Clase digital 4. Teoremas fundamentales de la derivada

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Teoremas fundamentales de la derivada

1. Fundamentación del tema

El presente tema corresponde a la UDA “Cálculo diferencial”. Las derivadas son una herramienta que permite expresar el cambio que sufre una función en un punto dado. El primer pensamiento que suele aparecer cuando se mencionan derivadas o calculo diferencial son un montón de números, letras, exponenciales y que las operaciones son interminables y que llegan a ocupar sinfín de hojas para poder ser resueltos. Este tema es fundamental en la comprensión de la derivada y cómo llegar a ella de forma sencilla en un tiempo más corto, pues estas concretas reglas hacen que los cálculos de las aplicaciones de la derivada sean sencillos, al facilitar el tiempo que se requiere para resolver problemas de Cálculo es importante entender y comprender cómo es que deben de aplicarse las reglas de derivación.

2. Objetivo didáctico

Identificar las reglas de derivación para poder aplicarlas en el cálculo de la derivada como una herramienta que permita agilizar el trabajo y que sus resultados permitan la interpretación de la información.

3. Contenido didáctico

Introducción

¡Hola!

Es un gusto encontrarte nuevamente, espero que estés aprendiendo mucho, sobre todo, que tu ánimo no decaiga y sigas conociendo más acerca de los temas que se te presentan. En esta ocasión te doy la bienvenida a la cuarta clase de la UDA de Cálculo Diferencial.

A lo largo de diferentes temas y recursos se ha ido avanzando y adentrando en la materia de Cálculo diferencial desde funciones y límites, hasta la definición de la derivada y cómo aplicar la formula mediante cuatro pasos para poder hallar la derivada. Se observó que siguiendo la definición para hallar una derivada, algunas funciones con características similares obtienen resultados parecidos que permitieron crear reglas a partir de las cuales la derivación se hizo un proceso simplificado y muy sencillo de comprender.

Las reglas de derivación, también conocidas como Teoremas fundamentales de la derivada, tal cual su nombre, son normas que sirven de guía para que se derive sin la necesidad de seguir un proceso tan elaborado, con simples operaciones aritméticas se llega al mismo resultado ahorrando tiempo y esfuerzo en los cálculos. Este tema es fácil de comprender y aplicar, pero es muy importante tener los conocimientos algebraicos básicos, para poder seguir con mayor agilidad el tema.

Sin más que agregar, te invito a proseguir.

¡Comencemos!

Desarrollo del tema

Las reglas de derivación son el conjunto de indicaciones a seguir para encontrar la derivada ordinaria de una función de variable real f(x).

(Zapata, 2021)

Derivada inmediatas.

Hay derivadas que se obtienen de forma inmediata, sin tener que realizar un proceso complejo, las mas utilizadas en la materia son las siguientes:

(Requena, 2020)

Son reglas sencillas de seguir, para ejemplificar mejor seguiremos los siguientes ejemplos de cada uno de ellos:

  1. De una constante, cuando una función es una constante el resultados siempre será cero. Ejemplo:

f(x)=5f'(x)=0

  1. De “x”, la derivada de x es el valor del coeficiente del término. Ejemplo 

f(x)=10x

f'(x)=10

  1. Derivada de un exponente, el exponente multiplica al coeficiente del término y al exponente se le resta uno. Ejemplo:

f(x)=2x5

f'(x)=5*2x 5-1

f'(x)=10x4

  1. Derivada de una raíz cuadrada, para derivar raíces cuadradas se emplea pasar a potencia fraccionara la raíz, pues se puede aplicar la regla para un exponente, lo que suele ser más sencillo de entender. Ejemplo:

f(x)=√5x

f(x)=5x1/2       

Este término representa la misma raíz cuadrada y se puede aplicar la regla del exponente

  1. Deriva de una raíz, al igual que el anterior siguiendo la regla de la raíz como una potencia fraccionaria, pero al ser mayores las raíces, es más sencillo aplicar la fórmula. Ejemplo:
  1. Derivada de una fracción, aquí se hace uso de las propiedades del álgebra, es cuando un denominador queremos que este en el numerador, lo que se hace es que su exponente se representa de forma negativa y aplicamos la regla de derivar para potencia. Ejemplo:

Al final se regresa el término que subió al numerador al denominador. 

(los ejemplos desarrollados a partir de las reglas son de autoría propia)

Estas son las derivadas que tienden a ser empleadas en los problemas de aplicación por los Contadores, las tablas con la reglas de derivadas son muy extensas, pues incluyen las derivadas de funciones trigonométricas pero para fines de la carrera no son empleados. 

Derivadas de suma, resta, producto y cociente.

Las funciones no suelen estar compuestas de una sola función, están compuestas por algunas que se suman, se restan, se dividen o multiplican. Las reglas que se aplican para esas funciones son las siguientes.

  1. Suma. Se deben derivar cada una de las funciones por individual.

f(x)=u+v

f'(x)=u’+v’

Ejemplo:

f(x)=5x8+2x+3

f'(x)=40x7+2

En el primer término se aplica la regla del exponente, después en el segundo la derivada de x y por último la derivada de una constante.

  1. Resta. Al igual que en la suma, se derivan por individual cada una de las funciones

f(x)=u-v

f'(x)=u’-v’

Ejemplo:

f(x)=30x2-27x-3-5

f'(x)=60x-27

IMPORTANTE: hay funciones donde se suman y restan funciones, se derivada cada una en lo individual respetando el signo que le corresponde:

f(x)=10x2+7x-3x+5x

f(x)=20x+7-3+5

  1. Producto. Cuando la función está compuesta por multiplicación de funciones su derivada sería: el producto de multiplicar la derivada de la primera función por la segunda función más el producto de multiplicar la primera función por la derivada de la segunda función,

f(x)=u*v

f'(x)=u’*v+u*v’

Ejemplo.

f(x)=(3x-2x)(4x2+5)

f'(x)=(3-2)(4x2+5)+(3x-2x)(6x)

  1. Cociente. Esta regla se aplica cuando dos funciones forman un cociente entre ellas, el procedimiento es: el producto de multiplicar la derivada del numerador  por la función del denominador menos  el producto de multiplicar la función del numerador por la derivada de la función del denominador y dividirlo entre la función del numerador al cuadrado.

Ejemplo

(Zapata, 2021)

Hay funciones que son más complejas y requieren de un regla especial para poder ser derivadas, es la Regla de la Cadena, para saber más de ella revisa el recurso ppt del tema cuatro Teoremas Fundamentales de la derivada y continúa aprendiendo.

Las reglas que vimos son relativamente sencillas de aplicar, la mayor dificultad que se puede presentar es debido a los carentes conocimientos sobre aritmética y álgebra, es importante dar un pequeño repaso a estos temas para poder adquirir un razonamiento mayor y tener una gran agilidad para resolver derivadas y sus aplicaciones. Continúa derivando y aprendiendo, nos vemos en el siguiente recurso.

Resumen e ideas relevantes

Es importante que de lo anterior recuerdes que: 

  • La derivada de una constante es cero
  • La derivada de “x” es el valor del coeficiente del término.
  • Para derivar por exponente, el exponente multiplica al coeficiente del término y al exponente se le resta uno.
  • Adicional a las reglas establecidas, para derivar raíces se puede emplear representar la raíz como un exponente fraccionario.
  • La derivada de un termino fraccionario, empleando las propiedades del algebra se puede representar mediante un exponente negativo. 
  • Las reglas para sumas y restas siguen el mismo esquema, lo único que cambia es el signo correspondiente a cada uno.
  • Para derivar por cociente o producto, es importante identificar cada una de las funciones para poder hacer una aplicación correcta.
  • Las funciones compuestas de sumas y restas deben de derivarse cada función en lo individual respetando el signo que le corresponde.

Te felicito por llegar hasta aquí con ese ímpetu tan incontrolable por saber cada día un poco más, continúa así y no dejes que ese ánimo decaiga. Realiza las actividades correspondientes.

 ¡Nos encontraremos en la próxima sesión!

Fuentes de consulta