Clase digital 1. Funciones

por
Inicio » Clase digital 1. Funciones

Funciones

1. Fundamentación del tema

El presente tema corresponde a la UDA “Cálculo Diferencial” inserto en el primer semestre. La importancia de conocer y entender el uso de las funciones dentro de la contaduría pública radica en que muchos modelos financieros utilizan funciones para describir el comportamiento de variables económicas importantes, tales como la oferta y la demanda. Además, se pueden establecer funciones de producción que ayuden a entender el tipo de rendimiento que se está obteniendo, ya sea constante, decreciente o creciente. Las funciones también pueden ser utilizadas para generar un modelo de mercado, reducir costos, analizar cambios en las empresas, realizar predicciones y determinar y aplicar tasas de interés. Se puede decir que el cálculo y, especialmente las funciones, permiten a las empresas generar una visión o resultado, facilitando así la toma de decisiones y la implementación de cambios.

2. Objetivo didáctico

Conocer y comprender las funciones aplicables dentro de la contaduría pública para posteriormente usarlas como medio de análisis financiero, de rendimiento y predictivo.

3. Contenido didáctico

Introducción

¡Hola!

Es un privilegio darte la bienvenida a  la Unidad de Aprendizaje de Cálculo Diferencial 1 en donde aplicaremos y aprenderemos acerca de las funciones. Espero que te mantengas con mucho ánimo y disfrutes este curso preparado para ti

Este recurso digital tiene la finalidad de apoyarte en la comprensión de algunos temas que pudieran resultar complejos. Si bien el cálculo diferencial no es considerado como una de las asignaturas más sencillas de entender, la realidad es que las funciones es un tema de fácil discernimiento, pero de una aplicación tan variada y rica, que resulta elemental para un contador público comprender a profundidad la forma en que se desarrollan estos modelos matemáticos y, sobre todo, la mejor manera de interpretarlos y usarlos para obtener sus múltiples beneficios.

En muchas ocasiones, como estudiantes, se puede cometer el error de considerar al cálculo como una asignatura meramente teórica, sin aplicación dentro del campo de la contaduría, desechando cualquier posibilidad de adquirir conocimiento esencial para la comprensión del desarrollo de muchos modelos financieros y predictivos que se utilizan en la actualidad, además de impedir la adquisición de destreza mental para la interpretación de modelos matemáticos.

Una función puede definirse como una relación matemática entre dos magnitudes, de forma tal que a cada valor de la primera le corresponde un valor único de la segunda. A pesar de ser un concepto tan sencillo, su aplicación y las variantes a las que pueden ser sometidas requieren bases sólidas para determinar las funciones. Es por lo anterior que, con este material, intentaremos establecer unos fundamentos claros que te ayuden, poco a poco, a darle sentido y utilidad a este conocimiento.

¡Comencemos!

Desarrollo del tema

1.1. Gráficas con dominio y rango de funciones algebraicas simples:

Primeramente, se debe establecer que una función es una regla de correspondencia, una relación entre dos magnitudes. Esta función suele representar a la primera magnitud por letras (generalmente f, g o h); mientras que la segunda magnitud es conocida como imagen o transformado y se expresa como f(x). Dentro de la representación de la imagen, la x corresponde a una variable independiente que es fijada previamente, mientras que el valor obtenido luego de resolver la función corresponde a la variable dependiente o y de forma que f(x)=y (García, 2005). Todos aquellos valores que x pueda tomar constituyen el dominio de la función, mientras que los valores que y obtiene dependiendo de aquel valor dado a x se conocen como rango. Dependiendo de la expresión algebraica que se establezca, se considera que números sí puede tomar x y cuales no, debiendo evitarse inducir algún error o indeterminación matemática. Algunas condiciones que pueden originar indeterminaciones son (Ziil y Wright, 2011):

∞/ ∞         0/0          1∞         ∞0         ∞·0       ∞-∞       00         x/0

Al representar una función en una gráfica, se marcará una línea que una las coordenadas dadas por un valor en x (línea horizontal o de las abscisas) del dominio y su correspondiente imagen en y (línea vertical o de las ordenadas) del grupo del rango. Cada que se nos brinde una gráfica y se requiera obtener el dominio de la función, bastará con observar qué valores de x toma en el plano horizontal; mientras que si se desea conocer el rango, deben analizarse los valores de y o verticales (Haeussler y Paul, 2019).

Algunas reglas que permiten obtener el dominio de una función son las siguientes (García, 2014):

  • Si la función es del tipo f(x) = P(x), su dominio es todos los números reales
  • Si la función es del tipo f(x) = P(x)/Q(x), su dominio será el conjunto de todos los valores tales que Q(x)≠x
  • Si la función es del tipo f(x) =n√P(x) y n es un número:

🡪 impar, su dominio es todo el conjunto de números reales

🡪 par, su dominio estará dado por los valores que hacen que su radicando sea positivo o cero

(García, 2014)

Finalmente, debe establecerse que una función es simple si es medible y toma un número finito de valores, por lo que ni su rango ni su dominio obtendrán valores infinitos, obteniéndose también un conjunto de puntos finitos que dará forma a la gráfica.

(Ortega, 2009).

1.1.1 Función constante:

Las funciones constantes son aquellas que tienen una forma dada por y=f(x)=c, siendo c un número real fijo que expresa el recorrido del dominio. La gráfica de esta función es característica, pues es una línea recta paralela o coincidente al eje [Ver Fig. 1].  Como se puede entender en la forma de la función mencionada anteriormente, el rango (o valor de la variable dependiente) es siempre el mismo, pudiendo tratarse de cualquier número real. Por su parte, el dominio (o valor de la variable independiente) de una función constante sí varía, pudiendo abarcar cualquier número real, ya sea racional [según la RAE (2014) cualquier número que puede establecerse como fracción] o irracional [para la RAE (2014) un número que no puede expresarse exactamente con números enteros ni racionales].

(Contreras y Del Pino, 2010).

Figura 1. Gráfica de una función constante. Tomada de Contreras y Del Pino, 2010.

1.1.2. Línea recta:

La gráfica de línea recta corresponde a una función lineal que obedece a la forma y= f(x)=ax+b, considerando que a es diferente de 0 y a y b son números reales racionales o irracionales. La letra a es la pendiente de la recta y=ax+b y según el valor que obtenga pueden presentarse los siguientes casos:

  • Si a>0 la función lineal es creciente, es decir se dibuja un gráfico que sube de izquierda a derecha [Ver Fig. 2].
  • Si a<0 la función lineal es decreciente, expresándose como una línea que baja de izquierda a derecha [Ver Fig. 3].

(Contreras y Del Pino, 2010)

El dominio y el recorrido de una función lineal abarca a todos los números reales, racionales o irracionales.

Fig 2. Gráfica de la función y=ax+b siendo a>0. Tomada de Contreras y Del Pino, 2010.
Fig 3. Gráfica de la función y=ax+b siendo a<0. Tomada de Contreras y Del Pino, 2010.

1.1.3. Función cuadrática:

Una función cuadrática es aquella que sigue la forma y= f(x)=ax2 +bx+c, siendo a≠0 y a, b y c números reales racionales o irracionales. El gráfico que se obtiene de esta función es una parábola que presenta diferentes acomodos [Ver Fig. 4] y que tiene las siguientes propiedades:

  • Intercepta al eje Y en el punto (0, c)
  • Intercepta al eje X cuando Δ=b2 −4ac≥0 siendo Δ el vértice. En este caso, las abscisas (valores sobre eje x) de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación ax2 +bx+c=0.
  • El vértice de la parábola es el punto [-b/2a,  f(-b/2a)]
  • Si a>0 la parábola abre hacia arriba y si a<0 se abre hacia abajo.

(Contreras y Del Pino, 2010)

Fig 4. Gráficas de la función cuadrática y= f(x)=ax2 +bx+c.
  Tomada de Contreras y Del Pino, 2010.

Ahora en el siguiente recurso trataremos lo relacionado a las funciones polinomial y racional (lineal).

Como hemos visto, las funciones son expresiones algebraicas de gran utilidad y aplicación en muchas áreas del conocimiento, incluídas las ciencias económico administrativas, siendo esencial su comprensión para el posterior entendimiento de temas más complejos que nos ayuden a entender el comportamiento de diversas variables y así llegar a la toma de decisiones acertadas. Durante el desarrollo de este material hemos estudiado una primera parte de todas las funciones que abordaremos, te invitamos a visitar la presentación también denominada Funciones que hemos preparado para ti, en ella analizaremos otros dos tipos de funciones: las funciones polinomiales y las funciones racionales ¡No te puedes perder este conocimiento!

Resumen e ideas relevantes

Es importante que de lo anterior recuerdes que: 

  • Una función es relación entre dos magnitudes, la primera magnitud se representa por letras (f, g, h) y la segunda, conocida como imagen o transformado, se expresa como f(x).
  • La x es la variable independiente que se fija previamente, mientras que la y es la variable dependiente que se obtiene tras resolver la función.
  • Todos los valores que puede tomar la x sin conducir a indeterminaciones matemáticas se conocen como dominio y los valores que puede tomar la y se denominan rango.
  • Una función es simple si es medible y toma un número finito de valores, por lo que ni su rango ni su dominio obtendrán valores infinitos.
  • La gráfica de las funciones constantes [de la forma: y=f(x)=c] se caracterizan por presentar una línea recta paralela o coincidente al eje x, manteniendo siempre el mismo valor para su rango.
  • Las funciones lineales [de la forma: y= f(x)=ax+b] nos brindan gráficas de línea recta que pueden ser decrecientes o crecientes.
  • Las funciones cuadráticas  [de la forma: y= f(x)=ax2 +bx+c] se grafican formando una parábola.

Hemos llegado al final de esta primera sesión ¿qué te pareció? Espero que hayas aprendido cosas nuevas acerca del tema, pues esto te hará más sencillo el recorrido de este curso. Sigue adelante, realiza y manda la tarea asignada. Te espero en la siguiente clase.

¡Has comenzado muy bien!

Fuentes de consulta