Ecuaciones diferenciales en general
Introducción
Hola!
Es un privilegio darte la bienvenida a tu primera clase digital del curso de Ecuaciones Diferenciales en donde conoceremos diferentes herramientas matemáticas y su aplicación en la solución de problemas aplicados a la vida diaria. Espero que te mantengas con mucho ánimo y disfrutes este curso preparado para ti.
Comenzaremos este curso hablando de las Ecuaciones Diferenciales en General, por lo que es necesario que sepas que éstas son útiles en todas las ramas de la ingeniería permitiendo modelar muchos fenómenos físicos y saber su comportamiento para poder diseñar mejoras o una representación matemática que explique su comportamiento. Por ejemplo, en ingeniería eléctrica y electrónica se utilizan para la representación y solución de sistemas eléctricos RL, RC, RLC; en ingeniería mecánica se usan para determinar deformaciones en vigas, pandeos en columnas; en sistemas computacionales para el análisis de datos que se pueden procesar en una aplicación específica. En general, se utilizan para describir el comportamiento de todo lo que nos rodea como el movimiento de un avión, la velocidad en los automóviles, el comportamiento del clima, etc.
En esta clase aprenderás los conceptos básicos de ecuaciones diferenciales como son:
- Su definición
- Representación matemática (que es un poco diferente a las ecuaciones que comúnmente conoces)
- Sus diferentes tipos de clasificaciones
- Cómo se puede comprobar su solución
Algunas veces se requiere resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, por esta razón se verá cómo se representan esas condiciones para la solución de la ecuación diferencial. También se mencionarán los teoremas básicos en cuestión de la existencia de una solución única al resolver una ecuación diferencial.
Ahora que conoces la importancia de las ecuaciones diferenciales en tu formación en ingeniería, te invito a que aproveches al máximo este curso.
Recuerda que lo importante es que logres aprender lo mejor posible. Espero que el curso sea de tu agrado.
¡Te deseo muchísimo éxito!
Desarrollo del tema
Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Antes de comenzar a conocer la clasificación de las ecuaciones diferenciales es importante saber su definición.
Una ecuación diferencial es una ecuación que dentro de sus términos contiene derivadas, un ejemplo se ilustra en la ecuación 1, como se puede observar es diferente a las ecuaciones que has visto con anterioridad pero solo por contener una derivada ya que sus demás términos contienen las variable x e y.
Ahora que sabes como se ve una ecuación diferencial, se verá su clasificación. Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar de acuerdo a su tipo, orden y linealidad (ver figura 1).
La tabla 1 muestra la definición y ejemplos de cada una de las diferentes ecuaciones diferenciales.
Tabla 1.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales. (Elaboración propia).
Soluciones
Ejemplo 1. Comprobar que la función y = xex es una solución de la ecuación lineal 2
Para llevar a cabo la comprobación hay que derivar la función y y sustituirla en la ecuación 2:
sustituyendo en la ecuación 2 queda la ecuación 5:
quitando los paréntesis y realizando las multiplicaciones se obtiene la ecuación 6
juntando términos semejantes y sumando se obtiene la ecuación 7:
Finalmente, sumando términos semejantes se obtiene la ecuación 8, con lo cual indica que es una identidad y que efectivamente es una solución de la ecuación diferencial.
Problemas de valor inicial
La solución de una ecuación diferencial ordinaria es una expresión que proporciona todas las posibles soluciones de la misma, sin embargo los problemas de valor inicial admiten una solución única.
La ecuación 9 muestra un ejemplo de un problema de valor inicial, donde se muestra la ecuación diferencial y el valor de la función cuando x=0, más adelante se verá como resolver ecuaciones diferenciales de este tipo.
Para reforzar los conocimientos de lo que es una ecuación diferencial y los temas que se han visto hasta el momento puedes consultar el siguiente video:
Teorema básico de existencia y unicidad
Este teorema es muy importante en las ecuaciones diferenciales ordinarias ya que en problemas de valor inicial, se utiliza para indicar cuando una ecuación tiene solución y que esa solución además es única.
Puedes consultar el siguiente video para reforzar la comprensión en este teorema:
Conclusión
En conclusión, a lo largo de esta clase conociste la importancia del estudio de las ecuaciones diferenciales, su representación matemática y clasificación. Es importante recordar los siguientes puntos:
- Las ecuaciones diferenciales representan una herramienta matemática en la solución de problemas de la vida diaria en todas las ramas de la ingeniería. Se utilizan para modelar muchos fenómenos físicos y saber su comportamiento para poder diseñar mejoras o una representación matemática que explique su comportamiento.
- Una ecuación diferencial es una ecuación que dentro de sus términos contiene derivadas.
- Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.
- Existen ecuaciones diferenciales ordinarias, en derivadas parciales, de primer orden, de segundo orden, de tercer orden, de orden N, lineales y no lineales.
- Para saber si una función es una solución de la ecuación diferencial es necesario derivar esa función y sustituirla en la ecuación diferencial de manera que la convierta en una identidad.
- Hay problemas de valor inicial que pueden tener una única solución.
- El teorema de existencia y unicidad se utiliza para indicar cuando una ecuación tiene solución y que esa solución además es única.
Hemos llegado al final de esta primera sesión ¿qué te pareció? Espero que hayas aprendido cosas nuevas acerca del tema, pues esto te hará más sencillo el recorrido de este curso. Sigue adelante, realiza y manda la tarea asignada.
¡Has comenzado muy bien! Nos encontramos la próxima clase.