Clase digital 3. Variables aleatorias discretas

Variables aleatorias discretas

1. Fundamentación del tema

El presente tema corresponde a la UDA “Probabilidad y estadística”. La importancia de conocerlo radica en la toma de decisiones en base a eventos que posiblemente sucedan. El estudio de la probabilidad permite visualizar la incertidumbre de que un evento suceda o no, lo que otorga herramientas para formular argumentos al momento de explicar las posibilidades de que se presente un evento.

2. Objetivo didáctico

Construir conceptos básicos acerca de las variables aleatorias discretas, diferentes tipos de distribución de las mismas para su aplicación.

3. Contenido didáctico

Introducción

¡Hola! Bienvenidas y bienvenidos a una nueva lección de probabilidad y estadística, en ella nos adentraremos en el estudio de las variables aleatorias discretas, y veremos temas muy interesantes.

La probabilidad nos permite predecir fenómenos estadísticos y financieros que bajo la observación nos habla de la frecuencia lo que igualmente nos puede llevar a la toma de decisiones más asertivas, el objeto de ésta lección es otorgar el marco de referencia teórico de las herramientas para su aplicación, dentro de las que se verán en la lección se encuentra el valor esperado de una variable discreta, la distribución binomial y Poisson, entre otros, esperemos sea de su agrado.

¡Comencemos con esta nueva lección, acompáñanos!

Desarrollo del tema

1. Conceptos básicos.

Mientras más nos adentramos al estudio de la probabilidad, se convierte necesario términos matemáticos más complejos, así como cálculos, sin embargo, de igual proporción se incrementan las posibilidades de resolver cuestionamientos más complejos que pueden ser de gran utilidad en la práctica profesional como personal. Veamos algunos de ellos:

1.1 Variables aleatorias

El primer concepto que abordaremos será el concepto mismo de variable aleatoria, que lo podríamos definir como un medio para describir resultados experimentales con valores numéricos, daremos alguna referencia de un autor sobre ellas:

“Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento.” (Anderson et al, 2008)

Dicho valor numérico dependerá del resultado del experimento, las variables aleatorias se dividen en dos, variables aleatorias discretas y continuas, veamos:

1.2  Variable aleatoria discreta

Hemos observado que las variables aleatoria son aquellas descripciones numéricas del resultado de un experimento, dentro de ellas, se encuentran las variables aleatorias discretas, su condición particular es que dicha variable aleatoria asuma un valor numérico finito o una sucesión de infinita de valores como 0, 1, 2, 3, 4… 

(Anderson, 2008) 

Veamos algunos ejemplos de ellas:

1.3 Variables aleatorias continuas

Dado que se observarán de manera particular en la siguiente lección, así como su aplicación más común con la distribución normal, sólo se dará la definición, la cual es la siguiente:

 “A una variable que puede tomar cualquier valor numérico dentro de un intervalo o colección de intervalos se llama variable aleatoria continua”

(Anderson et al, 2008) 

La principal diferencia entre variable aleatoria discreta y continua, es el valor que asume la variable, una con un valor numérico finito y la otra con un intervalo. 

1.4 Distribuciones de probabilidad discreta y función de probabilidad

Las distribuciones de probabilidad describen cómo se van a distribuir las probabilidades entre los valores que asumirá la variable aleatoria. En nuestro caso particular sobre variables aleatorias discretas se van a estar definidas dichas probabilidades por medio de la función de probabilidad, que se denota f(x). 

Dicha función dará el valor de la probabilidad por el valor que asuma la variable aleatoria.

(Anderson et al, 2008) 

Una ventaja significativa de definir la variable aleatoria de un caso y su respectiva función de probabilidad es que posteriormente, es relativamente fácil determinar la probabilidad de los eventos que suceden dentro del caso.

1.5 Condiciones requeridas para una función de probabilidad discreta

Las funciones de probabilidad discreta deben satisfacer dos condiciones, las cuales son:

Básicamente quiere decir que la probabilidad que asuma la variable aleatoria en cada valor debe ser mayor o igual a 0, es decir, que  exista alguna probabilidad, y la segunda condición manifiesta que la sumatoria de las probabilidades que asume la variable aleatoria sea igual a 1.

Dados estos conceptos básicos, será más digerible el estudio de los próximos temas, veamos el primero de ellos, el valor esperado.

2. Valor esperado de una variable discreta

En lecciones pasadas hemos visto medidas de localización central en estadística, el valor esperado de una variable discreta es de igual forma, una medida de localización central de una variable aleatoria, veamos la fórmula para la obtención de dicho valor:

Daremos la definición del autor:

“El valor esperado es un promedio ponderado de los valores que toma la variable aleatoria.”

(Anderson et al, 2008)  

La fórmula del valor esperado indica que para su obtención es necesario la sumatoria del producto de cada valor que suma la variable aleatoria por su probabilidad. El resultado del valor esperado no necesariamente debe ser un valor que asuma la variable aleatoria.

El valor esperado se denota de las formas anteriores: E (x) o μ, que es la letra griega mu.

Te invitamos a ver el siguiente video respecto al valor esperado de una variable aleatoria discreta:

3. Varianza y desviación estándar

Así como tenemos una medida de localización central, es necesario tener medidas de dispersión, para la cual es aplicable la varianza y desviación estándar para resumir la variabilidad de los valores que asume la variable aleatoria.

Definiremos la varianza para esta lección como:

“Un promedio ponderado de los cuadrados de las desviaciones de una variable aleatoria de su media” 

(Anderson et al, 2008)  

La fórmula de obtención sería la siguiente:

La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la varianza, y permite que las unidades que expresan permitan realizar inferencias y toma de decisiones.

Distribución Binomial 

Existen diferentes tipos de distribución  para las variables aleatorias discretas entre ellas se encuentran: Distribución de Bernoulli, distribución binomial, distribución de Poisson y distribución hipergeométrica. 

(Bacchini, 2018)  

Todas tienen sus particularidades pero para fines didácticos, veremos dos de las más utilizadas, la distribución binomial y la distribución de Poisson.

Un experimento para que se considere binomial debe poseer las siguientes propiedades:

Propiedades de un experimento binomial:

1. El experimento consiste en una serie de n ensayos idénticos.
2. En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de estos resultados se le llama éxito y al otro se le llama fracaso.
3. La probabilidad de éxito, que se denota p, no cambia de un ensayo a otro. Por ende, la probabilidad de fracaso, que se denota 1 – p, tampoco cambia de un ensayo a otro.
4. Los ensayos son independientes.

Algo importante que señalar es que el experimento, si llega a carecer de alguna de ellas, ya no se puede considerar binomial, Si se presentan las propiedades 2, 3 y 4, se dice que los ensayos son generados por un proceso de Bernoulli.

Lo que interesa en un experimento binomial será el número de éxitos o fracasos en n números de ensayos. Dado que el número de éxitos o fracasos es un número finito, se corrobora que es una variable aleatoria discreta.

Existen dos fórmulas aplicables a la distribución binomial, la primera nos brinda el número de resultados experimentales en los que hay exactamente x éxitos en N ensayos, y la segunda es la para obtener la función de probabilidad binomial, veamos:

Te invitamos a ver la siguiente presentación con la resolución de un caso ilustrativo de distribución binomial a través del uso de la tabla de probabilidades binomiales:

Tema 3. Variables aleatorias discretas-Conceptos básicos 

También, te invitamos a ver un vídeo que ilustra otro ejemplo resuelto con las fórmulas de la función de la distribución binomial sin utilizar las tablas de probabilidades binomiales:

4.1 Valor esperado y varianza en la distribución binomial:

Se observó con anterioridad las fórmulas de valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta, cuando dicha variable aleatoria tenga una distribución binomial, la fórmula se simplifica y quedaría como sigue: 

Se puede decir que:

E (x)= Al producto del número de casos por la probabilidad de éxito dentro de un ensayo binomial.

Var (x)=  Es el producto de la multiplicación del número de casos por la probabilidad de éxito de un ensayo binomial por la probabilidad de fracaso dentro del ensayo binomial.

5. Distribución de Poisson

Ahora veremos una de las distribuciones más utilizadas la distribución de Poisson, veamos algunas de las aplicaciones que tiene dicha distribución:

• Líneas de espera
• Compañías de Seguros
• Evolución de nacimientos  y muertes
• Mercado de capitales y Finanzas
• Control de calidad
• Muestreo de pruebas en auditoría  

Esta variable aleatoria discreta se suele usar para estimar el número de veces que sucede un hecho o evento determinado en un intervalo de tiempo o de espacio. 

(Bacchini, 2018)  

Al igual que existen propiedades para que la variable tenga una distribución binomial, también existen propiedades cuando se tiene una distribución de Poisson, las cuales son las siguientes: 

Propiedades de un experimento de Poisson

• La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualesquiera de intervalos de la misma magnitud.
• La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier otro intevalo.

Fuente de la imagen: Anderson (2008). Cengage learning. Recuperado de: Estadistica para administracion y economia 

También observemos la función de probabilidad de Poisson mediante la siguiente ecuación:

Al igual que en la distribución binomial, existen valores resueltos de la función de probabilidad de Poisson, que facilita la obtención del valor del mismo, los datos que debemos de tener son:

x= Valor que asumirá la variable aleatoria discreta 
μ= El valor esperado de ocurrencias en un intervalo de tiempo o espacio

tabla 5.9: Algunos valores de las tablas de probabilidad de Poisson. Ejemplo μ =10; x=5; f(5) =0.378

Te invitamos a ver un vídeo que ilustra un ejemplo resuelto de variables aleatorias discretas con distribución de Poisson:

Aproximación de la distribución de Poisson a la Binomial

Este tema es más complejo y corresponde a la UDA continuación de ésta, sin embargo, vamos a mencionar sólo que cuando la variable aleatoria discreta tiene propiedades de distribución binomial, se puede aproximar el valor de dicha distribución mediante la distribución de Poisson.

(Bacchini, 2018) 

La fórmula sería la siguiente: 

Esperemos que haya sido de tu agrado ésta lección y muy útil, te esperamos en la siguiente lección.

Resumen e ideas relevantes

Es importante que de lo anterior recuerdes que: 

• Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento.
• Las variables aleatorias se dividen en variables aleatorias discretas y continuas.
• Las variables aleatorias discretas asumen valores numéricos finitos, mientras las continuas asumen dentro de un intervalo o colección de intervalos
• Las distribuciones de probabilidad describen cómo se van a distribuir las probabilidades entre los valores que asumirá la variable aleatoria.
• Una ventaja significativa de definir la variable aleatoria de un caso y su respectiva función de probabilidad es que posteriormente, es relativamente fácil determinar la probabilidad de los eventos que suceden dentro del caso.
• Condiciones requeridas para una función de probabilidad discreta es que la probabilidad que asuma la variable aleatoria en cada valor debe ser mayor o igual a 0, es decir, que  exista alguna probabilidad, y la segunda condición manifiesta que la sumatoria de las probabilidades que asume la variable aleatoria sea igual a 1.
• El valor esperado es un promedio ponderado de los valores que toma la variable aleatoria.
• La varianza y desviación estándar son medidas de dispersión utilizadas en variables aleatorias.
• Existen diferentes tipos de distribución  para las variables aleatorias discretas entre ellas se encuentran: Distribución de Bernoulli, distribución binomial, distribución de Poisson y distribución hipergeométrica.
• Tantos las variables aleatorias discretas que tienen distribución binomial o de Poisson tienen propiedades particulares.
• Cuando la variable aleatoria discreta tiene propiedades de distribución binomial, se puede aproximar el valor de dicha distribución mediante la distribución de Poisson.

Fuentes de consulta

• Libro: Anderson, David R., Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams. (2008) Estadística para administración y economía, 10a. ed. México. Editorial: Cengage Learning. 1091 pp. Recuperado de: Estadistica para administracion y economia 
• Libro: Roberto Darío Bacchini … [et al.]. (2018) Introducción a la Probabilidad y a la Estadística, 1ra. ed. Argentina. Editorial: Universidad de Buenos Aires. 236 pp. Recuperado de:Bacchini_Introduccion-a-la-probabilidad-y-a-la-estadistica-2018.pdf (uba.ar)