{"id":5225,"date":"2022-01-19T16:05:35","date_gmt":"2022-01-19T16:05:35","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=5225"},"modified":"2022-02-08T18:47:59","modified_gmt":"2022-02-08T18:47:59","slug":"clase-digital-4-solucion-de-ecuaciones-diferenciales-lineales-usando-series-de-potencia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-4-solucion-de-ecuaciones-diferenciales-lineales-usando-series-de-potencia\/","title":{"rendered":"Clase digital 4. Soluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales lineales usando series de potencia"},"content":{"rendered":"\n\n\n<div class=\"wp-block-cover\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"has-background-dim-40 wp-block-cover__gradient-background has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-5226\" alt=\"\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/vbzj0ufoa70.jpg\" style=\"object-position:55% 34%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"55% 34%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"890\" height=\"1200\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-5226\" alt=\"\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/vbzj0ufoa70.jpg\" style=\"object-position:55% 34%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"55% 34%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/vbzj0ufoa70.jpg 890w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/vbzj0ufoa70-223x300.jpg 223w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/vbzj0ufoa70-759x1024.jpg 759w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/vbzj0ufoa70-768x1036.jpg 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 890px) 100vw, 890px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">Soluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales lineales usando series de potencia<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Siempre es un gusto saludarte y saber que tienes el \u00e1nimo para continuar, te invito a seguir en este camino formativo en tu cuarta clase titulada SOLUCI\u00d3N DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES USANDO SERIES DE POTENCIA<strong> <\/strong>del curso <strong>Ecuaciones Diferenciales.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Esta vez aprender\u00e1s a resolver ecuaciones diferenciales utilizando series de potencia. Comenzaremos definiendo una serie de potencia y sus propiedades, despu\u00e9s la soluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios y de puntos singulares utilizando el m\u00e9todo de Frobenius y finalmente una funci\u00f3n especial llamada funci\u00f3n de Bessel.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es importante que sepas que existen ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables que no se pueden resolver en t\u00e9rminos de funciones elementales, por tal motivo se usa la t\u00e9cnica para encontrar una soluci\u00f3n en forma de una serie finita, es decir, habr\u00e1 ecuaciones diferenciales que no se puedan resolver por ninguno de los m\u00e9todos anteriormente vistos y que solo se puedan resolver utilizando el m\u00e9todo de series de potencia. Ahora que conoces la importancia de este tema, te invito a que contin\u00faes conociendo m\u00e1s acerca de este m\u00e9todo que es de suma importancia para la soluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Te deseo mucho \u00e9xito en esta clase!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema <\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion-al-uso-de-series-de-potencia\">Introducci\u00f3n al uso de series de potencia<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una serie de potencia en x centrada en a, es una serie infinita de la forma<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.43.37.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5227\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"108\" height=\"49\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.43.37.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5227\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Mientras que una serie de potencia en x centrada en cero tiene la siguiente forma<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.44.06.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5228\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"93\" height=\"50\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.44.06.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5228\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es importante saber las principales propiedades de una serie de potencia para poder emplearlas en la soluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales, por tal motivo mencionaremos algunas:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\"><li>Toda serie de potencia tiene un intervalo de convergencia, que es el conjunto de los n\u00fameros para los cuales converge la serie.<\/li><li>Se puede calcular el radio de convergencia si el l\u00edmite existe en la siguiente ecuaci\u00f3n<\/li><\/ol>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.44.50.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5229\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"84\" height=\"51\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.44.50.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5229\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">3. Dado un valor de x, una serie de potencias es una serie de constantes.<br>4. Una serie de potencias define una funci\u00f3n.<br>5. Las series de potencias se pueden manipular mediante las operaciones de suma, multiplicaci\u00f3n y divisi\u00f3n.<br>6. Para sumar dos series de potencia es necesario que ambos \u00edndices de las sumatorias comiencen con el mismo n\u00famero y que las potencias en x empiecen en el mismo n\u00famero.<br>7. Si <\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.45.59.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5230\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"137\" height=\"45\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.45.59.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5230\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">para todo n\u00famero real x en el intervalo de convergencia, entonces&nbsp;C<sub>n<\/sub> = 0 para toda n.<br>8. Muchas de las funciones elementales se pueden representar en series de potencias por ejemplo: e<sup>x<\/sup>, <em>senx<\/em>, <em>cosx<\/em>, <em>etc<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Soluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales utilizando series de potencia.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para resolver una ecuaci\u00f3n diferencial utilizando el m\u00e9todo de series de potencia, se deben seguir los pasos que se muestran a continuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">1. Se busca una soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n diferencial que pueda expresarse como una serie de potencia, por ejemplo, que tenga la forma como lo muestra la ecuaci\u00f3n 4.1.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.50.16.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5231\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"445\" height=\"51\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.50.16.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5231\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.50.16.png 445w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.50.16-300x34.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 445px) 100vw, 445px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">2. Sacar las derivadas de la ecuaci\u00f3n 4.1 de acuerdo con la ecuaci\u00f3n diferencial. La ecuaci\u00f3n 4.2 muestra la derivada de la ecuaci\u00f3n 4.1.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.50.49.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5232\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"465\" height=\"60\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.50.49.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5232\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.50.49.png 465w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.50.49-300x39.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 465px) 100vw, 465px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">3. Sustituir las series en la ecuaci\u00f3n diferencial.<br>4. Encontrar los coeficientes del polinomio infinito.<br>5. Encontrar la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n diferencial.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para que quede un poco m\u00e1s claro este procedimiento resolveremos un ejemplo.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejemplo: Determinar la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n 4.3 como una serie de potencias en x.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.52.14.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5233\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"454\" height=\"47\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.52.14.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5233\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.52.14.png 454w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.52.14-300x31.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 454px) 100vw, 454px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Primeramente se supone que la soluci\u00f3n tiene la forma de la ecuaci\u00f3n 4.1 y que su derivada es de la forma de la ecuaci\u00f3n 4.2, por lo tanto se pueden sustituir en la ecuaci\u00f3n 4.3 como lo muestra la ecuaci\u00f3n 4.4.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.53.04.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5234\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"507\" height=\"57\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.53.04.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5234\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.53.04.png 507w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.53.04-300x34.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 507px) 100vw, 507px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De la ecuaci\u00f3n 4.4 del segundo t\u00e9rmino se puede meter x a la sumatoria quedando la ecuaci\u00f3n 4.5.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.53.45.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5235\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"507\" height=\"55\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.53.45.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5235\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.53.45.png 507w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.53.45-300x33.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 507px) 100vw, 507px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De esta manera para sumar las dos series de potencia tenemos que seguir los criterios antes mencionados: que ambos \u00edndices comiencen en cero y que el n\u00famero de la potencia en x comience en el mismo n\u00famero. Para esto desarrollamos los t\u00e9rminos de cada una de las series de potencia. De esta manera para el primer t\u00e9rmino quedar\u00eda como lo muestra la ecuaci\u00f3n 4.6 y para el segundo t\u00e9rmino como lo muestra la ecuaci\u00f3n 4.7.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.54.44.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5236\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"549\" height=\"121\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.54.44.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5236\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.54.44.png 549w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.54.44-300x66.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 549px) 100vw, 549px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De las ecuaciones 4.6 y 4.7 se puede observar que el n\u00famero de potencia con el cual coinciden es 1 y para tener el mismo \u00edndice en la sumatoria es necesario hacer un cambio de variable, en este caso por&nbsp;k, en donde para la ecuaci\u00f3n 4.6 k=n-1 y para la ecuaci\u00f3n 4.7 k=n+1. De esta manera la ecuaci\u00f3n 4.6 y 4.7 quedan como lo muestran las ecuaciones 4.8 y 4.9 respectivamente.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.55.42.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5237\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"536\" height=\"118\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.55.42.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5237\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.55.42.png 536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.55.42-300x66.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 536px) 100vw, 536px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De esta manera ya se pueden resolver las sumatorias y sustituir las ecuaciones 4.8 y 4.9 en la ecuaci\u00f3n 4.5 como lo muestra la ecuaci\u00f3n 4.10.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.56.29.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5238\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"557\" height=\"56\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.56.29.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5238\" 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data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.57.54.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5240\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"337\" height=\"65\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.57.54.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5240\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.57.54.png 337w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.57.54-300x58.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 337px) 100vw, 337px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sustituyendo para cuando&nbsp;<em>k = 1<\/em>, tenemos:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.58.38.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5241\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"243\" height=\"35\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.58.38.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5241\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sustituyendo para cuando&nbsp;<em>k = 2<\/em>, tenemos:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.59.08.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5242\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"281\" height=\"49\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.59.08.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5242\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sustituyendo para cuando&nbsp;<em>k = 3,<\/em> tenemos:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.59.43.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5243\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"302\" height=\"50\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-9.59.43.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5243\" 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loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"311\" height=\"39\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-10.01.05.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5245\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-10.01.05.png 311w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-10.01.05-300x38.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 311px) 100vw, 311px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De acuerdo a la sustituci\u00f3n de k, te puedes dar cuenta que los t\u00e9rminos cuando k es un n\u00famero par son ceros y que la soluci\u00f3n propuesta en la ecuaci\u00f3n 4.1 quedar\u00eda como lo muestra la ecuaci\u00f3n 4.12.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-10.01.39.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5246\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"755\" height=\"56\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-10.01.39.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5246\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-10.01.39.png 755w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-10.01.39-300x22.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 755px) 100vw, 755px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De la ecuaci\u00f3n 4.12 se puede factorizar&nbsp;<em>C<sub>0<\/sub><\/em> y usar el factorial como lo muestra la ecuaci\u00f3n 4.13.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-10.02.22.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5247\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"566\" height=\"61\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-10.02.22.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5247\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-10.02.22.png 566w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-10.02.22-300x32.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 566px) 100vw, 566px\" \/><\/noscript><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Finalmente hay que ver si la serie que muestra la ecuaci\u00f3n 4.13 se puede poner en forma de una sumatoria, para esto se sabe que los t\u00e9rminos impares son cero por lo tanto el sub\u00edndice para n\u00fameros pares que se puede utilizar es 2n y de esta manera se obtiene la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n diferencial mostrada en la ecuaci\u00f3n 4.14.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/01\/Captura-de-Pantalla-2022-01-19-a-las-10.03.07.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5248\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"497\" height=\"61\" 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wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"01. EDO: m\u00e9todo de Series de Potencias, EXPLICACI\u00d3N COMPLETA\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/2tBU6GGTQs0?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Para el tema de la soluci\u00f3n de ecuaciones utilizando el m\u00e9todo de Frobenius consulta el siguiente video:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"EDO -64. Teorema de Frobenius. Series de Potencia. Punto 15.Secci\u00f3n. 6.2. Dennis G. Zill\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/OKldHUIAxM8?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Finalmente para el tema de soluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales utilizando la funci\u00f3n de Bessel consulta el siguiente video:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"15. Ecuaciones Diferenciales, m\u00e9todo de Series de Potencias, Ecuaci\u00f3n de Bessel\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/lxhUHds1h0Y?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En conclusi\u00f3n, tuviste la oportunidad de conocer uno de los m\u00e9todos m\u00e1s importantes en la soluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales y algunas propiedades que son de utilidad por tratarse de una nueva herramienta en la soluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales de cualquier orden y, que adem\u00e1s con otros m\u00e9todos no se pueden resolver. Por lo anterior, es importante recordar los siguientes puntos de reconocimiento para llevar a cabo el m\u00e9todo de series de potencia:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\"><li>El m\u00e9todo consiste en buscar una soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n diferencial que pueda expresarse como una serie de potencias.<\/li><li>Se saca la derivada de la soluci\u00f3n en series de potencia.<\/li><li>Se sustituyen las series de potencias obtenidas en la ecuaci\u00f3n diferencial.<\/li><li>Se suman las ecuaciones diferenciales tomando en cuenta los criterios vistos.<\/li><li>Se busca el valor de los coeficientes de la serie de potencias que se propuso como soluci\u00f3n.<\/li><li>Se sustituye el valor de los coeficientes en la serie de potencias.<\/li><li>Se busca reducir el polinomio que se obtuvo en una nueva serie de potencia.<\/li><li>Finalmente se obtiene la soluci\u00f3n.<\/li><\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Hasta aqu\u00ed se concluye la clase. \u00a1Te felicito, vas muy bien! Te recuerdo que depende mucho de tu entusiasmo por aprender. No olvides hacer y mandar como corresponde la tarea asignada. Te espero en tu pr\u00f3xima clase, hasta entonces.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola!&nbsp; Siempre es un gusto saludarte y saber que tienes el \u00e1nimo para continuar, te invito a seguir en este camino formativo en tu cuarta clase titulada SOLUCI\u00d3N DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES USANDO SERIES DE POTENCIA del curso Ecuaciones Diferenciales. Esta vez aprender\u00e1s a resolver ecuaciones diferenciales utilizando series de potencia. Comenzaremos definiendo una &#8230; <a title=\"Clase digital 4. Soluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales lineales usando series de potencia\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-4-solucion-de-ecuaciones-diferenciales-lineales-usando-series-de-potencia\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 4. 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