{"id":4537,"date":"2022-01-14T18:32:00","date_gmt":"2022-01-14T18:32:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=4537"},"modified":"2022-02-08T18:58:25","modified_gmt":"2022-02-08T18:58:25","slug":"clase-digital-4-conduccion-bidimensional-en-estado-permanente","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-4-conduccion-bidimensional-en-estado-permanente\/","title":{"rendered":"Clase digital 4. Conducci\u00f3n bidimensional en estado permanente"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover is-light\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"has-background-dim-40 wp-block-cover__gradient-background has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-4538\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/1634197.jpg\" style=\"object-position:59% 52%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"59% 52%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1280\" height=\"852\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-4538\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/1634197.jpg\" style=\"object-position:59% 52%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"59% 52%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/1634197.jpg 1280w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/1634197-300x200.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/1634197-1024x682.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/1634197-768x511.jpg 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/1634197-272x182.jpg 272w\" sizes=\"auto, (max-width: 1280px) 100vw, 1280px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">Conducci\u00f3n bidimensional en estado permanente<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En la sesi\u00f3n previa nos abocamos a determinar la forma de calcular el perfil de temperaturas y el flujo de calor presente en una placa plana sujeta al mecanismo de transferencia de calor por conducci\u00f3n unidimensional. En la presente clase nos enfocaremos en mostrar la forma de generar el perfil de temperaturas de una barra plana de perfil cuadrado a partir de condiciones de frontera espec\u00edficas considerando el mecanismo de transferencia de calor bidimensional en estado permanente. Vale la pena decir que se est\u00e1 considerando este caso en particular, ya que es el m\u00e1s did\u00e1ctico posible tanto en resoluci\u00f3n anal\u00edtica como en resoluci\u00f3n num\u00e9rica, en la cual haremos un mayor \u00e9nfasis en este bloque. Antes de iniciar es importante que repases la resoluci\u00f3n de c\u00e1lculo diferencial y ecuaciones diferenciales sujetas a condiciones de frontera.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pensemos nuevamente en tu escritorio, pero hagamos una modificaci\u00f3n: imagina que cortas la tabla en tiras del mismo grosor y espesor. Entonces, lo que podemos ver es un prisma largo de base cuadrada con una arista igual al espesor de la tabla. Si nos enfocamos solamente en la secci\u00f3n cuadrada y, de alguna manera, mantenemos temperaturas constantes sobre todas las superficies que forman el cuadrado tendremos algo similar a lo mostrado en la Diagrama 1.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/madera-1024x653.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4558\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"653\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/madera-1024x653.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4558\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/madera-1024x653.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/madera-300x191.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/madera-768x490.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/madera-1536x980.png 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/madera-2048x1307.png 2048w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/noscript><figcaption>Diagrama 1. Secci\u00f3n cuadrada longitudinal de tu escritorio.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ahora requerimos saber el perfil de temperaturas presente en toda la secci\u00f3n cuadrada para fines de dise\u00f1o, \u00bfqu\u00e9 podr\u00edamos hacer? Si partimos nuevamente de la ecuaci\u00f3n de energ\u00eda mostrada en clases anteriores, se tiene que:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/PC.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4540\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"972\" height=\"188\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/PC.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4540\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/PC.png 972w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/PC-300x58.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/PC-768x149.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 972px) 100vw, 972px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Considerando que necesitamos saber el perfil de temperaturas de la placa a condiciones de estado permanente, sin generaci\u00f3n interna de energ\u00eda, sin fluidos interactuando entre s\u00ed, con un material de propiedades homog\u00e9neas, y tomando en cuenta que el flujo de calor a lo largo de la direcci\u00f3n longitudinal es despreciable comparado con las dimensiones del cuadrado mostrado, se tiene que la ecuaci\u00f3n gobernante por conducci\u00f3n bidimensional en estado permanente es:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/s2.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4541\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"284\" height=\"147\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/s2.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4541\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Esta es una ecuaci\u00f3n parcial homog\u00e9nea de segundo orden, la cual puede ser resuelta a trav\u00e9s de t\u00e9cnicas anal\u00edticas (sustituci\u00f3n y separaci\u00f3n de variables) que normalmente son abordadas en cursos de posgrado enfocados a la resoluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales parciales sujetas a condiciones de frontera, pero t\u00fa tambi\u00e9n puedes resolverla (Leer recurso digital Fundamentos de transferencia de calor pp.163-167 y Conduction heat transfer pp.193-195).<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li><a href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Fundamentos-de-transferencia-de-calor-paginas-161-a-173.pdf\">Fundamentos de transferencia de calor &#8211; p\u00e1ginas 161 a 173<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Conduction-Heat-Transfer-paginas193-a-195.pdf\">Conduction Heat Transfer &#8211; p\u00e1ginas 193 &#8211; 195<\/a><\/li><\/ul>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/0.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4544\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"836\" height=\"199\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/0.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4544\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/0.png 836w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/0-300x71.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/0-768x183.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 836px) 100vw, 836px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es un hecho que la resoluci\u00f3n te resultar\u00e1 complicada, pero esta es la forma de resolver problemas de conducci\u00f3n en forma anal\u00edtica. En consecuencia, \u00bfse requiere cursar un posgrado en Ingenier\u00eda para lograr resolver problemas con geometr\u00edas o condiciones de frontera m\u00e1s complejas? La respuesta es no, de hecho muy pocos sistemas pueden ser resueltos a trav\u00e9s de t\u00e9cnicas anal\u00edticas. Por ejemplo, si en lugar de un cuadrado consideramos la superficie de un cofre de auto, el nivel de complejidad para la resoluci\u00f3n anal\u00edtica ser\u00eda elevado y seguramente despu\u00e9s de mucho tiempo invertido llegar\u00edas a la conclusi\u00f3n de que no se puede resolver a menos que se hagan consideraciones que afecten la geometr\u00eda del sistema haci\u00e9ndola m\u00e1s simple (como un cuadrado). Entonces, \u00bfc\u00f3mo es que se resuelve un sistema en la vida real? A la fecha, el desarrollo tecnol\u00f3gico del ser humano ha planteado tres formas de resolver los problemas, en este caso, de tipo ingenieril. Estas tres maneras son:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\"><li><strong>Resoluci\u00f3n anal\u00edtica<\/strong>. Se basa en resolver las ecuaciones gobernantes del fen\u00f3meno sujeto a las condiciones iniciales y de frontera a partir de t\u00e9cnicas anal\u00edticas, siendo principalmente la soluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales homog\u00e9neas y no homog\u00e9neas de primer orden y orden superior. Para alcanzar la resoluci\u00f3n apropiada se requieren de habilidades matem\u00e1ticas importantes.<\/li><li><strong>Resoluci\u00f3n experimental<\/strong>. Consiste en la comprensi\u00f3n del fen\u00f3meno gobernante a partir del desarrollo de experimentos con un dise\u00f1o y una matriz de casos adecuados. Los experimentos deben enfocarse en conocer la respuesta del fen\u00f3meno a partir de perturbaciones controladas. Se requiere de una amplia experiencia y una inversi\u00f3n econ\u00f3mica importante para la obtenci\u00f3n de resultados apropiados.<\/li><li><strong>Resoluci\u00f3n num\u00e9rica<\/strong>. Estriba en resolver las ecuaciones gobernantes del fen\u00f3meno sujeto a las consideraciones iniciales y de frontera a partir de discretizaciones en vol\u00famenes de control infinitesimales y soluciones num\u00e9ricas lineales con modelos de soluci\u00f3n basados en \u00e1lgebra lineal y aceleradores de resultados normalmente conocidos como Jacobianos. Esta forma est\u00e1 siendo ampliamente usada en la industria debido a su alta rugosidad y relativo bajo costo, sin embargo se requiere que los desarrolladores conozcan a fondo el fen\u00f3meno para tener resultados confiables.<\/li><\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En la unidad de aprendizaje, nos enfocaremos solamente en las t\u00e9cnicas num\u00e9ricas para resolver problemas de conducci\u00f3n bidimensional en estado permanente. Como se mencion\u00f3 arriba, la soluci\u00f3n num\u00e9rica se basa en resolver las ecuaciones diferenciales gobernantes a trav\u00e9s de la resoluci\u00f3n de un sistema de ecuaciones lineales. Para esto consideremos la siguiente idea:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><em>Retomemos la placa plana que hemos trabajado hasta el momento, pero aclaremos un punto: en este momento a\u00fan no conocemos el c\u00f3mo se<\/em> <em>comporta el perfil de temperaturas pero sabemos que no es lineal (Diagrama 2). Por lo tanto, como se mencion\u00f3 anteriormente, la soluci\u00f3n num\u00e9rica se basa en realizar una discretizaci\u00f3n apropiada del sistema, esto es, generar un n\u00famero de elementos infinitesimales dentro del sistema sobre los cuales se aplican las ecuaciones gobernantes. Para el caso que citamos, consideremos que seccionamos la placa en un n\u00famero M de elementos a lo largo de su espesor (Diagrama 2, izquierda, puntos sobre el eje x). Por consiguiente, la soluci\u00f3n que buscamos nos la aportar\u00e1 cada uno de estos elementos infinitesimales a fin de construir la curva de comportamiento del fen\u00f3meno (Diagrama 2, izquierda, l\u00ednea rosa).<\/em><\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Pared-plana.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4545\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"860\" height=\"449\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Pared-plana.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4545\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Pared-plana.png 860w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Pared-plana-300x157.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Pared-plana-768x401.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 860px) 100vw, 860px\" \/><\/noscript><figcaption>Diagrama 2. Discretizaci\u00f3n de elementos infinitesimales a lo largo de la secci\u00f3n transversal de la placa (izquierda) y su asociaci\u00f3n con la pendiente de una curva (derecha). Fuente: (\u00c7engel, 2007).<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Entonces, enfoquemonos en el punto m (Diagrama 2, izquierda). Este es representado por la ecuaci\u00f3n diferencial gobernante como la primera derivada de la variable dependiente entre la variable independiente, <em>f\/x<\/em>, esto es, la pendiente de una recta teniendo como punto de contacto el punto m. Sin embargo, de acuerdo a tus clases de calculo, la pendiente depende del conocer al menos dos puntos independientes. Aqu\u00ed toma importancia ya sea el punto <em>m + 1<\/em> o el punto <em>m &#8211; 1<\/em>, el cual aportar\u00e1 a la relaci\u00f3n <em>f\/x<\/em> (Diagrama 2, derecha). Este principio se repetir\u00eda para cada uno de los puntos usados en la discretizaci\u00f3n. Si llevamos estas ideas a los conceptos b\u00e1sicos de c\u00e1lculo, tendr\u00edamos que:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/DF.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4546\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"916\" height=\"179\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/DF.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4546\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/DF.png 916w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/DF-300x59.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/DF-768x150.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 916px) 100vw, 916px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">osea, la diferencia de la funci\u00f3n respecto a la variable independiente la podemos aproximar como la diferencia entre la funci\u00f3n evaluada a un punto superior y la funci\u00f3n en ese punto, y esta diferencia dividida entre la variaci\u00f3n de la variable independiente. Si nos movemos a los fundamentos dados por las <strong>series de Taylor<\/strong>, se tiene que:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/F.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4547\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"739\" height=\"152\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/F.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4547\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/F.png 739w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/F-300x62.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 739px) 100vw, 739px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Conviene hacer notar que la serie de Taylor puede ser infinita, pero a nivel ingenieril no nos podemos dar el lujo de realizar proyectos eternos, o infinitos; normalmente podemos vivir con un error adecuado. El error lo aporta el nivel en el que seccionamos la serie, el cual normalmente est\u00e1 en funci\u00f3n del orden que presenta la ecuaci\u00f3n gobernante del fen\u00f3meno. Para nuestro caso de estudio, la ecuaci\u00f3n gobernante es de segundo orden, por lo tanto se esperar\u00eda cortar en el tercer t\u00e9rmino de la serie de Taylor.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Conoce m\u00e1s sobre las \u201cSeries de Taylor\u201d en el video mostrado a continuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Series de Taylor\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/rj6ArnNRv8I?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para continuar con nuestro an\u00e1lisis enfoqu\u00e9monos nuevamente en nuestros cursos de c\u00e1lculo. La derivada de una funci\u00f3n, la cual conocemos como pendiente, se define a partir de conocer dos puntos cualesquiera de la funci\u00f3n, en donde uno de los puntos est\u00e1 dado en la posici\u00f3n de inter\u00e9s. Volviendo a nuestro caso estudiado en la presente clase, consideremos algunos conjuntos formado por dos puntos (m + 1 y m) o (m y m &#8211; 1), siendo estos dos puntos cualesquiera en la funci\u00f3n y en el cual el punto m est\u00e1 en la posici\u00f3n requerida, esto es:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/DT.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4548\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"686\" height=\"138\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/DT.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4548\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/DT.png 686w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/DT-300x60.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 686px) 100vw, 686px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">As\u00ed, para una segunda derivada se tendr\u00eda:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/D2T.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4549\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"796\" height=\"136\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/D2T.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4549\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/D2T.png 796w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/D2T-300x51.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/D2T-768x131.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 796px) 100vw, 796px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Retomando la ecuaci\u00f3n gobernante de nuestro sistema, tendr\u00edamos que:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/s2t.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4550\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"271\" height=\"132\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/s2t.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4550\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sustituyendo la discretizaci\u00f3n generada, se tendr\u00eda que:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Tm.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4551\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"854\" height=\"662\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Tm.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4551\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Tm.png 854w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Tm-300x233.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Tm-768x595.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 854px) 100vw, 854px\" \/><\/noscript><figcaption>Diagrama 3. Discretizaci\u00f3n de elementos infinitesimales para una placa plana bidimensional.<br>Fuente: (\u00c7engel, 2007).<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Todos estos nodos son conocidos como nodos internos del sistema. A fin de obtener la soluci\u00f3n espec\u00edfica del sistema es necesario definir los nodos de frontera.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lee Nodos de frontera en:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li><a href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Transferencia-de-calor-y-masa-paginas-303-a-311.pdf\">Transferencia de calor y masa &#8211; p\u00e1ginas 303 a 311<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Capitulo-4-Conduccion-bidimensional-en-estado-estable-Tabla-4.2.pdf\">Cap\u00edtulo 4 &#8211; Conducci\u00f3n dimensional en estado estable &#8211; Tabla 4.2<\/a><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Entonces, para nuestro caso de estudio sujeto a la discretizaci\u00f3n mostrada en la figura 4.3 se tendr\u00eda un sistema de ecuaciones lineales de M x N con las condiciones de frontera apropiadas:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/AM.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4554\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"364\" height=\"96\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/AM.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4554\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/AM.png 364w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/AM-300x79.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 364px) 100vw, 364px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una vez que tu sistema de ecuaciones ha sido planteado, no queda m\u00e1s que resolverlo. Para un sistema de pocos nodos (&lt; 10 nodos) no ser\u00eda complicado resolverlo \u201ca mano\u201d, sin embargo, a nivel ingenieril, ning\u00fan sistema que valga la pena tendr\u00e1 menos de 10 nodos, entonces \u00bfqu\u00e9 hay que hacer? Afortunadamente un estudiante de tu nivel ya tiene conocimiento en la generaci\u00f3n de c\u00f3digos computacionales para la resoluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones (\u00c1lgebra lineal + M\u00e9todos num\u00e9ricos) en consecuencia, es necesario programar tu propio c\u00f3digo a fin de generar los resultados apropiados. En la Consigna 5 se te pedir\u00e1 que generes tu propio c\u00f3digo para su soluci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ap\u00f3yate en el pr\u00f3ximo video para realizar tu c\u00f3digo:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"PROBLEMA DE FLUJO BIDIMENSIONAL EN PLACA PLANA CON APLICACI\u00d3N EN  EXCEL\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/sCLpxb1V_No?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sumando estas t\u00e9cnicas num\u00e9ricas, la soluci\u00f3n para nuestra peque\u00f1a secci\u00f3n de la tabla de escritorio con la que se inici\u00f3 la discusi\u00f3n y de la cual se present\u00f3 una soluci\u00f3n anal\u00edtica, nos quedar\u00eda de la forma mostrada en el Diagrama 4.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las temperaturas propuestas como condici\u00f3n de frontera son arbitrarias, pero se considera las restricciones indicadas en el Diagrama 1 (T<sub>4<\/sub> &gt; T<sub>2<\/sub> &gt; T<sub>3 <\/sub>&gt; T<sub>1<\/sub>).<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/mFs6WLlAkLyCTPz-_H_XMh1iHC3jvlHPV-1024x660.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4555\" width=\"708\" height=\"456\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/mFs6WLlAkLyCTPz-_H_XMh1iHC3jvlHPV-1024x660.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4555\" width=\"708\" height=\"456\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/mFs6WLlAkLyCTPz-_H_XMh1iHC3jvlHPV-1024x660.png 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/mFs6WLlAkLyCTPz-_H_XMh1iHC3jvlHPV-300x194.png 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/mFs6WLlAkLyCTPz-_H_XMh1iHC3jvlHPV-768x495.png 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/mFs6WLlAkLyCTPz-_H_XMh1iHC3jvlHPV-1536x991.png 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/mFs6WLlAkLyCTPz-_H_XMh1iHC3jvlHPV.png 1600w\" sizes=\"auto, (max-width: 708px) 100vw, 708px\" \/><\/noscript><figcaption>Diagrama 4. Soluci\u00f3n anal\u00edtica del sistema planteado en el Diagrama 1.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Finalmente, el flujo de calor se puede determinar a partir de la ley de Fourier para cada una de las dos direcciones. Esta metodolog\u00eda se aplica a otros tipos de sistemas sujetos a geometr\u00edas no tan simples como lo podr\u00eda ser una circunferencia, elipse, pol\u00edgono o, en su caso, el cofre de un auto.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En resumen, la forma de generar una soluci\u00f3n de un sistema que opera con <strong>un mecanismo de transferencia de calor por conducci\u00f3n bidimensional en estado permanente<\/strong> depende ampliamente de la geometr\u00eda del mismo Para geometr\u00edas sencillas, es posible generar resultados a partir de t\u00e9cnicas anal\u00edticas, teniendo habilidades suficientes para el manejo matem\u00e1tico; para geometr\u00edas m\u00e1s complejas, las t\u00e9cnicas num\u00e9ricas son esenciales para la obtenci\u00f3n de resultados confiables.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las <strong>series de Taylor<\/strong> son ampliamente usadas para la discretizaci\u00f3n del sistema a fin de transformar las ecuaciones diferenciales en un sistema de ecuaciones lineales. Este tipo de soluciones presentan errores que se pueden manejar apropiadamente si el ingeniero es consciente del tipo de respuesta que espera del fen\u00f3meno dado.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n En la sesi\u00f3n previa nos abocamos a determinar la forma de calcular el perfil de temperaturas y el flujo de calor presente en una placa plana sujeta al mecanismo de transferencia de calor por conducci\u00f3n unidimensional. En la presente clase nos enfocaremos en mostrar la forma de generar el perfil de temperaturas de una &#8230; <a title=\"Clase digital 4. Conducci\u00f3n bidimensional en estado permanente\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-4-conduccion-bidimensional-en-estado-permanente\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 4. 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