Clase digital 14. Interés compuesto (tasa(i) y tiempo(n)

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Interés compuesto (tasa(i) y tiempo(n)

Introducción

¡Hola!

Me complace enormemente saber de ti, espero que compartas mi emoción y te sumes con una gran actitud y ánimo a esta clase que es la catorce de la unidad de aprendizaje de Matemáticas financieras, espero que sea de tu agrado.

Durante el desarrollo y exploración de esta tercera unidad, se han revisado múltiples contextos y ejercicios sobre interés compuesto. Durante las primeras sesiones se dio una introducción general específicamente sobre el interés simple. Ahora que hemos revisado más sobre el interés compuesto, al igual que en el interés simple habrá ocasiones que no se tengan todos los datos. Por ejemplo, durante la clase pasada para querer calcular un Monto o Valor futuro, ya se conocían los datos del Capital, tasa y tiempo, así como los periodos de capitalización. Entonces, ¿qué pasaría si se tienen los datos del monto, capital y tiempo?, por lo que el dato que se querrá conocer será la tasa de interés, asimismo, se presentarán múltiples casos donde sea necesario conocer algún otro dato que no sea el monto. Para esto, igual que como se realizó con el interés simple, se despejará de la fórmula principal la incógnita que se desee conocer, en este caso es la fórmula del monto en comparación con la del interés.

Es importante mencionar que, para realizar estos despejes el procedimiento será un poco más complicado y el despeje no será tan directo en comparación con el interés simple, por lo que, cuando se defina la fórmula final de cualquiera de las incógnitas diferentes al monto (tasa, tiempo y capital), se recomienda realizar un formulario con todas las fórmulas revisadas, lo anterior con la finalidad de que cuando se presente un problema que requiera conocer determinada variable, se resuelva de forma rápida y directa con la fórmula adecuada, y no se tenga que despejar de la fórmula principal del monto, la variable a conocer.

En relación con lo anterior, te invito a proseguir.

Desarrollo del tema

Cálculo de la tasa de interés compuesto

Para realizar el despeje de i de la fórmula del monto, recordemos las 2 fórmulas revisadas en la clase pasada:

Usando la primera fórmula, existen múltiples métodos para despejar i de esta, una opción sería el uso de logaritmos, otro método es la interpolación se tablas, pero el más adecuado por lo revisado en el curso y los conocimientos de álgebra adquiridos durante tu recorrido y trayectoria académica, utilizaremos exponentes o radicales.

De:

Como se comenzará a trabajar con exponentes o radicales, utilizaremos leyes y propiedades para poder realizar el despeje. A continuación, se presenta una tabla donde se plasman las fundamentales y que puedas comprender todo el procedimiento.

Figura 1. Propiedades de los exponentes. Autor: Sergio Esteves Rebollo, 2015.

Elevaremos ambos lados de la ecuación a 1/n, para poder eliminar n del lado donde esta la tasa de interés y poder despejarla.

Observando la propiedad número 2 de la figura 1, al momento de elevar un exponente a otro, estos hacen la operación de multiplicación, por lo tanto:

Otra propiedad fundamental de los exponentes que no se encuentra presente en la figura 1, es cuando, “todo número elevado a la 1, será ese mismo número, por lo que el exponente uno se puede eliminar ya que no es necesario”. Puedes comprobarlo con tu calculadora, en lugar de 1+i remplázalo por un número real, y al elevar cualquier número a la 1 será ese mismo número.

Nuestra ecuación queda:

Despejando i obtenemos la ecuación de la tasa de interés:

Ejercicio 1.

Calcula la tasa anual, capitalizable bimestralmente, cuando un capital de $35,000 triplica su valor durante 4 años.
Sabemos que:
C=$35,000
M= (35,000) (3) =$105,000
n= (4 años) (6 bimestres al año) = 24

Comprobemos que el cálculo anterior fue realizado de forma correcta.
Usando:

Notemos que para esta comprobación no se utilizó la siguiente fórmula, debido a que la tasa de interés se despejó de la otra fórmula del monto. En segunda instancia al calcular i, definimos n = todas las capitalizaciones presentes, por lo tanto, esa tasa de interés anual ya está capitalizada de manera bimestral.

¿Cuál sería la tasa de interés anual sin definir su periodo de capitalización?
Esta pregunta puede parecer un poco confusa, ya que durante la comprobación notamos que la tasa de interés calculada es correcta. Es decir, la pregunta se refiere a la tasa de interés anual (sin dividirse entre m). El procedimiento para conocer la respuesta solo es multiplicar esa tasa de interés por el número de capitalizaciones al año.

La tasa de 28.1% es la que se debe utilizar si se desea calcular el Monto mediante la siguiente fórmula:

Para concluir el ejercicio 1, la tasa de interés del 28.1 % es la tasa de interés anual que se da normalmente al inicio de algún problema de interés compuesto, por ejemplo, cuando se desea calcular el monto. Y la tasa del 4,68% es la tasa anual pero ya capitalizada bimestralmente en este caso.

Cálculo del tiempo en interés compuesto.

Hasta este punto, hemos revisado como calcular la tasa de interés y el monto para el interés compuesto. Otra situación que se puede presentar al momento de querer realizar alguna inversión a largo plazo con interés compuesto es preguntarse ¿cuánto tiempo tendré que invertir determinado capital para generar un determinado monto? Igual que en procedimientos pasados, despejaremos el tiempo o en este caso n de la fórmula principal de interés compuesto, que es la del monto.

Existen varios procedimientos y caminos para conocer el tiempo, por lo que tomaremos el más sencillo y fácil de comprender para despejar la variable n.

Teniendo en cuenta la siguiente propiedad de los logaritmos:

Se despejará n:

Aplicaremos logaritmo a los 2 lados de la ecuación. Hay que observar las siguientes correspondencias:

  • Lado izquierdo de la ecuación:
  • Lado derecho de la ecuación:

Procedemos a aplicar logaritmo en los 2 lados de la ecuación: Omitimos el 1 ya que no afecta o modifica en nada.

Hasta este punto, se puede dejar la ecuación y despeje de n, no es necesario hacer más como encontrar el antilogaritmo, ya que a n no le afecta el log.

Ejercicio 2.

¿Durante cuánto tiempo, expresado en años, un capital de $5,800 se convertirá en $18,000 a una tasa de interés del 10% anual efectiva?

Usando:

Recordemos que la tasa anual efectiva es la que solo se capitaliza una vez al año, o se capitaliza anualmente.

¿Lo anterior se realizó de manera correcta? Comprobemos calculando el monto.

Por lo tanto, podemos concluir que el cálculo del valor de n es correcto.

¿Cuál sería el valor de n si la tasa del 10% anual se capitalizara cuatrimestralmente?

Tendríamos que dividir la tasa entre m o número de capitalizaciones al año. Y el valor de n calculado estará multiplicándose por m igualmente:

Comprobemos que el cálculo de n sea correcto usando la fórmula del monto cuando las capitalizaciones son menores a un año:

Por lo tanto, la fórmula para calcular n cuando las capitalizaciones sean menores a un año será:

Conclusión

Durante la presente clase, continuamos explorando más situaciones donde se presenta el interés compuesto y conocer, por ejemplo, el tiempo de alguna inversión para obtener determinado monto o la tasa de interés. Notemos que, para saber el valor de estos datos, lo primero que se viene a la mente para conocer determinada variable (tasa o tiempo) es despejarla de la fórmula principal del monto:

Y fue lo que hicimos durante el desarrollo de la clase, por lo que muchos pensarán que, con recordar la fórmula del monto, podrán calcular cualquier variable que se desee conocer, y están del todo en lo correcto. El problema se presenta, al momento de querer despejar la variable i o n, muchos olvidan propiedades algebraicas fundamentales y realizan un mal despeje o fallan en el intento. Por eso, se recomienda realizar un formulario donde plasmes todas las fórmulas revisadas hasta el momento desde interés simple hasta interés compuesto, porque como lograste apreciar en el desarrollo de la clase, la deducción de las fórmulas para i o n puede resultar un poco complicado de comprender aun teniendo el procedimiento, así que despejarlas por tu cuenta es un poco innecesario ya que has revisado la deducción y de donde provienen.

Otro punto que considerar es cuando se trabajan capitalizaciones menores a un año, y considerar cálculos de tasa de interés o periodos de tiempo de la misma manera, ya que los datos dependen mucho del número de capitalizaciones al año o m.

Por lo tanto, para conocer la tasa ya capitalizada, utilizamos la siguiente fórmula y el valor de n deberá ser el valor de todas las capitalizaciones que presente la deuda o inversión:

En caso de que se quiera conocer i sin definir sus periodos de capitalización, sólo se debe multiplicar por m.

Por último, en caso de querer conocer n o el tiempo en años de alguna inversión o deuda a interés compuesto, se utilizará la siguiente fórmula:

Es importante recordar, cuando la tasa anual sea efectiva o se capitalice cada año, se utilizará la siguiente fórmula, que solo es una simplificación de la anterior ya que m=1

Se aclara que se dan a conocer las diversas fórmulas a utilizar, dependiendo de cada situación que se presente, por lo que no es necesario aprender las fórmulas de memoria, más bien se debe aprender en qué situaciones aplicar cada una de ellas, interpretar cada resultado y tomar la mejor decisión.

¡Te felicito por tu logro! Te invito a continuar con tu proceso formativo realizando y mandando la actividad asignada a esta clase. “Perseverar es sinónimo de tenacidad, no decaigas sigue perseverando en tu educación” Te encuentro en la siguiente clase. Hasta luego.

Fuentes de información