales y por la tanto comprobamos que la Ec. 11 efectivamente es la representaci\u00f3n matricial de la transformaci\u00f3n de reflexi\u00f3n dada por la Ec. 2. Podemos obtener la representaci\u00f3n matricial de cualquier transformaci\u00f3n lineal de manera an\u00e1loga a este ejemplo. En los siguientes v\u00ednculos puedes apreciar gr\u00e1ficamente <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/Tur8YF64\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Algunas transformaciones lineales con representaci\u00f3n matricial<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez) y el <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/keG7vsZS\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Efecto de una transformaci\u00f3n lineal sobre una fotograf\u00eda<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Laura Hidalgo).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/13gKe4pd-9NbhukFHl5RLEHd-sxtPFP9Q\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Representaci\u00f3n matricial de las transformaciones lineales<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/r\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Documents\/Clases%20Algebra%20Lineal%202020-2\/S25-AL%20RepresentacionMatricialTL%2010nov2020.mp4?csf=1&amp;web=1&amp;e=pdzHbx\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Representaci\u00f3n matricial de las transformaciones lineales<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"operaciones-con-transformaciones-lineales\">Operaciones con transformaciones lineales<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Frecuentemente encontramos que a un vector se le aplica m\u00e1s de una transformaci\u00f3n lineal. En estos casos podemos simplificar los c\u00e1lculos de dos o m\u00e1s transformaciones lineales en una sola haciendo uso de las operaciones con transformaciones lineales. Las operaciones con transformaciones lineales son: suma y resta de transformaciones lineales, multiplicaci\u00f3n de una transformaci\u00f3n lineal por un escalar o escalares y composici\u00f3n de transformaciones lineales. Adem\u00e1s, las operaciones con transformaciones lineales tienen propiedades como la asociatividad de la suma, conmutatividad de la suma, id\u00e9ntico aditivo, propiedad distributiva de la suma de transformaciones lineales respecto multiplicaci\u00f3n por un escalar, propiedad distributiva de la suma de escalares respecto a la multiplicaci\u00f3n de una transformaci\u00f3n lineal por un escalar, propiedad pseudo-asociativa, id\u00e9ntico multiplicativo de campo, etc.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A continuaci\u00f3n, te invito a revisar un resumen en donde encontrar\u00e1s la definici\u00f3n formal de las operaciones con transformaciones lineales, demostraciones, ejemplos y ejercicios propuestos: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:b:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/EYYn9-pPQedLv4aPitKPb98BHKYiAcFBe4-lDZuNp2WSJQ?e=ipqN7f\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Operaciones con Transformaciones Lineales<\/a>. (Fuente: Universidad de Guanajuato, Autor: Jos\u00e9 Mar\u00eda Rico Mart\u00ednez).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1npkNTPM_WFtgLaiG1KHFl7yLNviUJEro\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Operaciones con transformaciones lineales<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/r\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Documents\/Clases%20Algebra%20Lineal%202020-2\/S26-AL%20Operaciones%20con%20transformaciones%20lineales%2013nov2020.mp4?csf=1&amp;web=1&amp;e=T2sqEC\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Operaciones con transformaciones lineales<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para concluir el tema recordemos lo siguiente:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las transformaciones lineales son herramientas algebraicas usadas para darle una representaci\u00f3n alternativa a los sistemas de ecuaciones lineales. Esto nos permite obtener las propiedades de las transformaciones lineales que son: el n\u00facleo, la nulidad, la imagen y el rango. Estas propiedades dependen \u00fanicamente de la matriz de transformaci\u00f3n <em>A<\/em><em><sub>T<\/sub><\/em> o equivalentemente de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales. Por lo tanto, una transformaci\u00f3n lineal y sus propiedades son generales, ya que dependen \u00fanicamente del proceso modelado por el sistema de ecuaciones lineales y no por condiciones espec\u00edficas establecidas para dicho proceso a trav\u00e9s de los t\u00e9rminos independientes.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Adem\u00e1s, podemos interpretar a una transformaci\u00f3n lineal como una caja negra que toma un vector <strong><em>v<\/em><\/strong> de un espacio vectorial <em>V<\/em> y lo convierte en otro vector <strong><em>w<\/em><\/strong> que pertenece a un espacio vectorial transformado <em>W<\/em>. S\u00f3lo necesitamos conocer al vector original <strong><em>v<\/em><\/strong> y al vector transformado <strong><em>w<\/em><\/strong> para determinar el efecto de la transformaci\u00f3n lineal sobre los vectores. Mas a\u00fan vimos que las transformaciones lineales son funciones que representamos a trav\u00e9s de matrices de transformaci\u00f3n <em>A<\/em><em><sub>T<\/sub><\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Finalmente, cuando necesitamos realizar varias transformaciones lineales a un vector es muy probable que podamos aplicar operaciones no al vector, sino a las transformaciones lineales con la finalidad de obtener una transformaci\u00f3n lineal global que reduce la cantidad de trabajo que requerimos para transformar a un vector.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Genial, has llegado al final de esta clase! \u00a1Mis felicitaciones! En la pr\u00f3xima clase presentaremos una de las transformaciones lineales m\u00e1s usadas en diferentes campos de la ciencia: la transformaci\u00f3n lineal para obtener valores y vectores propios. No olvides realizar y enviar correctamente la tarea asignada. Te espero en tu siguiente clase.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para concluir el tema recordemos lo siguiente:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las transformaciones lineales son herramientas algebraicas usadas para darle una representaci\u00f3n alternativa a los sistemas de ecuaciones lineales. Esto nos permite obtener las propiedades de las transformaciones lineales que son: el n\u00facleo, la nulidad, la imagen y el rango. Estas propiedades dependen \u00fanicamente de la matriz de transformaci\u00f3n <em>A<\/em><em><sub>T<\/sub><\/em> o equivalentemente de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales. Por lo tanto, una transformaci\u00f3n lineal y sus propiedades son generales, ya que dependen \u00fanicamente del proceso modelado por el sistema de ecuaciones lineales y no por condiciones espec\u00edficas establecidas para dicho proceso a trav\u00e9s de los t\u00e9rminos independientes.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Adem\u00e1s, podemos interpretar a una transformaci\u00f3n lineal como una caja negra que toma un vector <strong><em>v<\/em><\/strong> de un espacio vectorial <em>V<\/em> y lo convierte en otro vector <strong><em>w<\/em><\/strong> que pertenece a un espacio vectorial transformado <em>W<\/em>. S\u00f3lo necesitamos conocer al vector original <strong><em>v<\/em><\/strong> y al vector transformado <strong><em>w<\/em><\/strong> para determinar el efecto de la transformaci\u00f3n lineal sobre los vectores. Mas a\u00fan vimos que las transformaciones lineales son funciones que representamos a trav\u00e9s de matrices de transformaci\u00f3n <em>A<\/em><em><sub>T<\/sub><\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Finalmente, cuando necesitamos realizar varias transformaciones lineales a un vector es muy probable que podamos aplicar operaciones no al vector, sino a las transformaciones lineales con la finalidad de obtener una transformaci\u00f3n lineal global que reduce la cantidad de trabajo que requerimos para transformar a un vector.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Genial, has llegado al final de esta clase! \u00a1Mis felicitaciones! En la pr\u00f3xima clase presentaremos una de las transformaciones lineales m\u00e1s usadas en diferentes campos de la ciencia: la transformaci\u00f3n lineal para obtener valores y vectores propios. No olvides realizar y enviar correctamente la tarea asignada. Te espero en tu siguiente clase.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"fuentes-de-informacion\">Fuentes de informaci\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Grossman, S. &amp; Godoy, J. (2019). <em>\u00c1lgebra Lineal.<\/em> (8\u00aa ed.). Mc Graw Hill.\u00c7<\/li><li>Luque, C., S\u00e1nchez, Y. &amp; Jim\u00e9nez H. (2018).<em> De los Grupos Abelianos al \u00c1lgebra Lineal Abstracta. <\/em>(1\u00aa Ed.). Universidad Pedag\u00f3gica Nacional.<\/li><li>Poole, D. (2018). <em>\u00c1lgebra Lineal. Una Introducci\u00f3n Moderna.<\/em> (4\u00aa ed.). Cengage Learning.<\/li><li>Saldarriaga, O. &amp; Giraldo, H. (2018). <em>\u00c1lgebra Lineal con el uso de Matlab.<\/em> Universidad de Antioquia.<\/li><li>Lay, D., McDonald, J. &amp; Lay, S. (2016). <em>\u00c1lgebra Lineal y sus Aplicaciones.<\/em> (5\u00aa ed.). Pearson Education.<\/li><li>Larson, R. (2015). <em>Fundamentos de \u00c1lgebra Lineal.<\/em> (7\u00aa ed.). Cengage Learning.<\/li><li>Guti\u00e9rrez, E. &amp; Ochoa, S. (2014). <em>\u00c1lgebra Lineal y sus Aplicaciones.<\/em>Editorial Patria.<\/li><li>Hitt, F. (2012). <em>\u00c1lgebra Lineal.<\/em> Pearson Education.<\/li><li>Kolman, B. &amp; Hill, D. (2012). <em>\u00c1lgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones.<\/em> (8\u00aa ed.). Pearson Education.<\/li><li>Nicholson, W. (2003). <em>\u00c1lgebra Lineal con Aplicaciones.<\/em> (4\u00aa ed.). Mc Graw Hill.<\/li><li>GeoGebra: https:\/\/www.geogebra.org<\/li><\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola! Es un placer encontrarte, espero que sigas gozando de una excelente salud y tengas buen \u00e1nimo por aprender cosas nuevas de este curso, por ello te invito a la sexta clase titulada Transformaciones lineales del curso \u00c1lgebra Lineal. Cuando observamos a los objetos desde un punto de vista distinto podemos apreciar mejor algunas &#8230; <a title=\"Clase digital 6. 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