Clase digital 3. Cálculo diferencial en función de una variable

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Cálculo diferencial en función de una variable

1. Fundamentación del tema

El presente tema corresponde a la UDA “Cálculo diferencial” la cual es impartida en el primer semestre de la carrera. En la licenciatura de contador público, el cálculo diferencial juega un papel importante como parte del análisis matemático y financiero, por medio del estudio de variables y los cambios que hay en ellas. Por medio del estudio del cálculo, se puede llegar a desarrollar y construir modelos de análisis para poder entender los fenómenos que suceden en el área financiera y económica. 

La derivada como parte del Cálculo diferencial, es una de las herramientas más útiles para la representación de costos, producción, ingresos o beneficios, conocer los cambios que hay en la curva de la oferta y la demanda. Debido a lo anterior es importante conocer sobre derivadas en contabilidad, pues gracias a ellas el contador posee una herramienta de representación para poder transmitir la información contable de una forma más precisa y detallada.

2. Objetivo didáctico

Conocer y comprender el concepto de derivada, sus componentes y su notación para poder ser empleada como una herramienta en la representación de la información contable y financiera.

3. Contenido didáctico

Introducción

¡Hola!

Me da gusto poder saludarte de nuevo y que continúes en este camino que vas comenzando para seguir desarrollando tus habilidades en el cálculo diferencial.

Dentro de un mundo donde todo el tiempo los componentes que lo integran sufren cambios, es importante tener un estudio o análisis que permita demostrar las variaciones que hay y qué relación puede haber entre ellos. Cuando se habla de Cálculo diferencial, hay tres principales temas que son clave y abarca la mayor parte del panorama de estudios, los límites, las funciones y las derivadas. En recursos anteriores hemos conocido sobre los límites y las funciones, se da paso a lo siguiente cálculo de derivadas, pues de la comprensión de esos términos depende la comprensión total de la derivada.

La derivada de una función se define como el límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero. Al leerse solo y sin más información, tiende a ser un concepto difícil de comprender o siquiera de visualizar, pero con la ayuda de las demostraciones gráficas y claros ejemplos se puede ver como un término sencillo de explicar y entender. Con el siguiente material, se espera que puedas esclarecer dudas y tener un apoyo adicional para la materia. Antes de comenzar, es importante que hayas revisado los temas Funciones y Límites para que el tema sea más simple de comprender.

Espero que el tema te resulte útil y que obtengas los conocimientos necesarios rumbo a la resolución de tu consigna. ¡Demos inicio!

¡Comencemos!

Desarrollo del tema

Derivada 

La derivada de una función “f” es otra función f ‘(x), tomada de la original, que describe la variabilidad de f, es decir, cómo se comporta la tasa de cambio de la función con respecto a la variable independiente, el apóstrofe sirve para indicar que una función fue derivada, en matemáticas se le llama “prima”. La derivada evaluada en un punto “x” describe cómo está cambiando la función en torno a  “x”. 

(Coppola, 2018)

Al igual que otros conceptos matemáticos como el área o perímetro de una figura, que además de la definición tiene una fórmula que permite explicarlo mejor, la derivada también tiene una representación por medio de una fórmula, la cual es la siguiente; (Si quieres conocer más acerca de la fórmula y la interpretación geométrica de la derivada, no te olvides de pasar por el recurso PPT del tema 3 de la materia de Cálculo diferencial)

Dependiendo del autor suelen variar los símbolos o expresiones utilizadas, pero todas representan el concepto de derivada, como la siguiente:

En este caso la letra griega delta sustituye a h, pero como se indicó antes representan lo mismo, es solo cuestión de los autores que sean consultados. 

Notación de la derivada

Diferentes autores o incluso profesores cambian los símbolos ajustándolos a lo que mejor se acomoda o la forma en la que se comprende mejor para ellos. Para no confundir temas o pensar que se habla de un tema diferente a la derivada, las siguientes son algunas Notaciones usadas para la derivada que fueron propuestas por diferentes autores.

La notación más conocida y utilizada fue propuesta por Lagrange y es f ´   lo cual indica a que es una función derivada de f. Como una extensión de la notación en lugar de f se utiliza y , de igual forma para indicar la derivada se coloca y ´. Entonces  fx=y así como f´x=y´

La notación propuesta por Euler es un Df, aunque dicha propuesta no indica la función derivada, sino se representa como un ordenador de derivar la función f . De esta manera Df=f´

La notación de Leibniz consiste en representar la derivada como un cociente del incremento infinitesimal de dos magnitudes. Se utiliza la letra griega Delta para poder designar un incremento, el signo d es usado para designar un incremento infinitamente pequeño y nos queda la derivada como: yx=dydx . Esta notación es de particular interés para el caso de las derivadas parciales, esto es, funciones de varias variables que se pueden derivar respecto a cada una de ellas. La notación de Leibniz indica respecto a qué variable se deriva la función. Así   indica que derivamos f(x) respecto a x.

Por último, está la notación menos usada, la de Newton. En ella se coloca un punto sobre el nombre de la función que se está derivando. Ejemplo: x

(Fisicalab, s/f)

Derivada de los cuatros pasos.

Una vez que se conoce que es una derivada de una función, su interpretación geométrica y su fórmula es momento de poner números y datos. La regla de los cuatros pasos se utiliza para encontrar la derivada de cualquier función a partir de la fórmula de definición. Para fines de la explicación se utilizará la fórmula: 

  • Primer paso. Se calcula  f(x+h)
  • Segundo paso. Se formula y calcula la diferencia f(x+h)-f(x)
  • Tercer paso. Se formula y calcula el cociente 
  • Cuarto paso. Se reemplaza y calcula

Para poder explicar y detallar mejor el procedimiento vamos a dar un ejemplo. Ejemplo derivar la función f(x)=x2

  1. Lo primero que hacemos es sustituir en la función f(x+h), es decir sustituir en “x” por (x+h).

f´x=(x+h)2

f'(x)=x2+2xh+h2

  1. Se calcula la diferencia de f(x+h)-f(x). Al resultado que habíamos obtenido le restamos la función f(x)=x2

f´x=(x2+2xh+h2)-x2

f'(x)=2xh+h2

  1. Se aplica la división

sustituyendo con el resultado del paso anterior. 

A fines de poder cancelar términos al término del numerador le aplicaremos la factorización, expresando el término h(2x+h)

  1. Se calcula el límite del cuando h tiende a cero. El límite así hallado es la derivada buscada.

Finalmente después del proceso, obtenemos que la derivada de la función f(x)=x2 es f'(x)=2x. Recordemos que para indicar que una función fue derivada se coloca el apóstrofe después de la f.  

(Paragua, Pasquel, Paragua, Paragua, Cajas, 2018)

Durante este corto pero enriquecedor recurso se puede conocer más de cercar la derivada. Si quieres conocer métodos de derivación más sencillos revisa los recursos del tema 4 Teorema fundamental de la deriva, practica mucho y continúa aprendiendo.

Resumen e ideas relevantes

Es importante que de lo anterior recuerdes que: 

  • La derivada de una función se define como el límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero.
  • Los símbolos usados en la fórmula del concepto de derivada de una función varían con respecto al autor del que se trate, pero todas representan lo mismo. 
  • Hay 4 notaciones de la derivada de una función, cada una de ellas propuesta por un autor diferente. Euler, Newton, Leibniz y Lagrange.
  • La regla de los cuatro pasos para derivar sirve para encontrar la derivada de una función a partir de su definición.

Fuentes de consulta