Análisis de respuesta de sistemas de segundo orden
Introducción
¡Hola!
Te mando un gran saludo y te brindo con la misma alegría la bienvenida a esta séptima clase, espero la recibas con agrado.
En el análisis y diseño de sistemas de control es necesario tener una base para comparar los sistemas de control. Esto se hace especificando señales de entrada de prueba y comparando las respuestas de varios sistemas a estas señales de entrada.
Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones escalón, rampa, parábola, impulso, senoidal, etc.
La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria.
La respuesta transitoria se refiere a la que va del estado inicial al estado final.
En esta sesión veremos los sistemas de segundo orden. Te invito a conocerlos. ¡Éxito!
Desarrollo del tema
Considérese el sistema masa-resorte-amortiguador
cuyo modelo entrada-salida esta dado por:
donde, u es la fuerza externa aplicada y x es el desplazamiento del sistema.
Función de transferencia
La función de transferencia del sistema masa-resorte-amortiguador está dado por
mientras que los polos del sistema están dados por
En el análisis de respuesta transitoria es conveniente escribir:
donde:
- σ se denomina atenuación.
- wn frecuencia natural no amortiguada.
- ξ factor de amortiguamiento relativo del sistema.
Así, la función de transferencia G(s) se escribe como:
Esta forma se denomina función estándar del sistema de segundo orden.
Respuesta al escalón unitario
El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden se describe en términos de los parámetros ξ y wn.
Considérese una entrada escalón unitario. Se consideran tres casos diferentes:
- 0 < ξ < 1, sistema subamortiguado.
- ξ = 1, sistema críticamente amortiguado.
- ξ > 1, sistema sobreamortiguado.
Caso subamortiguado (0 < ξ < 1)
Para una entrada escalón unitario U(s) = 1/s la respuesta de salida de un sistema de segundo orden subamortiguado está dada por:
Así, el desplazamiento de respuesta está dado por:
Definiciones de la respuesta transitoria
- td: Tiempo de retardo
- tr: Tiempo de subida
- tp: Tiempo pico
- Mp: Sobreelongación
- ts: Tiempo de asentamiento
Caso críticamente amortiguado (ξ = 1)
Para una entrada escalón unitario U(s) = 1/s la respuesta de salida de un sistema de segundo orden críticamente amortiguado está dada por:
Así, el desplazamiento de respuesta está dado por:
Caso sobreamortiguado (ξ > 1)
Para una entrada escalón unitario U(s) = 1/s la respuesta de salida de un sistema de segundo orden sobreamortiguado está dada por
Así, el desplazamiento de respuesta está dado por:
donde:
Conclusión
Para concluir repasemos lo siguiente:
- Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado.
Es así como llegamos al final de la clase. ¡Te felicito por tu esfuerzo y dedicación! No olvides la tarea asignada a esta clase. Te espero en tu próxima sesión con un tema relevante para ti.