Espacios de probabilidad, probabilidad condicional e independencia
1. Fundamentación del tema
El presente tema corresponde a la UDA “Probabilidad y estadística”. La importancia de conocerlo radica en la toma de decisiones en base a eventos que posiblemente sucedan. El estudio de la probabilidad permite visualizar la incertidumbre de que un evento suceda o no, lo que otorga herramientas para formular argumentos al momento de explicar las posibilidades de que se presente un evento.
2. Objetivo didáctico
Construir los conceptos básicos de probabilidad, así como los conceptos y aplicación de la regla de adición y multiplicación, probabilidad conjunta y marginal y el teorema de bayes, para poder predecir posibilidades de un suceso.
3. Contenido didáctico
Introducción
¡Hola! Bienvenidas y bienvenidos a una nueva lección de probabilidad y estadística, en ella nos adentraremos en el estudio de la probabilidad, y veremos temas muy interesantes.
La aplicación de la estadística en contabilidad nos lleva al procesamiento, análisis e interpretación de información variable que se maneja de forma continua para tomar decisiones y llevar un control de resultados. En cuanto a la probabilidad nos permite predecir fenómenos estadísticos y financieros que bajo la observación nos habla de la frecuencia lo que igualmente nos puede llevar a la toma de decisiones más asertivas.
¡Comencemos con esta nueva lección, acompáñanos!
Desarrollo del tema
2.1 Introducción a la Probabilidad
Estamos rodeados de decisiones que involucran posibilidades de que suceda un evento a diario, desde una toma financiera con respecto al comportamiento de los consumidores, hasta la posibilidad de que llueva, el estudio de la probabilidad viene a dar una representación de la incertidumbre de que suceda dicho evento, antes de comenzar con ello, es importante ver algunas definiciones que nos servirán a lo largo de la lección para comprender cada uno de los subtemas con mayor facilidad.
2.1.1. Conceptos e importancia.
Comencemos con la definición de probabilidad, la cual tienen diferentes acepciones según la perspectiva de cada uno de los autores, por ello, definiremos probabilidad para esta lección como:
“La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento.”
(Anderson, 2008)
Es muy importante la palabra “numérica”, pues da una mayor certidumbre de lo que se argumenta. Debemos considerar que los valores de probabilidad se encuentran en una escala de 0 a 1. que se puede expresar en inferencias de manera porcentual de igual forma, mientras el valor de la probabilidad es más cercano a 1, existe mayor posibilidad de ocurrencia del evento, y viceversa, mientras más distantes del 1, menor la posibilidad de ocurrencia.
(Anderson, 2008)
Es importante definir otros conceptos de suma importancia para el estudio de la probabilidad, como lo son el espacio muestral, punto muestral, “evento”, y diagrama de Venn.
Punto muestral
Se le da el nombre de punto muestral a un experimento que da resultados definidos, y en su repetición seguirá dando uno de los posibles resultados experimentales, ejemplos de ellos pueden ser los siguientes:
| Experimento | Resultado experimental |
|---|---|
| Lanzar una moneda | Cara, cruz |
| Lanzar un dado | 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
| Jugar un partido | Ganar, empatar, perder |
| Realizar una llamada de ventas | Hay ventas, no hay ventas |
Espacio muestral
“La definición de todos los puntos muestrales o resultados experimentales se le denomina espacio muestral.”
(Anderson, 2008)
Evento
En probabilidad se busca la posibilidad de ocurrencia de un evento, siendo un evento para probabilidad:
“Un evento es una colección de puntos muestrales.”
(Anderson, 2008)
Te invitamos a ver el siguiente vídeos acerca de la introducción a la probabilidad y sus conceptos básicos:
Diagrama de Venn
Para mostrar gráficamente los puntos muestrales o la colección de los mismos (evento) dentro del espacio muestral, se hacen valer de diferentes representaciones gráficas, entre ellas se encuentra el diagrama de Venn, que lo definiremos como sigue:
“Los diagramas de Venn son representaciones gráficas que permiten mostrar la agrupación de cosas en forma de conjuntos, y sus relaciones.”
(Baeza, 2014)
Éstas relaciones se representan de mejor manera cuando los eventos no son mutuamente excluyentes, pero no es limitante, el diagrama de Venn es mayormente ocupado para el estudio de categorías o conjuntos, pero su uso es útil para explicar la relación de eventos, una de las principales relaciones es la intersección.
(Baeza, 2014)
Te invitamos a ver el siguiente video acerca del diagrama de Venn:
2.2 Enfoques de la Probabilidad
Existen distintos enfoques de la probabilidad, según la base que se tome para hacer inferencias con ellas, en general se encuentran tres, el enfoque clásico o “a priori”, el enfoque empírico o “a posteriori” y el enfoque subjetivo, veamos a que se refiere cada uno.
(Agosto, 2010)
2.2.1 Enfoque Clásico
El enfoque clásico o “a priori” descansa sobre dos condiciones, las cuales son:
- El espacio muestral (S) del experimento es finito, es decir, el número total de los puntos muestrales es un número natural.
- Los puntos muestrales del espacio muestral deben tener la misma probabilidad de ocurrir. (Agosto, 2010)
Estas dos condiciones hacen de uso limitado al enfoque, la probabilidad de un evento se podría determinar de la siguiente manera:
Mediante este enfoque es posible determinar los posibles resultados del experimento, sin haber realizado el mismo, de ahí que se le denomine “a priori”.
(Agosto, 2010)
2.2.2 Enfoque empírico, experimental o de frecuencia relativa
Se ha mostrado que el enfoque clásico tiene limitaciones para situaciones donde los puntos del espacio muestral no se conocen en su totalidad, o no existe la misma probabilidad de ocurrencia de cada punto muestral, para dicho tipo de eventos se puede ocupar el enfoque empírico, en el cual para obtener valores para determinar la probabilidad del evento la observación, la recopilación de datos. Se basa en el número de veces que ocurrió el evento entre el número total de repeticiones del experimento.
(Agosto, 2010)
La fórmula se representa de la siguiente manera:
Este enfoque de probabilidad no implica ningún supuesto previo de igualdad de probabilidades, se le considera “a posteriori”, ya que, el resultado se obtiene después de realizar el experimento un gran número de veces.
2.2.3 Enfoque subjetivo
El enfoque subjetivo se diferencia de los demás enfoques, dado que define la probabilidad de la ocurrencia de un evento en base a la confianza o grado de incertidumbre que tiene una persona o grupo de personas en base a la evidencia que tiene disponible, la experiencia, opiniones, creencias, etc.
(Caballero, 2014)
Por ejemplo, cuando un paciente le pregunta a su doctor, si la operación a la que se va a someter será exitosa, el doctor, por su parte, en base a su experiencia y juicio profesional, le dice al paciente que la posibilidad de que salga exitosa la operación es de un 80%.
2.3 Probabilidad Condicional e independencia
Iniciemos con las relaciones de probabilidad.
2.3.1 Complemento de un evento
Se ha definido que un evento es un conjunto de puntos muestrales, y un espacio muestral son todos los puntos muestrales, en ésta primera relación, se hace alusión a todos aquellos puntos muestrales del espacio muestral que no pertenecen a un evento.
Veamos la representación del complemento de un evento en en diagrama de Venn:
Al valor de probabilidad se representa con la letra “P”, el complemento de un evento habitualmente se representa con una “ᄃ” como superíndice. En cualquier aplicación de probabilidad ocurre un evento A o su complemento Aᄃ, sabiendo que el valor máximo de probabilidad es 1, tenemos que: P(A) + P(Aᄃ )= 1, que se lee “La probabilidad del evento A más la probabilidad de su complemento es igual a 1. “
(Anderson, 2008)
Despejando la fórmula anterior, se tiene que el complemento se determina de la siguiente manera:
Veamos un ejemplo:
Planteamiento. Un gerente de compras encuentra que la probabilidad de que el proveedor surta un pedido sin piezas defectuosas es 0.90, empleando el complemento podemos concluir que la probabilidad de que el pedido contenga piezas defectuosas es de 1 – 0.90 0.10. Veamos la representación gráfica:
2.3.2 Regla de la adición- Eventos traslapantes y mutuamente excluyentes
Al momento de medir la incertidumbre de la ocurrencia de eventos, muchas veces nos referimos a más de un evento, y las relaciones que existen entre ellos, dichas relaciones dependen de las características de los eventos, para una mejor comprensión del tema, antes de continuar, debemos de definir dos conceptos relacionados con la combinación de eventos: Unión e intersección de eventos.
Unión de dos eventos.
Vamos a definir la unión de eventos como sigue, considerando dos eventos, A y B:
“La unión de A y B es el evento que contiene todos los puntos muestrales que pertenecen a A o a B o a ambos. La unión se denota
A ∪ B. “
(Anderson, 2008)
Intersección de eventos
Vamos a definir la intersección de eventos como sigue, considerando dos eventos, A y B:
“Dados dos eventos A y B, la intersección de A y B es el evento que contiene los puntos muestrales que pertenecen tanto a A como a B., a la intersección de los eventos se denota A ∩ B ”
(Anderson, 2008)
La representación gráfica de la intersección de eventos sería como sigue:
Una vez cuando ya se vieron éstos dos conceptos, podemos continuar con la fórmula de la adición, que se expresa:
La cuál se lee: La probabilidad de la unión de los eventos A y B es igual a la suma de la probabilidad del evento A y la probabilidad del evento B menos la probabilidad de la intersección de los eventos A y B.
Existen casos particulares, un ejemplo de ello, es cuando los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que ninguno de los puntos muestrales de los eventos se comparten, no hay puntos muestrales en la intersección de los eventos.
(Anderson, 2008)
Cuando son eventos mutuamente excluyentes la fórmula de la adición se elimina la probabilidad de la intersección de los eventos, dado que no existen puntos muestrales en ella, quedaría como sigue:
Te invitamos a ver el siguiente vídeo de la ley de a la adición y un ejemplo de la misma:
2.3.3 Probabilidad conjunta y marginal
2.3.3.1 Probabilidad conjunta
Existen ocasiones donde se busca la probabilidad de que varios eventos ocurran simultáneamente, dicha probabilidad se le llama probabilidad conjunta, se obtiene mediante la determinación de la probabilidad del evento de la intersección de los eventos que se estén estudiando.
(Bacchini, 2018)
La fórmula sería la siguiente:
Veamos el siguiente ejemplo:
2.3.3.2 Probabilidad marginal
La probabilidad marginal no es más que la probabilidad de ocurrencia de un evento A, sin considerar la probabilidad de un evento B, que suceden de una manera simultánea.
Demos continuación al ejemplo anterior sobre el lanzamiento de dados, la probabilidad marginal de cada uno de los eventos se determinaría de la siguiente manera:
Tanto para probabilidad conjunta como marginal, se busca la probabilidad de un evento, a sea el evento que se origina de la intersección de varios eventos, o de cada evento en su singularidad, los términos que se emplean de probabilidad “conjunta” y “marginal”, es para dar contexto que se estudian más de un evento de manera simultánea.
(Bacchini, 2018)
2.3.4 Regla de la multiplicación: eventos independientes y dependientes.
Es común, que la probabilidad de un evento sea influido por el hecho de que un evento relacionado con él ocurra, cuando se aprovecha la información y se ocupa para determinar la probabilidad del evento que fue influido, se le conoce como probabilidad condicional, se expresa de la siguiente manera: P(A | B) y se lee como: “La probabilidad del evento A dado el evento B”.
(Anderson, 2008)
2.3.4.1 Eventos independientes y dependientes
Cuando analizamos eventos que suceden simultáneamente, pueden influir las probabilidades de los eventos entre sí, cuando existe dicha influencia, se le denominan “eventos dependientes”, y por el contrario, cuando no existe, se le denominan “eventos independientes”.
(Anderson, 2008)
La fórmula sería la siguiente para identificar si existe independencia:
Una vez vista la independencia entre eventos que suceden de manera simultánea, podemos entrar a la parte específica de la Ley de la multiplicación.
2.3.4.2 Ley de la multiplicación
Se ha planteado sobre utilizar la ley de la adición cuando se busca la probabilidad de la unión entre eventos, la ley de la multiplicación por su parte busca la probabilidad de la intersección entre eventos que suceden simultáneamente y que pueden influir las probabilidades entre ellos o no, la fórmula de la ley de la multiplicación es la siguiente:
(Anderson, 2008)
Ejemplo:
Para ilustrar la ley de la multiplicación, veamos el siguiente ejemplo: Considere a un despacho de contaduría y auditoría en el estado de Guanajuato que se conforma por los equipos de trabajo de 2 socios, el socio A contiene el 65% de los clientes que solicitan servicios de contaduría del despacho.
Si A denota el evento “Un cliente que solicita servicios de contaduría del equipo de trabajo del socio A, la probabilidad del evento se denotará: P(A) 0.65.
Además, sabe que la probabilidad de que un cliente que pide servicios de contaduría, solicite también los servicios de una auditoría (evento B) es 0.85; esto es, P(A | B) 0.85
¿Cuál es la probabilidad de que un nuevo cliente que llegue al despacho a solicitar servicios de contaduría forme parte del equipo de trabajo del socio A y solicite servicios de auditoría? Emplearemos la ley de la multiplicación y calcularemos la probabilidad deseada, P(A በ B).
P (A በ B)= P(A) P (B | A)= 0.65 (0.85)= 0.55
Así, se sabe que el 55% de los nuevos clientes que lleguen al despacho que soliciten servicios de contaduría, formarán parte del equipo de trabajo del socio A y solicitarán servicios de auditoría.
Antes de terminar esta sección hay que considerar el caso especial de la ley de la multiplicación cuando los eventos involucrados son independientes, cuya fórmula sería la siguiente:
2.3.5 Teorema de Bayes
Como último tema de esta lección, veremos el teorema de Bayes, para lo cual, te invitamos a ver la siguiente presentación preparada para ti:
Tema 2 y 3. Espacios de probabilidad-Probabilidad condicional e independencia-Teorema de Bayes
Espero haya sido de tu agrado y de utilidad los temas expuestos, nos vemos en la próxima lección.
Resumen e ideas relevantes
Es importante que de lo anterior recuerdes que:
- Cuando hablamos de probabilidad, nos referimos a la posibilidad de ocurrencia de un evento.
- Los valores de probabilidad se encuentran en una escala de 0 a 1. que se puede expresar en inferencias de manera porcentual de igual forma, mientras el valor de la probabilidad es más cercano a 1, existe mayor posibilidad de ocurrencia del evento, y viceversa, mientras más distantes del 1, menor la posibilidad de ocurrencia.
- Existen diversos enfoques de la probabilidad, entre ellos se encuentran el clásico, el empírico y el subjetivo.
- El complemento de un evento, son todos los demás puntos muestrales del espacio muestral que no forman parte de dicho evento.
- Existen diferentes relaciones entre la probabilidad de eventos, entre ellas la unión y la intersección, la unión de los eventos se puede determinar utilizando la regla de la adicción.
- Cuando hablamos de la probabilidad de algún evento cuando sucede otro de manera simultánea, se le llama probabilidad conjunta.
- La regla de la multiplicación se utiliza para determinar la probabilidad de la intersección de dos eventos que suceden de manera simultánea.
- Dependiendo si influye a la probabilidad de un evento la ocurrencia de otro, se les denomina como eventos dependientes, en caso contrario, son eventos independientes.
- El teorema de Bayes es un medio para calcular probabilidades posteriores.
Fuentes de consulta
- Libro: Anderson, David R., Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams. (2008) Estadística para administración y economía, 10a. ed. México. Editorial: Cengage Learning. 1091 pp. Recuperado de: Estadistica para administracion y economia
- Documento en línea: Baeza, C. (2014). Diagrama de Venn. Universidad Autónoma de Nuevo León. Recuperado de: Diagrama de Venn
- Documento en línea: Caballero, B. (2014). Teoría de las probabilidades.. Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo. Recuperado de: https://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/zimapan/contaduria/2014-2/estadistica_aplicada.pdf
- Documento en línea: Agosto, D. (2010). Probabilidad.. Universidad de Puerto Rico en Bayamón. Recuperado de: http://docs.uprb.edu/deptmate/material%20suplementario/CIME/7mo%20a%209no/T8%3B%20Probabilidad%287mo%20a%209no%29.pdf
- Libro: Roberto Darío Bacchini … [et al.]. (2018) Introducción a la Probabilidad y a la Estadística, 1ra. ed. Argentina. Editorial: Universidad de Buenos Aires. 236 pp. Recuperado de:Bacchini_Introduccion-a-la-probabilidad-y-a-la-estadistica-2018.pdf (uba.ar)