Variables aleatorias continuas
1. Fundamentación del tema
El presente tema corresponde a la UDA “Probabilidad y estadística”. La importancia de conocerlo radica en la toma de decisiones en base a eventos que posiblemente sucedan. El estudio de la probabilidad permite visualizar la incertidumbre de que un evento suceda o no, lo que otorga herramientas para formular argumentos al momento de explicar las posibilidades de que se presente un evento.
2. Objetivo didáctico
Construir conceptos básicos acerca de las variables aleatorias continuas enfocadas en la distribución normal, para su aplicación.
3. Contenido didáctico
Introducción
¡Hola! Bienvenidas y bienvenidos a una nueva lección de probabilidad y estadística, en ella nos adentraremos en el estudio de las variables aleatorias continuas y veremos temas muy interesantes.
La probabilidad nos permite predecir fenómenos estadísticos y financieros que bajo la observación nos habla de la frecuencia lo que igualmente nos puede llevar a la toma de decisiones más asertivas, el objeto de ésta lección es otorgar el marco de referencia teórico de las herramientas para su aplicación, dentro de las que se verán en la lección se encuentra la distribución normal de una variable aleatoria continua y su aproximación a la distribución binomial.
¡Comencemos con esta nueva lección, acompáñanos!
Desarrollo del tema
1. Variables aleatorias continuas
Hemos visto en lecciones pasadas sobre las variables aleatorias en términos generales, que hacen referencia a los valores numéricos que describen el resultado de un experimento, se observó las características de las variables aleatorias discretas, ahora es el momento de las variables aleatorias continuas, empecemos.
Para empezar, debemos de definir que son dichas variables, haremos uso de la perspectiva de un autor para ello, veamos:
“A una variable que puede tomar cualquier valor numérico dentro de un intervalo o colección de intervalos se llama variable aleatoria continua”
(Anderson et al, 2008)
La principal diferencia entre variable aleatoria discreta y continua, es el valor que asume la variable, una con un valor numérico finito y la otra con un intervalo.
Veamos algunos ejemplos de ellas:
| Experimento | Variable aleatoria(x) | Valores posibles para la variable aleatoria |
|---|---|---|
| Operar un banco | Tiempo en minutos entre la llegada de los clientes | x≥0 |
| Llenar una lata de refresco (máx. 12.1 onzas) | Cantidad de onzas | 0 ≤ x ≤ 12.1 |
| Construir una biblioteca | Porcentaje del proyecto terminado en seis meses | 0 ≤ x ≤ 100 |
| Probar un proceso químico | Temperatura a la que tiene lugar la reacción deseada (min. 150°F; máx. 212°F) | 150 ≤ x ≤ 212 |
Existen diferentes distribuciones continuas para variables aleatorias, entre ellas se encuentran: distribución uniforme, distribución normal y la distribución exponencial.
Una de las principales diferencias entre las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas es cómo se calculan las probabilidades.
1.1 Función de densidad de probabilidad
Se ha observado que para variables aleatorias discretas existe la función de probabilidad, que se denota como f(x), y da el valor de la probabilidad cuando la variable aleatoria asume cada valor. En su contraparte, en las variables aleatorias continuas existe la función de densidad de probabilidad, que se denota de igual forma como f(x). Dicha función no da probabilidades, sino más bien, da el área bajo la curva de f(x), que corresponde a un intervalo, es decir, cuando se calculan probabilidades de variable aleatorias continuas se calcula la probabilidad de que la variable aleatoria asuma alguno de los valores del intervalo.
(Anderson et al, 2008)
“Como en cualquier punto determinado el área bajo la gráfica de f(x) es cero, una de las consecuencias de la definición de la probabilidad de una variable aleatoria continua es que la probabilidad de cualquier valor determinado de la variable aleatoria es cero.”
(Anderson et al, 2008)
2. Distribución Normal
Una de las distribuciones más usadas para realizar inferencias sobre probabilidades aleatorias continuas es la distribución normal, entre algunas de sus aplicaciones más comunes son entre otros, qué tan probables son los resultados de un muestro, precipitación pluvial, entre otros.
2.1 Curva normal y características de las distribuciones normales
La curva de una distribución normal, tiende a tener forma de campana.
(Bacchini, 2018)
Veremos la función de densidad de la distribución normal, y haremos algunas observaciones de dicha curva y de la distribución normal:
Veamos algunas características de dichas distribuciones:
- Todas las distribuciones normales se diferencian entre ellas por dos parámetros que están expuestos en la función de densidad, µ y σ, es decir, la media y la desviación estándar, como se puede observar en la siguiente imagen:
Se puede percibir que mientras mayor sea la desviación estándar, la cresta de la curva será menos pronunciada, más que meramente afectar la forma, tiene una fondo que nos dice que la variabilidad entre la media y los datos es menor, recordemos que con la distribución normal encontraremos la probabilidad de ocurrencia de una área bajo la curva.
- El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre la media, la cual coincide con la mediana y la moda.
- La media de una distribución normal puede tener cualquier valor: negativo, positivo o cero. A continuación se muestran tres distribuciones normales que tienen la misma desviación estándar, pero diferentes medias. (10, 0 y 20).
- La distribución normal es simétrica, siendo la forma de la curva normal al lado izquierdo de la media, la imagen especular de la forma al lado derecho de la media. Las colas de la curva normal se extienden al infinito en ambas direcciones y en teoría jamás tocan el eje horizontal. Dado que es simétrica, la distribución normal no es sesgada; su sesgo es cero.
- La desviación estándar determina qué tan plana y ancha es la curva normal. Desviaciones estándar grandes corresponden a curvas más planas y más anchas, lo cual indica mayor variabilidad en los datos. A continuación se muestran dos curvas normales que tienen la misma media pero distintas desviaciones estándar.
- Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria normal se dan mediante áreas bajo la curva normal. Toda el área bajo la curva de una distribución normal es 1. Como esta distribución es simétrica, el área bajo la curva y a la izquierda de la media es 0.50 y el área bajo la curva y a la derecha de la media es 0.50. (Estos valores, pues recordemos que estamos hablando de probabilidad y hace alusión al entero)
- Los porcentajes de los valores que se encuentran en algunos intervalos comúnmente usados son:
a) 68.3% de los valores de una variable aleatoria normal se encuentran más o menos una desviación estándar de la media.
b) 95.4% de los valores de una variable aleatoria normal se encuentran más o menos dos desviaciones estándar de la media.
c) 99.7% de los valores de una variable aleatoria normal se encuentran más o menos tres desviaciones estándar de la media.
(Anderson et al, 2008)
Cuando en una variable aleatoria continua con distribución normal los valores de µ= 0 y σ=1, se le considera como distribución normal estándar.
(Anderson et al, 2008)
La función de densidad de probabilidad de las distribuciones normales estándar es más simple que la anterior vista y se define como sigue:
Puede parecer un poco complejo la determinación de la probabilidad de los intervalos que puede asumir la variable aleatoria continua mediante las fórmulas anteriores vistas.
Sin embargo, existe la manera de resolver esta complejidad, convirtiendo todas las distribuciones normales a una distribución normal estándar, que veremos a continuación:
2.2 Cálculo de probabilidades en cualquier distribución de probabilidad normal
Existe la manera de que cualquiera de las distribuciones normales se puedan resolver mediante el conversión y el uso a la distribución normal estándar, no es materia de la carrera de contador público cómo se justifica dicha conversión, sin embargo, es de vital importancia abarcar esta conversión, dado que es la manera más común de poder hacer inferencias con la distribución normal.
Vimos con anterioridad la fórmula de densidad de probabilidad para la distribución normal estándar, está conversión consta de convertir convertir cualquier variable aleatoria x con media μ y desviación estándar σ en la variable aleatoria normal estándar z, a la que hace alusión dicha fórmula.
Al igual que se vió en lecciones pasadas con la distribución normal binomial y de Poisson, existen tablas con la resolución de la ecuación, en el caso de la distribución normal no es la excepción, para poder utilizarlas, es necesario el valor aleatoria normal estándar z. Dichas tablas nos dan el valor del área bajo la curva de la distribución normal y por tanto la probabilidad que la variable aleatoria asuma un valor dentro del intervalo estudiado.
(Anderson et al, 2008)
Te invitamos a ver el siguiente vídeo de ejercicios resueltos:
3. Aproximación normal de las probabilidades binomiales
En lecciones anteriores, vimos las propiedades que caracterizan a los experimentos binomiales, pueden existir los casos donde la cantidad de ensayos es muy grande, y puede ayudarse de la distribución normal para aproximarse, para ello se ocupa el factor de corrección por continuidad.
Te invitamos a ver el siguiente video acerca de un ejemplo de aproximación de la distribución normal a binomial:
Con esto terminamos esta lección y UDA, esperamos que haya sido de tu agrada y nos veamos muy pronto.
Resumen e ideas relevantes
Es importante que de lo anterior recuerdes que:
- A una variable que puede tomar cualquier valor numérico dentro de un intervalo o colección de intervalos se llama variable aleatoria continua.
- La principal diferencia entre variable aleatoria discreta y continua, es el valor que asume la variable, una con un valor numérico finito y la otra con un intervalo, así como de cómo se determinan las probabilidades.
- Existen diferentes distribuciones continuas para variables aleatorias, entre ellas se encuentran: distribución uniforme, distribución normal y la distribución exponencial.
- Para calcular las probabilidades de intervalos en la distribución normal, se hace uso de la fórmula de densidad de probabilidad.
- Cuando se calculan probabilidades de variable aleatorias continuas se calcula la probabilidad de que la variable aleatoria asuma alguno de los valores del intervalo.
- La curva de una distribución normal, tiende a tener forma de campana.
- Todas las distribuciones normales se diferencian entre ellas por dos parámetros que están expuestos en la función de densidad, µ y σ, es decir. la media y la desviación estándar
- Cuando en una variable aleatoria continua con distribución normal los valores de µ= 0 y σ=1, se le considera como distribución normal estándar.
- Existe la manera de que cualquiera de las distribuciones normales se puedan resolver mediante la conversión y el uso a la distribución normal estándar.
- Se ocupa el factor de corrección por continuidad para aproximar una distribución normal a la distribución binomial.
Fuentes de consulta
- Libro: Anderson, David R., Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams. (2008) Estadística para administración y economía, 10a. ed. México. Editorial: Cengage Learning. 1091 pp. Recuperado de: Estadistica para administracion y economia
- Libro: Roberto Darío Bacchini … [et al.]. (2018) Introducción a la Probabilidad y a la Estadística, 1ra. ed. Argentina. Editorial: Universidad de Buenos Aires. 236 pp. Recuperado de:Bacchini_Introduccion-a-la-probabilidad-y-a-la-estadistica-2018.pdf (uba.ar)