{"id":3859,"date":"2021-12-22T15:40:03","date_gmt":"2021-12-22T15:40:03","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=3859"},"modified":"2022-02-08T20:29:22","modified_gmt":"2022-02-08T20:29:22","slug":"clase-digital-7-valores-y-vectores-propios","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-7-valores-y-vectores-propios\/","title":{"rendered":"Clase digital 7. Valores y vectores propios"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"has-background-dim-40 wp-block-cover__gradient-background has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-4057\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-3399730-jpeg-scaled.jpg\" style=\"object-position:75% 30%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"75% 30%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"2560\" height=\"1706\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-4057\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-3399730-jpeg-scaled.jpg\" style=\"object-position:75% 30%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"75% 30%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-3399730-jpeg-scaled.jpg 2560w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-3399730-jpeg-300x200.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-3399730-jpeg-1024x683.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-3399730-jpeg-768x512.jpg 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-3399730-jpeg-1536x1024.jpg 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-3399730-jpeg-2048x1365.jpg 2048w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-3399730-jpeg-272x182.jpg 272w\" sizes=\"auto, (max-width: 2560px) 100vw, 2560px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">Valores y vectores propios<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Qu\u00e9 emoci\u00f3n volvernos a encontrar! Espero que sigas con ese mismo \u00edmpetu de la primera clase y contin\u00faes aprendiendo, por lo tanto te invito a esta s\u00e9ptima clase titulada Valores y vectores propios del curso<strong> \u00c1lgebra Lineal.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En la clase anterior vimos el concepto de las transformaciones lineales. Una de las transformaciones lineales m\u00e1s usadas es la que da origen a los valores y vectores propios (tambi\u00e9n conocidos como valores y vectores caracter\u00edsticos, o eigenvalores y eigenvectores). Las valores y vectores propios son caracter\u00edsticas intr\u00ednsecas de los objetos o procesos modelados a trav\u00e9s de sistemas de ecuaciones lineales y han encontrado aplicaci\u00f3n en muchas \u00e1reas de la ciencia. Por ejemplo, los valores y vectores propios son usados en filogen\u00e9tica a trav\u00e9s del an\u00e1lisis de componentes principales para determinar si un grupo de cepas pertenecen al mismo linaje. Tambi\u00e9n pueden ser usados para determinar c\u00f3mo var\u00eda la poblaci\u00f3n de una especie, generaci\u00f3n con generaci\u00f3n. Adicionalmente, tambi\u00e9n son \u00fatiles para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales que pueden representar la interacci\u00f3n entre dos o m\u00e1s especies; algo que veremos en la pr\u00f3xima clase. Las anteriores son s\u00f3lo algunas aplicaciones de los valores y vectores propios, pero sin duda tienen aplicaci\u00f3n en casi todas las \u00e1reas de la ciencia.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En esta clase presentaremos el m\u00e9todo anal\u00edtico para obtener valores y vectores propios. Adem\u00e1s, veremos el concepto de semejanza de matrices que nos permitir\u00e1 darle una representaci\u00f3n m\u00e1s simple y fundamental a una matriz de coeficientes.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Veamos de qu\u00e9 tratan en concreto los valores y vectores propios.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema <\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"valores-y-vectores-propios\">Valores y vectores propios<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Consideremos un sistema de ecuaciones lineales con mismo n\u00famero de ecuaciones y de inc\u00f3gnitas como el siguiente:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-6-1024x341.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4045\" width=\"824\" height=\"274\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-6-1024x341.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4045\" width=\"824\" height=\"274\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-6-1024x341.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-6-300x100.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-6-768x256.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-6.png 1332w\" sizes=\"auto, (max-width: 824px) 100vw, 824px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La representaci\u00f3n matricial del sistema de ecuaciones anteriores es:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-5-1024x59.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4046\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"59\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-5-1024x59.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4046\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-5-1024x59.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-5-300x17.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-5-768x44.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-5-1536x88.png 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-5.png 1816w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Los valores y vectores propios del sistema de ecuaciones lineales anterior y que podemos escribir de manera compacta como <em>A<\/em><strong><em>x<\/em><\/strong>=<strong><em>b<\/em><\/strong> dependen \u00fanicamente de la matriz de coeficientes <em>A<\/em>, la cual a su vez est\u00e1 determinada por las caracter\u00edsticas del proceso u objeto modelado.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-4-1024x84.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4047\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"84\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-4-1024x84.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4047\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-4-1024x84.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-4-300x25.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-4-768x63.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-4-1536x126.png 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-4.png 1826w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Los valores y vectores propios surgen de una transformaci\u00f3n lineal en particular que toma un vector <strong><em>x<\/em><\/strong> y lo transforma en el mismo vector multiplicado por un escalar <em>\u03bb<\/em>. Es decir,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-3-1024x151.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4048\" width=\"496\" height=\"73\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-3-1024x151.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4048\" width=\"496\" height=\"73\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-3-1024x151.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-3-300x44.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-3-768x113.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-3.png 1034w\" sizes=\"auto, (max-width: 496px) 100vw, 496px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Donde <strong><em>x<\/em><\/strong> es el vector propio y <em>\u03bb<\/em> el valor propio. Podemos escribir esta transformaci\u00f3n lineal como:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-3-1024x145.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4049\" width=\"524\" height=\"74\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-3-1024x145.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4049\" width=\"524\" height=\"74\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-3-1024x145.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-3-300x43.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-3-768x109.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-3.png 1084w\" sizes=\"auto, (max-width: 524px) 100vw, 524px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><em>I<\/em> es una matriz identidad con la misma dimensi\u00f3n que <em>A<\/em> que nos permite compensar la dimensi\u00f3n al factorizar <strong><em>x<\/em><\/strong>. La Ec. 5 es un sistema de ecuaciones lineales homog\u00e9neo cuyas soluciones de inter\u00e9s son las soluciones infinitas, que son justamente los vectores propios <strong><em>x<\/em><\/strong>. As\u00ed que debemos encontrar las condiciones para que la Ec. 5 tenga soluciones infinitas. Esto ocurre cuando la matriz entre los par\u00e9ntesis de la Ec. 5 es singular: por lo tanto,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-3-1024x149.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4050\" width=\"543\" height=\"79\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-3-1024x149.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4050\" width=\"543\" height=\"79\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-3-1024x149.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-3-300x44.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-3-768x112.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-3.png 1100w\" sizes=\"auto, (max-width: 543px) 100vw, 543px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La soluci\u00f3n de este determinante genera una funci\u00f3n que depende de <em>\u03bb<\/em> y que es conocida como <em>polinomio caracter\u00edstico<\/em> <em>p(\u03bb)<\/em>. Las ra\u00edces del polinomio caracter\u00edstico son los valores propios <em>\u03bb<\/em> de la matriz <em>A<\/em>. Una matriz <em>A<\/em> de dimensi\u00f3n <em>nxn<\/em> tiene <em>n<\/em> valores caracter\u00edsticos que pueden ser reales, imaginarios o complejos (Ver el contenido interactivo <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/js9DkW2c\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Naturaleza de los valores propios<\/a>, Fuente: GeoGebra, Autor: Ant\u00f3n Valdes G\u00f3mez).&nbsp; Despu\u00e9s de calcular los valores caracter\u00edsticos, los sustituimos uno a uno en la Ec. 5 para calcular el vector propio <strong><em>x<\/em><\/strong> asociado a cada valor de <em>\u03bb<\/em>. Cabe mencionar que el vector propio asociado a un valor <em>\u03bb<\/em> de hecho no es \u00fanico, sino que es un conjunto infinito de vectores que usualmente se expresan como el espacio generado por el o los vectores base. Para facilitar la interpretaci\u00f3n de los valores y vectores propios te propongo que revises el <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/sjq63Mct\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Visualizador de valores y vectores propios<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una aplicaci\u00f3n interesante de los valores y vectores propios son los modelos de crecimiento de poblaci\u00f3n como el descrito en la secci\u00f3n 8.2 de Grossman, 2019. La soluci\u00f3n de este ejercicio puede comprobarse f\u00e1cilmente con el archivo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:x:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/EVeHJPwF5atOsd0UafQp5iIBg6x75aVdlbCyiqXoYmERBw?e=rwI8kO\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Soluci\u00f3n del Modelo de Crecimiento de Poblaci\u00f3n<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1M0dzuq_imMFY2EkIdgPeljroyL49WlnI\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Valores y vectores propios<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/r\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Documents\/Clases%20Algebra%20Lineal%202020-2\/S28-AL%20Valores%20y%20vectores%20caracter%C3%ADsticos%2020nov2020.mp4?csf=1&amp;web=1&amp;e=6NAOfi\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Valores y vectores propios<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"matrices-semejantes\">Matrices semejantes<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Semejanza<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dos matrices cuadradas son semejantes (no iguales) cuando tienen los mismos valores propios. Para que dos matrices cuadradas <em>A<\/em> y <em>B<\/em> sean semejantes, debe existir una matriz <em>C<\/em> tal que se cumpla la transformaci\u00f3n de semejanza:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-3-1024x130.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4051\" width=\"583\" height=\"74\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-3-1024x130.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4051\" width=\"583\" height=\"74\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-3-1024x130.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-3-300x38.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-3-768x97.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-3.png 1056w\" sizes=\"auto, (max-width: 583px) 100vw, 583px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una de las caracter\u00edsticas m\u00e1s relevantes de la transformaci\u00f3n de semejanza es que nos permite representar a una matriz <em>A<\/em> mediante una matriz semejante m\u00e1s sencilla y fundamental.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"diagonalizacion-de-matrices\">Diagonalizaci\u00f3n de matrices<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Matriz diagonal<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En una matriz diagonal, uno o m\u00e1s elementos en su diagonal principal son diferentes de cero; mientras que los elementos fuera de la diagonal principal son cero.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En muchas ocasiones, resulta \u00fatil representar a una matriz de manera m\u00e1s sencilla a trav\u00e9s de una matriz diagonal semejante debido a que en las matrices diagonales los valores propios son los elementos en su diagonal principal.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Proceso de diagonalizaci\u00f3n<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para obtener una matriz diagonal <em>D<\/em> semejante a una matriz <em>A<\/em> se debe cumplir la siguiente transformaci\u00f3n de semejanza:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-3-1024x109.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4052\" width=\"524\" height=\"58\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-3-1024x109.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4052\" width=\"524\" height=\"58\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para encontrar la matriz diagonal <em>D,<\/em> calculamos los vectores propios de <em>A<\/em> y los convertimos en las columnas de <em>C<\/em> para despu\u00e9s invertirla y resolver la Ec. 8. Como es de esperarse, los elementos en la diagonal principal de <em>D<\/em> ser\u00e1n sus valores propios y coincidir\u00e1n con los de la matriz <em>A<\/em>. Opcionalmente, te sugiero revisar el siguiente contenido hipermedia: <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/ajfrhmpz\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Tres aplicaciones de los valores y vectores propios<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cabe mencionar que no todas las matrices se pueden diagonalizar. Para que una matriz <em>A<\/em> de <em>nxn<\/em> sea diagonalizable es indispensable que tenga <em>n<\/em> vectores propios linealmente independientes. Cuando una matriz tiene valores y vectores propios repetidos es muy probable que no se pueda diagonalizar.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1Ot7TjwxYt6Zy_Dw1lvOk5FdZr-scIT9W\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Matrices semejantes y diagonalizaci\u00f3n<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/r\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Documents\/Clases%20Algebra%20Lineal%202020-2\/S29-AL%20MatricesSemejantes%20%26%20Diagonalizacion%20de%20Matrices%2024nov2020.mp4?csf=1&amp;web=1&amp;e=BDpLkN\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Matrices semejantes y diagonalizaci\u00f3n<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"matrices-simetricas-y-diagonalizacion-ortogonal\">Matrices sim\u00e9tricas y diagonalizaci\u00f3n ortogonal<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Matrices sim\u00e9tricas<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En este tipo de matrices existe una correspondencia exacta entre los elementos que est\u00e1n a ambos lados de la diagonal principal. Si una matriz <em>A<\/em> es sim\u00e9trica, entonces es igual a su transpuesta; es decir:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4053\" width=\"613\" height=\"90\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4053\" width=\"613\" height=\"90\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-3.png 1008w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-3-300x43.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-3-768x111.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 613px) 100vw, 613px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un ejemplo de matriz sim\u00e9trica es el siguiente:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-3-1024x130.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4054\" width=\"644\" height=\"83\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-3-1024x130.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4054\" width=\"644\" height=\"83\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-3-1024x130.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-3-300x38.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 644px) 100vw, 644px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las matrices sim\u00e9tricas siempre tienen valores y vectores propios reales. Para diagonalizar una matriz sim\u00e9trica es necesario aplicar un proceso de diagonalizaci\u00f3n ortogonal.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Matriz ortogonal<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En las matrices ortogonales <em>Q<\/em>, las columnas representan vectores ortogonales o perpendiculares entre s\u00ed. Adem\u00e1s, las matrices ortogonales tienen la propiedad de que su inversa es igual a su transpuesta y por lo tanto es f\u00e1cil de calcular, es decir,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-2-1024x141.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4055\" width=\"628\" height=\"86\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-2-1024x141.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4055\" width=\"628\" height=\"86\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-2-1024x141.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-2-300x41.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-2-768x106.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-2.png 1028w\" sizes=\"auto, (max-width: 628px) 100vw, 628px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Diagonalizaci\u00f3n ortogonal<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para obtener una matriz diagonal <em>D<\/em> semejante a una matriz sim\u00e9trica <em>A<\/em> debemos aplicar la siguiente transformaci\u00f3n de semejanza,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-2-1024x157.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4056\" width=\"651\" height=\"100\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-2-1024x157.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4056\" width=\"651\" height=\"100\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-2-1024x157.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-2-300x46.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-2-768x117.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-2.png 1046w\" sizes=\"auto, (max-width: 651px) 100vw, 651px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La matriz <em>Q<\/em> es una matriz ortogonal cuyas columnas son vectores ortonormales obtenidos al aplicar el <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:b:\/g\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/EdDUjxT2wf1PpTIqxSiKzXgBlN85W7v80SsLqJu-R3-BtQ?e=GitL3N\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">proceso de ortonormalizaci\u00f3n de Gram-Schmidt<\/a> a los vectores propios de la matriz <em>A<\/em>. Veamos en el siguiente material interactivo el proceso de diagonalizaci\u00f3n ortogonal de matrices sim\u00e9tricas 2&#215;2 y 3&#215;3: <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/fhzvtwyp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Diagonalizaci\u00f3n ortogonal de matrices sim\u00e9tricas<\/a> (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Mel\u00e9ndez).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cuando una matriz <em>A<\/em> no es diagonalizable podemos obtener su Forma Can\u00f3nica de Jordan que, aunque no es diagonal, tambi\u00e9n es semejante a la matriz <em>A<\/em> y tiene aplicaciones similares a la matriz diagonal. Las Formas Can\u00f3nicas de Jordan ser\u00e1n definidas en la siguiente clase digital junto con una aplicaci\u00f3n importante, la soluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones diferenciales matriciales.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1_7bMbS2pQ5IYmnAqtQaoxnnTKkC3tySZ\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Matrices sim\u00e9tricas y diagonalizaci\u00f3n ortogonal<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/r\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Documents\/Clases%20Algebra%20Lineal%202020-2\/S30-AL%20Matrices%20sim%C3%A9tricas%20y%20diagonalizaci%C3%B3n%20ortogonal%2027nov2020.mp4?csf=1&amp;web=1&amp;e=UHC6MK\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Matrices sim\u00e9tricas y diagonalizaci\u00f3n ortogonal<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para concluir la clase repasemos lo siguiente:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las valores y vectores propios est\u00e1n determinados por la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y est\u00e1n asociados a las propiedades intr\u00ednsecas del sistema u objeto estudiado. Los valores y vectores propios tienen aplicaci\u00f3n en pr\u00e1cticamente todos los campos de la ciencia, incluyendo el an\u00e1lisis filogen\u00e9tico de microorganismos, modelos de crecimiento de poblaci\u00f3n, la soluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones diferenciales que representan las poblaciones de especies que interact\u00faan s\u00ed, las vibraciones en sistemas mec\u00e1nicos, sistemas el\u00e9ctricos, procesamiento digital de im\u00e1genes y datos, y muchos m\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Adicionalmente, demostramos que en muchas ocasiones es posible representar a una matriz de coeficientes mediante una matriz diagonal m\u00e1s sencilla y pr\u00e1ctica, pero con los mismos valores propios. Tambi\u00e9n presentamos los m\u00e9todos para diagonalizar matrices regulares y para la diagonalizaci\u00f3n ortogonal de matrices sim\u00e9tricas. Una de las aplicaciones m\u00e1s importantes de las matrices diagonales es justamente la soluci\u00f3n de cierto tipo de sistemas de ecuaciones diferenciales.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Hemos llegado al final de la sesi\u00f3n y no me resta m\u00e1s que felicitarte por llegar hasta esta parte del curso. Te invito a que contin\u00faes con tu proceso formativo realizando la tarea asignada y mandarla como corresponde. Te encuentro pr\u00f3ximamente.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Est\u00e1s cerca de la meta, no te detengas.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"fuentes-de-informacion\">Fuentes de informaci\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Grossman, S. &amp; Godoy, J. (2019). <em>\u00c1lgebra Lineal.<\/em> (8\u00aa ed.). Mc Graw Hill.\u00c7<\/li><li>Luque, C., S\u00e1nchez, Y. &amp; Jim\u00e9nez H. (2018).<em> De los Grupos Abelianos al \u00c1lgebra Lineal Abstracta. <\/em>(1\u00aa Ed.). Universidad Pedag\u00f3gica Nacional.<\/li><li>Poole, D. (2018). <em>\u00c1lgebra Lineal. Una Introducci\u00f3n Moderna.<\/em> (4\u00aa ed.). Cengage Learning.<\/li><li>Saldarriaga, O. &amp; Giraldo, H. (2018). <em>\u00c1lgebra Lineal con el uso de Matlab.<\/em> Universidad de Antioquia.<\/li><li>Lay, D., McDonald, J. &amp; Lay, S. (2016). <em>\u00c1lgebra Lineal y sus Aplicaciones.<\/em> (5\u00aa ed.). Pearson Education.<\/li><li>Larson, R. (2015). <em>Fundamentos de \u00c1lgebra Lineal.<\/em> (7\u00aa ed.). Cengage Learning.<\/li><li>Guti\u00e9rrez, E. &amp; Ochoa, S. (2014). <em>\u00c1lgebra Lineal y sus Aplicaciones.<\/em>Editorial Patria.<\/li><li>Hitt, F. (2012). <em>\u00c1lgebra Lineal.<\/em> Pearson Education.<\/li><li>Kolman, B. &amp; Hill, D. (2012). <em>\u00c1lgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones.<\/em> (8\u00aa ed.). Pearson Education.<\/li><li>Nicholson, W. (2003). <em>\u00c1lgebra Lineal con Aplicaciones.<\/em> (4\u00aa ed.). Mc Graw Hill.<\/li><li>GeoGebra: https:\/\/www.geogebra.org<\/li><\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola! \u00a1Qu\u00e9 emoci\u00f3n volvernos a encontrar! Espero que sigas con ese mismo \u00edmpetu de la primera clase y contin\u00faes aprendiendo, por lo tanto te invito a esta s\u00e9ptima clase titulada Valores y vectores propios del curso \u00c1lgebra Lineal. En la clase anterior vimos el concepto de las transformaciones lineales. Una de las transformaciones lineales &#8230; <a title=\"Clase digital 7. Valores y vectores propios\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-7-valores-y-vectores-propios\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 7. Valores y vectores propios\">Leer m\u00e1s<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":142,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"_crdt_document":"","episode_type":"","audio_file":"","podmotor_file_id":"","podmotor_episode_id":"","cover_image":"","cover_image_id":"","duration":"","filesize":"","filesize_raw":"","date_recorded":"","explicit":"","block":"","itunes_episode_number":"","itunes_title":"","itunes_season_number":"","itunes_episode_type":"","footnotes":""},"categories":[15,16],"tags":[41,145,62],"class_list":["post-3859","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ingenieria-en-biotecnologia","category-uda-algebra-lineal-ingenieria-en-biotecnologia","tag-clase-digital","tag-juan-carlos-ramirez-granados","tag-neli04035"],"acf":[],"jetpack_featured_media_url":"","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3859","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/users\/142"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3859"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3859\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7188,"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3859\/revisions\/7188"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3859"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3859"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3859"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}