{"id":3861,"date":"2021-12-22T15:47:40","date_gmt":"2021-12-22T15:47:40","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=3861"},"modified":"2022-02-08T18:54:40","modified_gmt":"2022-02-08T18:54:40","slug":"clase-digital-8-sistemas-de-ecuaciones-diferenciales-matriciales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-8-sistemas-de-ecuaciones-diferenciales-matriciales\/","title":{"rendered":"Clase digital 8. Sistemas de ecuaciones diferenciales matriciales"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover is-light\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"has-background-dim-40 wp-block-cover__gradient-background has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-4080\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-902084-jpeg.jpg\" style=\"object-position:72% 72%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"72% 72%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1200\" height=\"796\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-4080\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-902084-jpeg.jpg\" style=\"object-position:72% 72%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"72% 72%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-902084-jpeg.jpg 1200w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-902084-jpeg-300x199.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-902084-jpeg-1024x679.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/image-from-rawpixel-id-902084-jpeg-768x509.jpg 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 1200px) 100vw, 1200px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">Sistemas de ecuaciones diferenciales matriciales<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Espero que te encuentres gozando de una salud impecable y sobre todo mantengas tu buen \u00e1nimo para continuar con tu \u00faltima clase del curso a la cual se le ha llamado Sistemas de ecuaciones diferenciales matriciales del curso de <strong>\u00c1lgebra Lineal.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Algunas matrices de coeficientes no son diagonalizables debido a la dependencia lineal de sus vectores propios. Cuando una matriz de coeficientes no es diagonalizable podemos obtener su forma can\u00f3nica de Jordan, la cual proporciona informaci\u00f3n similar a la matriz diagonal.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En esta clase definiremos conceptos como los bloques de Jordan y las matrices de Jordan; y mostraremos c\u00f3mo obtenerlas. Tambi\u00e9n presentaremos una aplicaci\u00f3n importante de los valores y vectores propios que consiste en la soluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones diferenciales matriciales de primer orden. Finalmente aplicaremos este m\u00e9todo de soluci\u00f3n al an\u00e1lisis de un modelo de poblaci\u00f3n tipo presa-depredador.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Espero que disfrutes tu \u00faltima sesi\u00f3n. \u00a1Mucho \u00e9xito!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema <\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"formas-canonicas-de-jordan\">Formas can\u00f3nicas de jordan<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Bloques de Jordan<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un bloque de Jordan <em>B(\u03bb)<\/em> es una matriz cuadrada de dimensi\u00f3n <em>nxn<\/em> con el mismo valor <em>\u03bb<\/em> en todos los elementos de la diagonal principal, unos arriba de la diagonal principal y ceros en los elementos restantes. Los siguientes son algunos ejemplos de bloques de Jordan,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-7-1024x70.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4059\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"70\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-7-1024x70.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4059\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-7-1024x70.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-7-300x20.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-7-768x52.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-7-1536x105.png 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/1-7.png 1786w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Matriz de Jordan<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una matriz de Jordan (<em>J<\/em>) es una matriz cuadrada de dimensi\u00f3n <em>kxk<\/em> que tiene bloques de Jordan en la diagonal principal y ceros en los elementos restantes; es decir:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-6-1024x74.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4060\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"74\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-6-1024x74.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4060\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-6-1024x74.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-6-300x22.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-6-768x56.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-6-1536x111.png 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/2-6.png 1764w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En una matriz de Jordan cada uno de los bloques puede tener una dimensi\u00f3n distinta. Adem\u00e1s, es interesante notar que cuando una matriz de Jordan est\u00e1 formada por bloques de 1&#215;1 obtenemos una matriz diagonal; por lo tanto, una matriz diagonal es una matriz de Jordan.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Formas can\u00f3nicas de Jordan<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para cualquier matriz cuadrada <em>(A)<\/em> de dimensi\u00f3n <em>kxk<\/em> existe una matriz <em>C<\/em> tal que se cumple la siguiente transformaci\u00f3n de semejanza,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-5-1024x142.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4061\" width=\"505\" height=\"70\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-5-1024x142.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4061\" width=\"505\" height=\"70\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-5-1024x142.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-5-300x42.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-5-768x106.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/3-5.png 1040w\" sizes=\"auto, (max-width: 505px) 100vw, 505px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><em>J<\/em> es una matriz de Jordan cuyos elementos en la diagonal principal coinciden con sus valores propios y con los de la matriz <em>A<\/em>; por lo tanto, <em>J<\/em> es semejante a la matriz <em>A.<\/em> Esta matriz de Jordan es conocida como la <em>Forma Can\u00f3nica de Jordan de la matriz A<\/em>.<br>Cuando la matriz <em>A<\/em> es diagonalizable, la matriz <em>C<\/em> est\u00e1 formada por los vectores propios linealmente independientes de <em>A<\/em>. Sin embargo, cuando la matriz <em>A<\/em> no es diagonalizable los vectores propios de <em>A<\/em> son dependientes. En este \u00faltimo caso, la matriz <em>C<\/em> estar\u00e1 formada por un vector propio repetido o dependiente <strong><em>v<sub>1<\/sub><\/em><\/strong> y por un <em>vector propio generalizado<\/em><strong><em>v<sub>2<\/sub><\/em><\/strong> que satisface la siguiente ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-4-1024x160.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4062\" width=\"475\" height=\"74\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-4-1024x160.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4062\" width=\"475\" height=\"74\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-4-1024x160.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-4-300x47.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-4-768x120.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/4-4.png 1078w\" sizes=\"auto, (max-width: 475px) 100vw, 475px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De esta manera obtendremos la forma can\u00f3nica de Jordan para matrices diagonalizables y no diagonalizables.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1JVdftIo-JBMigjue0nEM9I8ceF6FPiBY\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Formas can<\/a><a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1JVdftIo-JBMigjue0nEM9I8ceF6FPiBY\/view?usp=sharing\">\u00f3nicas de Jordan<\/a>. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/r\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Documents\/Clases%20Algebra%20Lineal%202020-2\/S31-AL%20Formas%20canonicas%20de%20Jordan%2001Dic2020.mp4?csf=1&amp;web=1&amp;e=uj0YR7\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Formas can\u00f3nicas de Jordan<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"sistemas-de-ecuaciones-diferenciales-matriciales\">Sistemas de ecuaciones diferenciales matriciales<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Ecuaci\u00f3n diferencial<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una ecuaci\u00f3n diferencial es una ecuaci\u00f3n que incluye derivadas con respecto de al menos una variable independiente. Las ecuaciones diferenciales a menudo surgen cuando modelamos procesos naturales o de laboratorio. Por ejemplo, frecuentemente es relevante la tasa relativa de crecimiento de una poblaci\u00f3n de una especie, la cual est\u00e1 definida por la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-4-1024x94.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4063\" width=\"663\" height=\"61\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-4-1024x94.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4063\" width=\"663\" height=\"61\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-4-1024x94.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-4-300x27.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-4-768x70.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/5-4.png 1422w\" sizes=\"auto, (max-width: 663px) 100vw, 663px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Donde <em>x\u00b4(t)<\/em> es <em>dx\/dt<\/em> y <em>x(t)<\/em> es la funci\u00f3n de poblaci\u00f3n con respecto del tiempo <em>t<\/em>. Si la poblaci\u00f3n ha llegado al estado estable, entonces la tasa relativa de crecimiento es igual a una constante (<em>a<\/em>), y podemos reescribir la Ec. 5 de la siguiente manera,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-4-1024x119.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4064\" width=\"656\" height=\"76\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-4-1024x119.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4064\" width=\"656\" height=\"76\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-4-1024x119.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-4-300x35.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-4-768x90.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/6-4.png 1046w\" sizes=\"auto, (max-width: 656px) 100vw, 656px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las funciones que son proporcionales a su primera derivada son las exponenciales. Por esa raz\u00f3n, la funci\u00f3n soluci\u00f3n de la Ec. 6 es:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-4-1024x139.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4066\" width=\"666\" height=\"90\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-4-1024x139.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4066\" width=\"666\" height=\"90\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-4-1024x139.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-4-300x41.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-4-768x104.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/7-4.png 1048w\" sizes=\"auto, (max-width: 666px) 100vw, 666px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><em>x<\/em><em><sub>0<\/sub><\/em> es un valor inicial que corresponde al valor de la funci\u00f3n <em>x<\/em> en <em>t<\/em>=0 y necesitamos conocerlo para obtener la soluci\u00f3n particular de la ecuaci\u00f3n diferencial.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Sistema de ecuaciones diferenciales matriciales<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Frecuentemente necesitamos analizar procesos en los que est\u00e1n relacionadas varias funciones determinadas por ecuaciones diferenciales. As\u00ed pues, un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de ecuaciones diferenciales que dependen de las mismas funciones. Existe una amplia variedad de ecuaciones diferenciales y m\u00e9todos para resolverlas, aqu\u00ed consideraremos un sistema de <em>n<\/em> ecuaciones diferenciales de primer orden con <em>n<\/em> funciones desconocidas de la siguiente forma,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-4-1024x387.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4067\" width=\"740\" height=\"279\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-4-1024x387.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4067\" width=\"740\" height=\"279\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-4-1024x387.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-4-300x113.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-4-768x290.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/8-4.png 1466w\" sizes=\"auto, (max-width: 740px) 100vw, 740px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La representaci\u00f3n matricial de este sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-4-1024x71.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4068\" width=\"1024\" height=\"71\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-4-1024x71.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4068\" width=\"1024\" height=\"71\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-4-1024x71.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-4-300x21.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-4-768x53.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-4-1536x107.png 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/9-4.png 1810w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Podemos expresar a la Ec. 9 de manera compacta como:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-4-1024x126.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4069\" width=\"514\" height=\"63\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-4-1024x126.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4069\" width=\"514\" height=\"63\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-4-1024x126.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-4-300x37.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-4-768x94.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/10-4.png 1058w\" sizes=\"auto, (max-width: 514px) 100vw, 514px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">de las funciones soluci\u00f3n del sistema de ecuaciones. Esta ecuaci\u00f3n matricial es muy parecida a la Ec. 6 y tambi\u00e9n tiene una soluci\u00f3n exponencial de tipo <em>e<\/em><em><sup>At<\/sup><\/em>; sin embargo, es importante recordar que la Ec. 10 no es escalar, sino matricial y por esta raz\u00f3n necesitamos definir <em>e<\/em><em><sup>At<\/sup><\/em>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Matriz soluci\u00f3n principal<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><em>e<\/em><em><sup>At<\/sup><\/em> es una matriz cuadrada que se denomina matriz exponencial o matriz soluci\u00f3n principal de la ecuaci\u00f3n <strong><em>x\u00b4(t)<\/em><\/strong>=A<strong><em>x(t)<\/em><\/strong>. Para obtener la matriz soluci\u00f3n principal identificamos dos casos: matrices diagonalizables y matrices no diagonalizables.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si la matriz <em>A<\/em> es diagonalizable, entonces primero obtenemos su forma can\u00f3nica de Jordan (matriz diagonal),<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-3-1024x85.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4070\" width=\"908\" height=\"75\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-3-1024x85.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4070\" width=\"908\" height=\"75\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-3-1024x85.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-3-300x25.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-3-768x64.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-3-1536x128.png 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/11-3.png 1870w\" sizes=\"auto, (max-width: 908px) 100vw, 908px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cuando la matriz <em>A<\/em> no es diagonalizable hay una modificaci\u00f3n en el procedimiento. Por ejemplo, para una matriz <em>A<\/em> de 2&#215;2 no diagonalizable debemos calcular su forma can\u00f3nica de Jordan como,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-3-1024x127.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4071\" width=\"593\" height=\"73\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-3-1024x127.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4071\" width=\"593\" height=\"73\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-3-1024x127.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-3-300x37.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-3-768x95.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/12-3.png 1336w\" sizes=\"auto, (max-width: 593px) 100vw, 593px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para matrices no diagonalizables de mayor dimensi\u00f3n seguimos el razonamiento anterior y la estructura de las matrices de Jordan. Una vez que determinamos la matriz <em>e<sup>Jt<\/sup><\/em> obtenemos la matriz soluci\u00f3n principal mediante la siguiente ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/13-1-1024x149.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4072\" width=\"523\" height=\"76\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/13-1-1024x149.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4072\" width=\"523\" height=\"76\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/13-1-1024x149.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/13-1-300x44.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/13-1-768x112.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/13-1.png 1070w\" sizes=\"auto, (max-width: 523px) 100vw, 523px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Donde <em>C<\/em> es la matriz formada con los vectores propios linealmente independientes de la matriz <em>A<\/em>. En caso de que la matriz <em>A<\/em> tenga valores y vectores propios dependientes calculamos un vector propio generalizado para formar la matriz <em>C<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Soluci\u00f3n del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La soluci\u00f3n del sistema de ecuaciones diferenciales de la Ec. 9, que expresamos matricialmente como <strong><em>x\u00b4(t)=<\/em><\/strong><em>A<\/em><strong><em>x(t),<\/em><\/strong> es:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/14-1-1024x154.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4073\" width=\"521\" height=\"78\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/14-1-1024x154.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4073\" width=\"521\" height=\"78\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/14-1-1024x154.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/14-1-300x45.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/14-1-768x115.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/14-1.png 1052w\" sizes=\"auto, (max-width: 521px) 100vw, 521px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"aplicacion-modelo-presa-depredador\">Aplicaci\u00f3n: modelo presa-depredador<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>x<sub>0<\/sub><\/em><\/strong> es el vector con los valores iniciales de las funciones soluci\u00f3n y <em>e<sup>At<\/sup><\/em> es la matriz soluci\u00f3n principal del sistema de ecuaciones diferenciales.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Consideremos un ecosistema en donde dos especies con poblaciones <em>x<sub>1<\/sub>(t)<\/em> y <em>x<sub>2<\/sub>(t)<\/em> interact\u00faan mutuamente. Podr\u00edamos representar matem\u00e1ticamente a este ecosistema a trav\u00e9s de un modelo biol\u00f3gico simplificado determinado por el crecimiento relativo de ambas especies como:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/15-1-1024x231.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4074\" width=\"528\" height=\"119\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/15-1-1024x231.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4074\" width=\"528\" height=\"119\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/15-1-1024x231.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/15-1-300x68.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/15-1-768x173.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/15-1.png 1160w\" sizes=\"auto, (max-width: 528px) 100vw, 528px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Este sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden tiene tres casos particulares. Cuando a<sub>12<\/sub> y a<sub>21<\/sub> son negativos, las especies compiten por la supervivencia porque el aumento de una poblaci\u00f3n implica la disminuci\u00f3n de la otra; en este caso tenemos un \u00abModelo competitivo\u00bb. Por otra parte, si a<sub>12<\/sub> es negativo y a<sub>21<\/sub> es positivo tendremos que un aumento en la poblaci\u00f3n uno implica que la poblaci\u00f3n dos crece y que un incremento en la poblaci\u00f3n dos implica una disminuci\u00f3n de la especie uno; por lo tanto, esto corresponde a un \u00abModelo presa-depredador\u00bb donde la especie 1 es la presa y la especie 2 la depredadora. Finalmente, si a<sub>12<\/sub> y a<sub>21<\/sub> son positivos tendr\u00edamos un \u00abModelo simbi\u00f3tico\u00bb donde cada especie favorece el incremento de la poblaci\u00f3n de la otra.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Consideremos el siguiente Modelo presa-depredador,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/16-1-1024x214.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4075\" width=\"509\" height=\"106\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/16-1-1024x214.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4075\" width=\"509\" height=\"106\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/16-1-1024x214.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/16-1-300x63.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/16-1-768x161.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/16-1.png 1128w\" sizes=\"auto, (max-width: 509px) 100vw, 509px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para este sistema las poblaciones iniciales de presas y depredadores son <strong><em>x<sub>1<\/sub><\/em><\/strong>(0)=100 y <strong>x<em><sub>2<\/sub><\/em><\/strong>(0)=20, respectivamente; donde <em>t<\/em> est\u00e1 dada en a\u00f1os. La matriz de coeficientes de este sistema de ecuaciones diferenciales es:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/17-1-1024x124.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4076\" width=\"510\" height=\"63\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/17-1-1024x124.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4076\" width=\"510\" height=\"63\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/17-1-1024x124.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/17-1-300x36.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/17-1-768x93.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/17-1.png 1090w\" sizes=\"auto, (max-width: 510px) 100vw, 510px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Los valores propios de <em>A<\/em> son <em>\u03bb<sub>1<\/sub><\/em>=<em>\u03bb<sub>2<\/sub><\/em>=3, con un mismo vector propio <strong><em>v<sub>1<\/sub><\/em><\/strong>=(1,-1). Un vector propio generalizado que satisface la ecuaci\u00f3n <em>(A-\u03bb<\/em><strong><em>I<\/em><\/strong><em>)<\/em><strong><em>v<sub>2<\/sub><\/em><\/strong><em>=<\/em><strong><em>v<sub>1<\/sub><\/em><\/strong> es <strong><em>v<sub>2<\/sub><\/em><\/strong>=(1,-2). Entonces,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/18-1-1024x94.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4077\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"94\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/18-1-1024x94.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4077\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/18-1-1024x94.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/18-1-300x28.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/18-1-768x71.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/18-1-1536x141.png 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/18-1.png 1806w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La matriz soluci\u00f3n principal es:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/19-1-1024x105.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4078\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"105\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/19-1-1024x105.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4078\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/19-1-1024x105.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/19-1-300x31.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/19-1-768x79.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/19-1-1536x158.png 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/19-1.png 1634w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Por lo tanto, la soluci\u00f3n de este sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/20-1-1024x78.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4079\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"78\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/20-1-1024x78.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4079\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/20-1-1024x78.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/20-1-300x23.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/20-1-768x58.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/20-1-1536x116.png 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2021\/12\/20-1.png 1768w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De la ecuaci\u00f3n anterior vemos que la poblaci\u00f3n de presas como funci\u00f3n del tiempo es <em>x<sub>1<\/sub>(t)=100e<sup>3t<\/sup>-120te<sup>3t<\/sup><\/em>; mientras que la poblaci\u00f3n de depredadores es <em>x<sub>2<\/sub>(t)=20e<sup>3t<\/sup>+120te<sup>3t<\/sup><\/em>. Aunque al inicio la poblaci\u00f3n de presas es cinco veces mayor que la de depredadores, conforme transcurre el tiempo la poblaci\u00f3n de presas disminuye y los depredadores aumentan de tal manera que las presas ser\u00edan exterminadas cuando <em>x<sub>1<\/sub>(t)=100e<sup>3t<\/sup>-120te<sup>3t<\/sup>=0.<\/em> Es decir, las presas ser\u00edan eliminadas en <em>t<\/em>=5\/6 de a\u00f1o o 10 meses y habr\u00eda 1461 depredadores.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplos resueltos: <a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1JSLA1aQqc5xefloZv18UJhwQiuzzoIsG\/view?usp=sharing\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener nofollow\">Ecuaciones diferenciales matriciales aplicadas a un Modelo Presa-Depredador<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Video explicativo: <a href=\"https:\/\/ugtomx-my.sharepoint.com\/:v:\/r\/personal\/jcramirez_ugto_mx\/Documents\/Clases%20Algebra%20Lineal%202020-2\/S32-AL%20Ecuaciones%20diferenciales%20matriciales%2004Dic2020.mp4?csf=1&amp;web=1&amp;e=XDslhN\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Ecuaciones diferenciales matriciales aplicadas a un modelo Presa-Depredador<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para concluir la clase repasemos lo siguiente:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En esta clase vimos que todas las matrices de coeficientes con mismo n\u00famero de renglones y columnas tienen una forma can\u00f3nica de Jordan, la cual es una matriz cuyos elementos en la diagonal principal coinciden con sus valores propios y con los de la matriz de coeficientes. Por lo tanto, las formas can\u00f3nicas de Jordan son una representaci\u00f3n m\u00e1s fundamental y pr\u00e1ctica de una matriz de coeficientes, y podemos emplearlas en diversas aplicaciones incluyendo la soluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Los sistemas de ecuaciones diferenciales sirven para modelar matem\u00e1ticamente una gran diversidad de procesos naturales o de laboratorio tales como los modelos de crecimiento de poblaci\u00f3n y nos permiten determinar el tipo de interacci\u00f3n que existe entre especies.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Enhorabuena!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Has concluido la \u00faltima clase del curso! \u00a1Muchas felicidades! Ahora tienes m\u00e1s herramientas para analizar,&nbsp; predecir y controlar una amplia variedad de procesos en beneficio de las personas y el medio ambiente. Ha sido un gozo compartir contigo este trayecto formativo. Deseo que el curso haya cumplido con tus expectativas y encuentres satisfacci\u00f3n con los temas abordados, as\u00ed como con tu desempe\u00f1o y compromiso. No olvides realizar la tarea asignada para la plena conclusi\u00f3n del curso. Espero encontrarte nuevamente, \u00a1hasta pronto!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"fuentes-de-informacion\">Fuentes de informaci\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Grossman, S. &amp; Godoy, J. (2019). <em>\u00c1lgebra Lineal.<\/em> (8\u00aa ed.). Mc Graw Hill.\u00c7<\/li><li>Luque, C., S\u00e1nchez, Y. &amp; Jim\u00e9nez H. (2018).<em> De los Grupos Abelianos al \u00c1lgebra Lineal Abstracta. <\/em>(1\u00aa Ed.). Universidad Pedag\u00f3gica Nacional.<\/li><li>Poole, D. (2018). <em>\u00c1lgebra Lineal. Una Introducci\u00f3n Moderna.<\/em> (4\u00aa ed.). Cengage Learning.<\/li><li>Saldarriaga, O. &amp; Giraldo, H. (2018). <em>\u00c1lgebra Lineal con el uso de Matlab.<\/em> Universidad de Antioquia.<\/li><li>Lay, D., McDonald, J. &amp; Lay, S. (2016). <em>\u00c1lgebra Lineal y sus Aplicaciones.<\/em> (5\u00aa ed.). Pearson Education.<\/li><li>Larson, R. (2015). <em>Fundamentos de \u00c1lgebra Lineal.<\/em> (7\u00aa ed.). Cengage Learning.<\/li><li>Guti\u00e9rrez, E. &amp; Ochoa, S. (2014). <em>\u00c1lgebra Lineal y sus Aplicaciones.<\/em>Editorial Patria.<\/li><li>Hitt, F. (2012). <em>\u00c1lgebra Lineal.<\/em> Pearson Education.<\/li><li>Kolman, B. &amp; Hill, D. (2012). <em>\u00c1lgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones.<\/em> (8\u00aa ed.). Pearson Education.<\/li><li>Nicholson, W. (2003). <em>\u00c1lgebra Lineal con Aplicaciones.<\/em> (4\u00aa ed.). Mc Graw Hill.<\/li><li>GeoGebra: https:\/\/www.geogebra.org<\/li><\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola! Espero que te encuentres gozando de una salud impecable y sobre todo mantengas tu buen \u00e1nimo para continuar con tu \u00faltima clase del curso a la cual se le ha llamado Sistemas de ecuaciones diferenciales matriciales del curso de \u00c1lgebra Lineal. Algunas matrices de coeficientes no son diagonalizables debido a la dependencia lineal &#8230; <a title=\"Clase digital 8. Sistemas de ecuaciones diferenciales matriciales\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-8-sistemas-de-ecuaciones-diferenciales-matriciales\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 8. 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