{"id":8618,"date":"2022-03-01T17:14:36","date_gmt":"2022-03-01T17:14:36","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/?p=8618"},"modified":"2022-06-03T15:10:05","modified_gmt":"2022-06-03T15:10:05","slug":"clase-digital-1-introduccion-a-los-sistemas-de-ecuaciones-lineales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-1-introduccion-a-los-sistemas-de-ecuaciones-lineales\/","title":{"rendered":"Clase digital 1. Introducci\u00f3n a los sistemas de ecuaciones lineales"},"content":{"rendered":"\n<div class=\"wp-block-cover is-light\" style=\"min-height:284px;aspect-ratio:unset;\"><span aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-cover__background has-background-dim-40 has-background-dim\"><\/span><img decoding=\"async\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-8619\" alt=\"E-mc2 written on chalkboard\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/5ekw8z7cge4.jpg\" style=\"object-position:44% 21%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"44% 21%\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1600\" height=\"1067\" class=\"wp-block-cover__image-background wp-image-8619\" alt=\"E-mc2 written on chalkboard\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/5ekw8z7cge4.jpg\" style=\"object-position:44% 21%\" data-object-fit=\"cover\" data-object-position=\"44% 21%\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/5ekw8z7cge4.jpg 1600w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/5ekw8z7cge4-300x200.jpg 300w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/5ekw8z7cge4-1024x683.jpg 1024w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/5ekw8z7cge4-768x512.jpg 768w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/5ekw8z7cge4-1536x1024.jpg 1536w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/5ekw8z7cge4-272x182.jpg 272w\" sizes=\"auto, (max-width: 1600px) 100vw, 1600px\" \/><\/noscript><div class=\"wp-block-cover__inner-container is-layout-flow wp-block-cover-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-base-3-color has-text-color has-large-font-size wp-block-paragraph\">Introducci\u00f3n a los sistemas de ecuaciones lineales<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"introduccion\">Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Hola!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Es un privilegio darte la bienvenida a&nbsp;la Unidad de Aprendizaje de \u201c\u00c1lgebra Lineal\u201d en donde aplicaremos diferentes herramientas matem\u00e1ticas y aprenderemos a resolverlas adecuadamente. Espero que te mantengas con mucho \u00e1nimo y disfrutes este curso preparado para ti.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El tema preparado se denomina Sistema de Ecuaciones Lineales, el cual se dividir\u00e1 en 2 clases donde se abordar\u00e1n las siguientes tem\u00e1ticas:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\"><li>Introducci\u00f3n a los sistemas de ecuaciones lineales.<\/li><li>Eliminaci\u00f3n Gaussiana.<\/li><li>Sistemas homog\u00e9neos de ecuaciones lineales.<\/li><li>Matrices y operaciones matriciales.<\/li><li>Reglas de aritm\u00e9tica matricial.<\/li><li>Matrices elementales y m\u00e9todo para hallar la A<sup>-1<\/sup><\/li><\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Iniciaremos nuestro estudio pensando en definir varios conceptos que formar\u00e1n la base de nuestro curso de \u00e1lgebra lineal y para eso debemos plantearnos varias preguntas. La primera de ellas es \u00bfQu\u00e9 es una ecuaci\u00f3n lineal? \u00bfCu\u00e1les son las caracter\u00edsticas que debe tener una ecuaci\u00f3n para que sea lineal? \u00bfCu\u00e1l es la potencia m\u00e1xima que pueden tener las variables? \u00bflas variables de mi ecuaci\u00f3n pueden aparecer como argumentos de funciones trigonom\u00e9tricas, logar\u00edtmicas o exponenciales?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Como puedes apreciar existen muchas preguntas que surgen a ra\u00edz de un solo concepto y todo ello forma parte de una definici\u00f3n. Las definiciones ser\u00e1n uno de nuestros bloques medulares en la construcci\u00f3n de nuestro saber. A lo largo del curso analizaremos las definiciones y las usaremos para comprender las demostraciones matem\u00e1ticas que son conocidas como teoremas, los cuales conforman la otra parte medular de nuestro conocimiento.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las definiciones y teoremas los utilizar\u00e1s para resolver problemas abstractos y aplicados. Los problemas abstractos te permiten desarrollar el conocimiento l\u00f3gico y mejorar tu nivel de abstracci\u00f3n del mundo que te rodea. Resolver problemas num\u00e9ricos te permitir\u00e1 conocer y dominar los procedimientos necesarios para que posteriormente los puedas utilizar en aplicaciones que ser\u00e1n abordadas en otros cursos durante tu carrera.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las aplicaciones del \u00e1lgebra lineal son muy variadas, cualquier persona que maneje una computadora o un dispositivo m\u00f3vil (el celular o tableta) utiliza de manera indirecta los conceptos y teoremas que ver\u00e1s en este curso. Te invito a que des inicio a esta experiencia de aprendizaje con mucho entusiasmo ya que los conocimientos que obtendr\u00e1s te abrir\u00e1n las puertas en muchas direcciones.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Te deseo mucho \u00e9xito en esta Unidad de Aprendizaje!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"desarrollo-del-tema\">Desarrollo del tema<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">1. Introducci\u00f3n a los sistemas de ecuaciones lineales<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong><em>Definici\u00f3n:<\/em><\/strong><em> Una ecuaci\u00f3n lineal en las n variables x<\/em><em><sub>1<\/sub><\/em><em>, x<\/em><em><sub>2<\/sub><\/em><em>, \u2026, x<\/em><em><sub>n<\/sub><\/em><em> se define como aquella que se puede expresar en la forma&nbsp;<\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center wp-block-paragraph\"><em>a<\/em><em><sub>1<\/sub><\/em><em>x<\/em><em><sub>1 <\/sub><\/em><em>+ a<\/em><em><sub>2<\/sub><\/em><em>x<\/em><em><sub>2 <\/sub><\/em><em>+ \u2026 + a<\/em><em><sub>n<\/sub><\/em><em>x<\/em><em><sub>n <\/sub><\/em><em>= b<\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><em>en donde a<\/em><em><sub>1<\/sub><\/em><em>, a<\/em><em><sub>2<\/sub><\/em><em>, \u2026, a<\/em><em><sub>n<\/sub><\/em><em> y b son constantes reales.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El conjunto de todas las soluciones es su <strong>conjunto soluci\u00f3n<\/strong>. Una <strong>soluci\u00f3n<\/strong> de una ecuaci\u00f3n lineal es una sucesi\u00f3n de n\u00fameros s<sub>1<\/sub>, s<sub>2<\/sub>, \u2026, s<sub>n<\/sub> tales que la ecuaci\u00f3n se satisface cuando se hace la sustituci\u00f3n x<sub>1<\/sub>=s<sub>1<\/sub>, x<sub>2<\/sub>=s<sub>2<\/sub>, \u2026, x<sub>n<\/sub>=s<sub>n<\/sub>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables <em>x<\/em><em><sub>1<\/sub><\/em><em>, x<\/em><em><sub>2<\/sub><\/em><em>, \u2026, x<\/em><em><sub>n<\/sub><\/em> se conoce como <strong>sistema de ecuaciones lineales<\/strong> o <strong>sistema lineal<\/strong>. Una sucesi\u00f3n de n\u00fameros s<sub>1<\/sub>, s<sub>2<\/sub>, \u2026, s<sub>n<\/sub> es una soluci\u00f3n del sistema si x<sub>1<\/sub>=s<sub>1<\/sub>, x<sub>2<\/sub>=s<sub>2<\/sub>, \u2026, x<sub>n<\/sub>=s<sub>n<\/sub> es una soluci\u00f3n de toda ecuaci\u00f3n en tal sistema.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cuando un sistema de ecuaciones no tiene soluci\u00f3n se dice que es <strong>inconsistente<\/strong>. Si existe al menos una soluci\u00f3n, se le denomina <strong>consistente<\/strong>. Se puede afirmar siempre que todo sistema de ecuaciones lineales no tienen soluci\u00f3n, tiene exactamente una soluci\u00f3n, o bien, una infinidad de soluciones.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.56.26.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8620\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"565\" height=\"338\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.56.26.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8620\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.56.26.png 565w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.56.26-300x179.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 565px) 100vw, 565px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Esto se conoce como <strong>matriz aumentada<\/strong> para el sistema. En matem\u00e1ticas se utiliza el t\u00e9rmino matriz para denotar un arreglo rectangular de n\u00fameros.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ya que los renglones de una matriz aumentada corresponden a las ecuaciones del sistema asociado, tenemos tres operaciones que corresponden a las operaciones que se pueden usar para eliminar sistem\u00e1ticamente las inc\u00f3gnitas en un sistema de ecuaciones lineales y son:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Multiplicar uno de los renglones por una constante diferente de cero.<\/li><li>Intercambiar dos de los renglones.<\/li><li>Sumar un m\u00faltiplo de uno de los renglones a otro rengl\u00f3n.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A estas operaciones se les conoce como <strong>operaciones elementales sobre los renglones<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">2. Eliminaci\u00f3n gaussiana<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un ejemplo de una matriz que se encuentra en la forma escalonada en los renglones reducida es:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.57.22.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8621\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"364\" height=\"183\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.57.22.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8621\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.57.22.png 364w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.57.22-300x151.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 364px) 100vw, 364px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Y tiene las siguientes propiedades:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Si un rengl\u00f3n no consta completamente de ceros, entonces el primer n\u00famero diferente de cero en el rengl\u00f3n es un 1 (denominado 1 principal).&nbsp;<\/li><li>Si existen renglones que consten completamente de ceros, entonces se agrupan en la parte inferior de la matriz.<\/li><li>Si dos renglones sucesivos no constan completamente de ceros, el 1 principal del rengl\u00f3n inferior se presenta m\u00e1s hacia la derecha que el 1 principal del rengl\u00f3n superior.<\/li><li>Cada columna que contenga un 1 principal tiene ceros en todas las dem\u00e1s posiciones.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si una matriz tiene solamente las 3 primeras propiedades se dice que est\u00e1 en la forma escalonada en los renglones.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Algunas veces se resuelve el sistema de ecuaciones lineales llevando la matriz a la forma escalonada, sin llevarla a la forma escalonada reducida, y se puede resolver el sistema de ecuaciones por medio de la t\u00e9cnica conocida como sustituci\u00f3n hacia atr\u00e1s, como se ver\u00e1 en el ejemplo.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">3. Sistemas homog\u00e9neos de ecuaciones lineales<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.58.17.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8622\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"586\" height=\"157\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.58.17.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8622\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.58.17.png 586w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.58.17-300x80.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 586px) 100vw, 586px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Todo sistema homog\u00e9neo de ecuaciones lineales es consistente, ya que x<sub>1<\/sub>=0, x<sub>2<\/sub>=0, \u2026, x<sub>n<\/sub>=0 siempre es una soluci\u00f3n. Esta soluci\u00f3n se conoce como <strong>soluci\u00f3n trivial<\/strong>; si existen otras soluciones, se dice que son <strong>soluciones no triviales<\/strong>. Para un sistema homog\u00e9neo de ecuaciones lineales se cumple una de las siguientes afirmaciones:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>El sistema tiene s\u00f3lo la soluci\u00f3n trivial.<\/li><li>El sistema tiene una infinidad de soluciones no triviales adem\u00e1s de la trivial.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Siempre que el sistema tenga m\u00e1s inc\u00f3gnitas que ecuaciones se tendr\u00e1n soluciones no triviales.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Teorema<\/strong>. Un sistema homog\u00e9neo de ecuaciones lineales con m\u00e1s inc\u00f3gnitas que ecuaciones siempre tiene una infinidad de soluciones.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Matrices y operaciones matriciales.<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Definici\u00f3n<\/strong>. Una <strong>matriz<\/strong> es un arreglo rectangular de n\u00fameros. Los n\u00fameros del arreglo se conocen como <strong>elementos<\/strong> de la matriz.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El tama\u00f1o de una matriz se describe especificando el n\u00famero de renglones (l\u00edneas horizontales) y columnas (l\u00edneas verticales) que tiene. El primer n\u00famero siempre indica el n\u00famero de renglones y el segundo el n\u00famero de columnas. Regularmente se usan letras may\u00fasculas para denotar matrices y letras min\u00fasculas para las cantidades num\u00e9ricas o escalares. Si A es una matriz, se usar\u00e1 a<sub>ij<\/sub> para denotar el elemento del rengl\u00f3n i y columna j de A. Una matriz A con n renglones y n columnas se denomina matriz cuadrada de orden n y se dice que los elementos a<sub>11<\/sub>, a<sub>22<\/sub>, \u2026, a<sub>nn<\/sub> est\u00e1n en la diagonal principal de A:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.59.18.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8623\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"350\" height=\"218\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.59.18.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8623\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.59.18.png 350w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-10.59.18-300x187.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 350px) 100vw, 350px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tama\u00f1o y los elementos correspondientes en las dos matrices son iguales.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Definici\u00f3n<\/strong>: Si A y B son dos matrices cualesquiera del mismo tama\u00f1o, entonces la <strong>suma<\/strong> A+B es la matriz que se obtiene al sumar los elementos correspondientes de las dos matrices. Las matrices de tama\u00f1os diferentes no se pueden sumar.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Definici\u00f3n<\/strong>. Si A es una matriz cualquiera y c es cualquier escalar, entonces el <strong>producto<\/strong> cA es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por c.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Definici\u00f3n.<\/strong> Si A es una matriz de m x r, y B es una de r x n, entonces el producto AB es la matriz de m x n cuyos elementos se determinan como sigue. Para encontrar el elemento en el rengl\u00f3n i y la columna j de AB, distingase el rengl\u00f3n i de la matriz A y la columna j de la B. Multipl\u00edquense los elementos correspondientes del rengl\u00f3n y columna y, a continuaci\u00f3n, s\u00famense los productos resultantes.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La <strong>matriz de coeficientes<\/strong> es la que se forma por los coeficientes de las variables de un sistema de ecuaciones lineales sin utilizar los valores de los t\u00e9rminos independientes. Ser\u00eda la matriz A obtenida a partir de:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.00.03.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8624\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"432\" height=\"195\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.00.03.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8624\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.00.03.png 432w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.00.03-300x135.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 432px) 100vw, 432px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dado que dos matrices son iguales si y s\u00f3lo si sus elementos correspondientes son iguales se puede reemplazar lo anterior por:&nbsp;<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.00.31.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8625\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"365\" height=\"123\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.00.31.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8625\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.00.31.png 365w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.00.31-300x101.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 365px) 100vw, 365px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Que puede ser reescrita usando la definici\u00f3n de multiplicaci\u00f3n de matrices como:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.00.59.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8626\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"441\" height=\"176\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.00.59.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8626\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.00.59.png 441w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.00.59-300x120.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 441px) 100vw, 441px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Designando A, X y B a estas matrices respectivamente, obtenemos&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center wp-block-paragraph\">A X = B<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Siendo A la matriz de coeficientes mencionada.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">4. Reglas de la aritm\u00e9tica matricial.<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lo primero que debemos notar es que la aritm\u00e9tica de matrices es diferente a la aritm\u00e9tica de los n\u00fameros reales. Por ejemplo, de manera general AB no es igual producto BA, a\u00fan y cuando est\u00e9n definidos ambos productos AB y BA y tengan el mismo tama\u00f1o.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Teorema<\/strong>. Suponiendo que los tama\u00f1os de las matrices son tales que es posible efectuar las operaciones indicadas, son v\u00e1lidas las reglas que siguen de la aritm\u00e9tica matricial:&nbsp;<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.02.01.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8627\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"491\" height=\"254\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.02.01.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8627\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.02.01.png 491w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.02.01-300x155.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 491px) 100vw, 491px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una matriz en la que todos los elementos son cero, como:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.02.32.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8628\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"498\" height=\"120\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.02.32.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8628\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.02.32.png 498w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.02.32-300x72.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 498px) 100vw, 498px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Se denomina matriz cero. Las matrices cero se denotan por <strong>0<\/strong>; si es importante indicar el tama\u00f1o, se escribe <strong>0<\/strong><sub>mxn<\/sub> para la matriz cero de mxn. Si A es cualquier matriz y 0 es la matriz cero con el mismo tama\u00f1o, es obvio que&nbsp; A+0=A. La matriz 0 tiene casi la misma funci\u00f3n en una ecuaci\u00f3n matricial que el n\u00famero 0 en la ecuaci\u00f3n num\u00e9rica a+0=a.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Teorema<\/strong>. Todo sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones, tiene exactamente una soluci\u00f3n, o bien, una infinidad de soluciones.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un tipo de matriz especial denominada matriz identidad es aquella que tiene puros 1 en la diagonal principal y cero en todas las dem\u00e1s posiciones, como:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.03.04.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8629\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"499\" height=\"137\" src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.03.04.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8629\" srcset=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.03.04.png 499w, https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.03.04-300x82.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 499px) 100vw, 499px\" \/><\/noscript><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Denotada por I. Si es importante indicar el tama\u00f1o y se escribe I<sub>n<\/sub> para la matriz identidad de nxn.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si A es una matriz de mxn, entonces A I<sub>n<\/sub> = I<sub>m<\/sub> A = A. Una matriz identidad cumple casi la misma funci\u00f3n en la aritm\u00e9tica matricial que el n\u00famero 1 en las relaciones num\u00e9ricas (1)(a)=(a)(1)=a.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si A es una matriz cuadrada cualquiera y si es posible hallar una matriz B tal que AB=BA=I, entonces se dice que A es <strong>inversible<\/strong> y B se conoce como <strong>inversa<\/strong> de A.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Teorema<\/strong>. Si tanto B como C son inversas de la matriz A, entonces B = C.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si A es inversible, entonces su inversa se denota por medio del s\u00edmbolo A<sup>-1<\/sup>. Como consecuencia:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center wp-block-paragraph\">A A<sup>-1<\/sup> = A<sup>-1<\/sup>A = I<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La inversa de A desempe\u00f1a casi la misma funci\u00f3n en la aritm\u00e9tica matricial que la que tiene el rec\u00edproco a<sup>-1<\/sup> en las relaciones num\u00e9ricas a a<sup>-1<\/sup> = 1 y a<sup>-1<\/sup> a =1.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Teorema<\/strong>. Si A y B son matrices inversibles del mismo tama\u00f1o, entonces:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">a) AB es inversible<br>b) (AB)<sup>-1<\/sup> = B<sup>-1<\/sup> A<sup>-1<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un producto de matrices inversibles siempre es inversible, y la inversa del producto es el producto de las inversas en orden inverso.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si A es una matriz cuadrada y n es un entero positivo, se define:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A<sup>n<\/sup> = A A \u2026 A&nbsp; con n factores de A<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A<sup>0<\/sup> = I<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si, adem\u00e1s, A es inversible, se define:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A<sup>-n<\/sup> = (A<sup>-1<\/sup>)<sup>n <\/sup>= A<sup>-1<\/sup> A<sup>-1<\/sup> \u2026 A<sup>-1<\/sup> con n factores.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Teorema<\/strong>. Si A es una matriz inversible, entonces:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">a) A<sup>-1<\/sup> es inversible y (A<sup>-1<\/sup>)<sup>-1<\/sup> = A<br>b) A<sup>n<\/sup> es inversible y (A<sup>n<\/sup>)<sup>-1<\/sup> = (A<sup>-1<\/sup>)<sup>n<\/sup> para n=0,1,2,\u2026<br>c) Para cualquier escalar diferente de cero&nbsp; k, kA es inversible y ( kA )<sup>-1<\/sup> = A<sup>-1<\/sup> \/ k<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Matrices elementales y m\u00e9todo para hallar A-1<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Definici\u00f3n<\/strong>. Se dice que una matriz nxn es una <strong>matriz elemental<\/strong> si se puede obtener a partir de la matriz identidad de nxn realizando una sola operaci\u00f3n elemental sobre los renglones.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cuando se multiplica por la izquierda una matriz A por una matriz elemental E, el efecto es el de realizar una operaci\u00f3n elemental sobre los renglones en A.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Teorema<\/strong>. Si la matriz elemental E resulta al efectuar cierta operaci\u00f3n sobre los renglones en Im y si A es una matriz de mxn, entonces el producto EA es la matriz que resulta al efectuar la misma operaci\u00f3n sobre los renglones en A.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Teorema<\/strong>. Toda matriz elemental es inversible y la inversa tambi\u00e9n es una matriz elemental.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Las matrices que se pueden obtener una de la otra por medio de una sucesi\u00f3n finita de operaciones elementales sobre los renglones, se dice que son <strong>equivalentes respecto a los renglones<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Teorema<\/strong>. Si A es una matriz nxn, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes, es decir, todas son verdaderas o todas son falsas.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">a) A es inversible.<br>b) AX=0 tiene \u00fanicamente la soluci\u00f3n trivial.<br>c) A es equivalente respecto a los renglones a I<sub>n<\/sub>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Tal como ilustraremos en los siguientes ejemplos y ejercicios:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Elementos procedimentales (saber hacer)<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/wp-content\/uploads\/sites\/71\/2022\/03\/Captura-de-Pantalla-2022-03-01-a-las-11.05.43.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8630\" \/><noscript><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"476\" height=\"470\" 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href=\"https:\/\/youtu.be\/yyWag37NUZw\">Espacios de coordenadas reales<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/youtu.be\/1ypIEg3iZKw\">Sumar vectores de manera algebraica y gr\u00e1fica<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/youtu.be\/XuBFLXFQH1c\">Multiplicar un vector por un escalar<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/youtu.be\/2f8fg1d5ejc\">Ejemplos de vectores<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/youtu.be\/JE2b-OUCKoo\">Introducci\u00f3n a vectores unitarios<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/youtu.be\/7vqr8Y66wU4\">Representaci\u00f3n param\u00e9trica de rectas<\/a><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ejercicios<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-buttons is-layout-flex wp-block-buttons-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-button aligncenter\"><a class=\"wp-block-button__link has-accent-background-color has-background\" href=\"https:\/\/es.khanacademy.org\/math\/linear-algebra\/vectors-and-spaces\">Ingresar al sitio<\/a><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-buttons is-layout-flex wp-block-buttons-is-layout-flex\"><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion\">Conclusi\u00f3n <\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En resumen, en esta clase se vieron conceptos de equivalencia entre sistemas de ecuaciones lineales y matrices. El m\u00e9todo de Gauss-Jordan para obtener el conjunto soluci\u00f3n por medio de operaciones elementales en los renglones. Se abord\u00f3 el tema de llevar una matriz a la forma escalonada y forma escalonada reducida en los renglones. La soluci\u00f3n de un sistema homog\u00e9neo usando el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n Gauss-Jordan.&nbsp; Se vieron ejemplos sobre aritm\u00e9tica de matrices como suma, multiplicaci\u00f3n de matrices y matrices especiales como la matriz cero y matriz identidad. Finalmente, utilizando los m\u00e9todos y conceptos para reducir y operar entre matrices se abord\u00f3 la obtenci\u00f3n de la inversa de una matriz utilizando matrices elementales y operaciones elementales sobre los renglones. Estos m\u00e9todos y conceptos nuevos se utilizar\u00e1n en los pr\u00f3ximos temas y en el desarrollo de aplicaciones que involucran al \u00e1lgebra lineal.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Hemos llegado al final de esta primera sesi\u00f3n \u00bfqu\u00e9 te pareci\u00f3? Espero que hayas aprendido cosas nuevas acerca del tema, pues esto te har\u00e1 m\u00e1s sencillo el recorrido de este curso. Sigue adelante, realiza y manda la tarea asignada. Te espero en la siguiente clase.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00a1Has comenzado muy bien!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"fuentes-de-informacion\">Fuentes de informaci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Howard, A. (1994). Introducci\u00f3n al \u00e1lgebra lineal. (3<sup>a<\/sup> ed.). limusa.<\/li><li>Stanley, I., Grossman, S., &amp; Flores Godoy, J. J. (2019). \u00c1lgebra Lineal. (8\u00aa ed.). McGraw-Hill Interamericana.<\/li><\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introducci\u00f3n \u00a1Hola! Es un privilegio darte la bienvenida a&nbsp;la Unidad de Aprendizaje de \u201c\u00c1lgebra Lineal\u201d en donde aplicaremos diferentes herramientas matem\u00e1ticas y aprenderemos a resolverlas adecuadamente. Espero que te mantengas con mucho \u00e1nimo y disfrutes este curso preparado para ti. El tema preparado se denomina Sistema de Ecuaciones Lineales, el cual se dividir\u00e1 en 2 &#8230; <a title=\"Clase digital 1. Introducci\u00f3n a los sistemas de ecuaciones lineales\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blogs.ugto.mx\/rea\/clase-digital-1-introduccion-a-los-sistemas-de-ecuaciones-lineales\/\" aria-label=\"Leer m\u00e1s sobre Clase digital 1. 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