Clase digital 15. Interés compuesto: Cálculo del valor actual (C) y fecha focal

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Interés compuesto: Cálculo del valor actual (C) y fecha focal

Introducción

¡Hola!

Es un gusto saber que continúas en este camino formativo, en esta ocasión nos encontramos en la clase 15 del curso, prácticamente por concluir este proceso formativo ¿Cómo te sientes? Espero que muy bien, pues has avanzado bastante y te siento con más confianza para proseguir. Dado que así es, te invito a continuar con mucho ánimo esta sesión.

Recordemos que el interés compuesto es aquel que se va sumando al valor actual o capital inicial de una inversión o deuda y sobre éste se generan nuevos intereses. El interés compuesto es el más utilizado en el mercado financiero debido a la inflación y la forma en que se generan los intereses. Recordemos que, y de acuerdo con Oxford Languages (2020), la inflación es el proceso económico provocado por el desequilibrio existente entre la oferta y la demanda; causando una subida continua de los precios de la mayor parte de los productos y servicios, y una pérdida del valor del dinero para poder adquirir bienes o servicios y hacer uso de ellos. Asimismo, Banxico explica de manera muy sencilla y didáctica el concepto de inflación. Te invito a que veas en Banxico Educa el video que explica qué es la inflación.

Este último punto es muy importante y por ello, la relevancia del valor actual o valor futuro del dinero. ¿Recuerdas que hace años podías comprar una bolsa de papás y una soda con $15? Ahora necesitas $30 para adquirir los mismos productos, siendo esto una consecuencia y ejemplo de la inflación. Por lo tanto, es recomendable realizar inversiones en lugar de ahorro que es la manera más tradicional (“guardarlo debajo del colchón”). Gracias a una inversión de un capital a una tasa de interés mayor a la tasa de inflación, el dinero no perderá valor a través del tiempo.

Durante esta última clase de la tercera unidad de “Matemáticas financieras”, concluiremos el tema de interés compuesto abordando cómo calcular el valor actual o capital inicial, así como la fecha focal y ecuaciones de valor, ésto cuando se maneja interés compuesto en lugar de interés simple.

¿Quieres saber cómo? Te invito a descubrirlo.

Desarrollo del tema

Cálculo del capital o valor actual a interés compuesto

Sabemos que, el valor actual dentro del interés compuesto es el valor de alguna inversión, deuda o documento como algún pagaré o de algún bien antes de su fecha de vencimiento, esto a una determinada tasa de interés.

Es muy común dentro del interés compuesto, querer conocer, por ejemplo, el valor al día de hoy por una deuda de $15,000 que vencerá en 2 años, o el valor de algún documento sobre $7,000 que vencerá en 1 año y 6 meses. El valor al día de hoy será el valor en el momento presente de los beneficios futuros, actualizados al costo de oportunidad o sustitución del capital.

Igual que en la tasa de interés o tiempo, despejaremos C de la fórmula principal que se usa en interés compuesto, es decir, la fórmula del monto:

Despejando C obtenemos:

Otra forma en la que se puede representar la ecuación anterior, usando la quinta ley de los exponentes de la figura 1 sería la siguiente:

Figura 1. Propiedades de los exponentes. Autor: Sergio Esteves Rebollo, 2015.

Si quisiéramos utilizar la formula del monto donde las capitalizaciones son menores a un año a donde n se calcula en la formula:

La formula del valor actual a interés compuesto en función de m y t seria:

Ejercicio 1. ¿Cuál será el valor actual de un documento cuyo monto a pagar es de $9,800 al final de 2 años? Considerando una tasa de interés del 18% anual capitalizable trimestralmente.
Solución.

Como las capitalizaciones son menores a un año, se puede utilizar cualquier fórmula, pero es más sencillo utilizar la que está en función de m y t, ya que se podría decir que evitamos calcular el valor de n previamente.

Recordemos que hay cuatro capitalizaciones al año, ya que hay cuatro trimestres en un año, por lo que m=4.

Podemos concluir que, el capital inicial o el valor prestado originalmente fue $6,891.21, y el deudor por el préstamo de este capital está pagando $2,908.79 de interés.

Fecha focal: valor nominal y valor actual.

Es importante definir, cuando se habla del valor actual, este puede calcularse entre la fecha de suscripción y la fecha de vencimiento, por lo que, al valor actual original o el valor actual de la fecha de suscripción del documento de pagaré o de una inversión, lo llamaremos valor nominal. Por lo tanto, el valor actual calculado en el ejercicio número 1 es el valor nominal.

Ejercicio 2.

¿Cuál será el valor actual C2 (al día de hoy, 5 meses antes de su fecha de vencimiento) de una deuda cuyo valor nominal (C1 ) es de $36,500 a 18 meses de plazo con el 21% de interés anual, capitalizable bimestralmente? Nos interesa conocer el valor actual ya que se desea liquidar la deuda por anticipado, pero si se realiza así, para el cálculo del valor actual C2 se debe considerar una tasa del 30% de interés anual, capitalizable bimestralmente.

Solución.

Recordemos que, la fecha focal es la fecha acordada entre el acreedor y deudor, en este caso cuando se desea liquidar la deuda, por lo tanto, será 5 meses antes de la fecha de vencimiento.
Para la solución del problema, utilizaremos la herramienta “gráfica de tiempos y valores”.

Para conocer C2 primero debemos conocer M, que sería el Monto a pagar por la deuda si la parte deudora no quisiera anticipar el pago, usando:

Obtenemos

Para el cálculo de C2, se debe considerar una tasa del 30% de interés anual, capitalizable semestralmente, recordemos que, el cambio de tasa por un pago anticipado se realiza como manera de penalización de parte del acreedor al deudor, para no perder el pago de intereses que se generarían si el dinero se hubiera utilizado por el tiempo establecido originalmente.

Usando:

Obtenemos

Si la parte deudora quisiera liquidar su deuda 5 meses antes, tendría que pagar un total de $43,430.26.

Fecha focal: Ecuaciones de valor en interés compuesto.

Recordemos que en interés simple utilizamos las ecuaciones de valor en conjunto con fecha focal cuando se requería reemplazar un conjunto de obligaciones por una sola deuda a la fecha focal elegida. Esta situación, también se presenta cuando se utiliza interés compuesto.

La ecuación de valor se obtiene, cuando se relacionan valores y múltiples fechas con la fecha focal, y nos permite igualar el conjunto de obligaciones iniciales con las nuevas, es decir, unir en un solo documento deudas vencidas y por vencer.

Es importante mencionar, que en ecuaciones de valor las deudas ya vencidas se calculan como monto, y las que están por vencer se calculan como valor actual. De manera gráfica se puede representar así:

Llamaremos x al valor del nuevo pagaré que sustituirá las múltiples obligaciones. Sean M1, M2, M3 y M4 las obligaciones que vencen en los periodos 1, 2, 5 y 6 respectivamente, y se quieren reemplazar por un solo documento o valor a pagar en el periodo número 4. Con una tasa de interés (i) y una capitalización por periodo. Por lo tanto, x se define matemáticamente de la siguiente manera:

Notemos que para las deudas ya vencidas a la fecha focal las calcularemos como monto, y las no vencidas como valor actual o capital, por eso el cambio de signo en el exponente. No olvidar que n se define conforme a la diferencia de tiempo o capitalizaciones entre la fecha focal y la fecha de vencimiento de las obligaciones.

Ejercicio 3.

La empresa “Candy Rico” adquirió las siguientes obligaciones el 1ro de agosto de 2022:
M1 = $3,200 a 10 meses
M2 = $7,500 a 1.5 años
M3 = $910 a 4 meses

Todas sus obligaciones desea reemplazarlas por un solo pago el día de hoy (3 meses después del 1ro de agosto de 2022). ¿Cuál será el valor del pago único considerando una tasa de interés definida por el acreedor, del 20% anual capitalizable bimestralmente?

Solución.

Notemos que estas obligaciones la empresa desea liquidarlas antes, por lo que se calculará el valor actual para cada una de ellas.

La herramienta gráfica de tiempos y valores la puedes utilizar antes o después de resolver el problema, recordemos que esta nos ayuda a plasmar de manera visual todos los datos del problema. En esta ocasión, la plasmaremos al final de la resolución del problema con los datos completos y sin incógnitas.

Usando para C:

Conclusión

El cálculo del valor actual dentro del mundo financiero siempre ha sido un punto importante de estudio, desde temas de inflación para saber cuál era el valor del dinero comparando diferentes fechas, hasta su uso dentro del interés simple y compuesto. Durante esta tercera unidad, se abordaron situaciones muy comunes donde se utiliza el interés, y en estas últimas clases estuvimos trabajando con interés compuesto. Como podrás notar, si en algún momento decides realizar alguna inversión de capital, el interés compuesto es el más utilizado debido a dos factores:

  • El interés compuesto se capitaliza de forma periódica y genera más intereses en menor tiempo en comparación con el interés simple
  • La inflación afecta bastante en el valor del dinero a través del tiempo, por lo que invertir un capital a interés compuesto es una muy buena opción, siempre teniendo en cuenta que la tasa de interés sea mayor a la tasa de inflación.

En conclusión, es más común el uso de interés compuesto, debido a que es más real por las variables mencionadas anteriormente como la inflación, el riesgo, la demanda y oferta del dinero y por lo tanto, genera más intereses en comparación con el interés simple, cuidando que para poder decir que existe una ganancia, los ingresos por intereses deben ser mayores  a las variables mencionadas.

Los ejercicios y situaciones revisados durante esta clase fueron para conocer cómo se calcula el valor actual dentro del interés compuesto, y pudimos notar que, el despeje para el valor actual o capital de la formula principal del monto, fue muy sencillo en comparación con los otros factores vistos anteriormente, como el tiempo o la tasa de interés.

También se aprendieron varias formas de expresar el valor actual y se puede utilizar la que más se adapte o facilite al procedimiento. La que más se utilizó durante el desarrollo fue la siguiente:

Otro tema retomado de clases anteriores fue la fecha focal, pero ahora utilizando el interés compuesto. El concepto es el mismo, solo que, para calcular montos y valores actuales, las fórmulas a utilizar deben ser acordes con el tipo de interés que se esté manejando.

Hemos llegado al final de la clase ¡Te felicito por tu logro! Para completar la sesión te pido que
realices la tarea asignada. Sigue avanzando en tu curso, falta poco para que logres
completarlo. Te espero en la siguiente clase, hasta luego.

Fuentes de información