Clase digital 2. Límites y continuidad de funciones algebraicas

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Límites y continuidad de funciones algebraicas

1. Fundamentación del tema

Anteriormente, en el desarrollo del tema Funciones, se había descrito la importancia de estas expresiones algebraicas para la contaduría pública y para la administración, pues dan origen a muchos modelos financieros que ayudan a describir el comportamiento de variables económicas importantes, tales como la oferta y la demanda. No obstante, los límites son un instrumento del cálculo que nos permite entender cómo se comportan estas funciones cuando se les da un valor numérico determinado, siendo particularmente útiles para identificar cuando la función no puede tomar un valor específico debido a que conduce a una indeterminación matemática, es decir, a un resultado no lógico. Cuando la función se acerca a tal valor que le origina una indeterminación, sin llegar específicamente a él, los límites se encargan de mostrarnos que valor resultaría en la variable. Existen diferentes maneras de encontrar un límite, ya sea calculando los valores de la función, haciendo el bosquejo de su gráfica o empleando las propiedades de los límites. En el caso de emplear las propiedades de los límites, deben seguirse teoremas previamente demostrados y bien establecidos para llegar a un resultado. Es así cómo puede entenderse que la relevancia de los límites de las funciones algebraicas radica en permitir que las funciones establecidas para describir modelos económicos y administrativos operen de la manera adecuada dentro de los límites apropiados que eviten que se obtenga una indeterminación matemática.

2. Objetivo didáctico

Identificar qué son los límites dentro de las funciones algebraicas y conocer los principales teoremas que nos permiten determinarlos para así comprender cómo se establecen los valores que una función puede tomar dentro de un modelo financiero o administrativo.

3. Contenido didáctico

Introducción

¡Hola!

Es un gusto acompañarte en este proceso de aprendizaje, es por ello que te doy la bienvenida a esta segunda clase de la UDA de Cálculo Diferencial.

En esta clase veremos uno de los temas más interesantes de tu materia Cálculo diferencial, los límites de las funciones algebraicas. Los límites son un tema que puede resultar muy sencillo de comprender, pero cuyo discernimiento pleno es la base para el entendimiento de temas más complejos y, sobre todo, para la aplicación de este conocimiento teórico a modelos financieros y administrativos. Se considera que los límites son tan importantes dentro del cálculo, que son lo que distingue a ésta de otras ramas de las matemáticas, de hecho, algunos autores definen al cálculo como el estudio de los límites. De manera coloquial podemos entender a un límite como una barrera a la cual podemos aproximarnos tanto como queramos, pero que nunca, en ninguna circunstancia, podemos sobrepasar. En el lenguaje matemático un límite nos da los valores que una función sí puede tomar sin conducir a una indeterminación matemática, es decir, a un error o una incoherencia que no signifique algo, que no de un valor. Asimismo, estos límites nos demuestran aquellas cifras que nunca pueden ser utilizadas por la función, que no pueden ser alcanzadas. 

A través de los años se han establecido diferentes proposiciones matemáticas que ya han sido demostradas para establecer, de forma inequívoca, los límites de una función según la forma que está presente. Estas proposiciones reciben el nombre de teoremas y en el presente estudio se analizarán los principales teoremas que se utilizan para calcular límites con sumas, productos y cocientes de funciones. 

¡Comencemos!

Desarrollo del tema

2.1. Teoremas de límite

Un límite implica entender el comportamiento de una función cuando la variable independiente está muy cerca de un número, pero sin llegar a tomar ese valor debido a que esto le ocasionaría una indeterminación o una incoherencia matemática (UACJ, 2016). Esto se expresa matemáticamente de la siguiente forma (Hernández, 2002):

Esto significa que cuando a x se le asigna un valor cercano (lo cual se menciona como que “tiende a…”) pero diferente de c, entonces f (x) está cerca de L. Es decir, c representaría el valor que la función de x no puede tomar, pudiéndosele dar valores muy cercanos a c, pero no c en sí. Por su parte, L es el resultado que se obtendría al resolver la función de x con el valor muy cercano, pero no igual a c.

(Hernández, 2002).

Entonces un límite puede entenderse de las siguientes maneras (Flores, 2016):

  • Como una aproximación o una tendencia a cierto número.
  • Como un punto hasta el que puede llegar cierto valor.
  • Como un tope o una barrera numérica que no puede ser sobrepasada.

Para poder afirmar que cierto número es el límite de una función, puede realizarse un graficado empleando sistemas especializados o puede recurrirse a la definición Épsilon-Delta.  En esta definición, épsilon y delta son sólo letras griegas que se utilizan para ser comparadas y para poder decir que “son más pequeñas que” en las siguientes afirmaciones:

  • Épsilon: 𝜺 < |f(x)−L| 🡪 Se entiende como una comparación en la que épsilon debe ser menor que el valor absoluto de la diferencia entre el resultado de la resolución de la función de x (dando un valor a x muy cercano a c) y el límite L preestablecido, hacia el que se busca que la función se acerque.
  • Delta: 𝛿 < |x−c| 🡪 Esto nos dice que delta debe ser menor que la diferencia entre el valor dado por nosotros mismos para x y el número hacia el que x tiende, es decir, hacia c.  

(Flores, 2016)

Considerando lo anterior, si nosotros logramos obtener una épsilon positiva (>0) lo suficientemente pequeña y una delta positiva (>0) también muy pequeña es porque el límite real dado para f(x) es el correcto cuando x tiende a c. Es decir, esta comparación expresa que, si logramos que se cumpla la siguiente condición, el límite (L) que se ha establecido para la función [f(x)] es el correcto (Flores, 2016):

  • Entre más se acerque el valor que demos a x (elegido a voluntad) a c, más cercano a L debe ser el resultado cuando resolvamos la función [f(x)] con la x seleccionada.  

No obstante, esta definición puede resultar compleja de entender y aplicar cuando se busca obtener un límite de forma rápida, existiendo una tercera opción: el uso de teoremas previamente probados y bien establecidos. Aunque existe una gran variedad de teoremas que nos pueden ayudar en casos específicos para la obtención de límites, a continuación, se presenta el Teorema principal de los límites, mismo que permite la obtención de la mayoría de los límites que pudieran solicitarse. Este teorema cuenta con nueve situaciones o propiedades diferentes, en todas ellas debe considerarse a n como un número entero positivo, a k como una constante y a f y g como funciones que tengan límites en c:

(Purcell et al., 2007)

  1. Esta propiedad nos indica que el límite para una constante es la constante misma.

(Purcell et al., 2007).

2. Esta propiedad dice que si se busca el límite de x este será c, es decir, el número hacia el que x tiende.

(Purcell et al., 2007).

3. Esta propiedad afirma que el límite de una constante multiplicada por una función de x, será igual al producto de tal constante multiplicada por el límite de la función de x.

(Purcell et al., 2007).

4. Esta propiedad menciona que el límite de la suma de dos funciones de x, siendo una f(x) y la otra g(x), será igual a la suma del límite de f(x) más el límite de g(x).

(Purcell et al., 2007)

5. Esta propiedad, parecida a la anterior, describe que el límite de la resta de dos funciones es igual al límite de la primera función menos el límite de la segunda función.

(Purcell et al., 2007).

6. Esta propiedad muestra que el límite del producto (multiplicación) de dos funciones es igual al límite de una función multiplicado por el límite de la segunda función.

(Purcell et al., 2007).

7. Esta propiedad explica que el límite del cociente entre dos funciones es igual al límite de la primera función sobre el límite de la segunda función siempre y cuando este último no sea igual a 0.

(Purcell et al., 2007).

8. Esta propiedad indica que el límite de una función a la n potencia será igual al límite de dicha función posteriormente elevado a la misma potencia.

(Purcell et al., 2007).

9. Esta propiedad dice que el límite de la raíz de una función se obtendrá al sacar el límite de la función y luego sacar la raíz de tal cifra obtenida

(Purcell et al., 2007). 

Un segundo teorema que es de gran utilidad para el establecimiento de límites es el Teorema de sustitución el cual aplica cuando f es una función polinomial o racional.

(Purcell et al., 2007).

10. Este teorema implica que, para establecer el límite de una función polinomial o racional, esta debe resolverse dando a x el valor de c, es decir, el valor hacia el que x tiende.

Estos teoremas y sus propiedades pueden ser aplicados directamente en caso de que el límite lo permita, pero si se obtiene una expresión como 0/0 deberá transformarse previamente la fórmula de la función mediante una simplificación que evite la división sobre cero, pues esto conduce a una indeterminación. Para simplificar la fórmula de la función deben seguirse los procedimientos algebraicos comunes como la factorización (Purcell et aI., 2007). Enseguida se presentan algunos ejemplos en los que aplican algunas de las propiedades descritas, ya sea de forma individual o una propiedad seguida de otra diferente:

  1. Ejemplos de aplicaciones de la propiedad 1 (Beltrán, 2016):

           lím 88= 88                                       lím 43= 43

           x🡪7                                               x🡪5

  1. Ejemplos de aplicaciones de la propiedad 2 (Beltrán, 2016):

           lím x= 3                                           lím x= 6

           x🡪3                                              x🡪6

  1. Ejemplo de aplicación de la propiedad 3, seguida de la propiedad 8 y de la 2 (Purcell et al., 2007):
  1. Ejemplo de aplicación de la propiedad 5, seguida por la 3, la 8 y la 2 (Purcell et al., 2007):
  1. Ejemplo de aplicación de propiedad 7 (Beltrán, 2016):
  1. Ejemplo de aplicación de propiedad 8 (Beltrán, 2016):
  1. Ejemplo de aplicación de propiedad 7, seguida de la 9, la 4, la 8 y la 2 (Purcell et al., 2007):

Con estos ejemplos concluimos nuestra sesión de aprendizaje, esperando que este material resulte de utilidad para la comprensión de la aplicación de los teoremas de límites dentro de tu asignatura Cálculo diferencial. Para complementar este tema te sugerimos revisar el documento Continuidad de una función, en él hablaremos justamente sobre la continuidad, una característica de algunas funciones que está muy relacionada con sus límites y que tiene que ver con la forma en que estos se comportan al graficar la función: ya sea como una línea continua que no presenta huecos en su trayectoria, o como una línea discontinua. ¡No pierdas la oportunidad de repasar este tema tan interesante! 

Nos despedimos no sin antes invitarte a poner en práctica lo aprendido mediante la resolución de ejercicios variados que te permitan aplicar los dos teoremas estudiados y las nueve propiedades que presenta el primero de ellos. En el libro Cálculo diferencial e integral de los autores Purcell, Varberg y Rigdon (2007) en el capítulo 1, páginas 55 a 91, además de encontrar una explicación más detallada, podrás observar el procedimiento para dar solución a más ejercicios, así como obtener algunos para que tú mismo los soluciones ¡Buena suerte y que sigas aprendiendo!

Resumen e ideas relevantes

Es importante que de lo anterior recuerdes que: 

  • Un límite en lenguaje matemático nos dice qué valores una función sí puede tomar sin que se genere una indeterminación o incoherencia matemática. 
  • La forma de expresar un límite es la siguiente:          

En ella, c es el número hacia el que x se acerca (dentro de la función f(x)) y L es el límite que no se puede sobrepasar, el resultado de resolver la función f(x) usando el valor de c. 

  • Los teoremas de límites son proposiciones matemáticas que ya han sido probadas para establecer el límite de una función de forma inequívoca.
  • Los teoremas se dividen en propiedades, siendo cada una de ellas utilizada para el cálculo de un límite de una función con estructura específica: ya sea que contenga constantes, sumas, restas, divisiones, potencias o raíces.
  • Uno de los teoremas más importantes para la resolución de la mayoría de los casos en que se soliciten límites, es el Teorema principal de los límites, mismo que se divide en nueve propiedades o situaciones diferentes que aplican según la función f(x) que se tenga.
  • Por su parte, el Teorema de sustitución aplica en aquellos casos que se presenten funciones polinomiales o racionales, requiriéndose únicamente la sustitución dando a x el valor de c, pero que, si conllevan a una expresión 0/0, la función debe modificarse mediante factorización.

Es así como concluimos nuestra clase. ¡Vas avanzando muy bien, te felicito! No olvides que para concluir la sesión debes hacer la tarea asignada y enviarla correctamente. Te encuentro en la siguiente clase, hasta luego.

Fuentes de consulta