Ajuste de curvas por mínimos cuadrados
Introducción
¡Hola!
Me da gusto poder saludarte de nuevo y que continúes en este camino que vas comenzando para desarrollar tus habilidades en la mecánica analítica en la que conocerás las técnicas para encontrar proyecciones por el método de mínimos cuadrados y su aplicación en la ingeniería.
En el ajuste de curvas por el método de mínimos cuadrados es muy importante comparar el valor de correlación entre los diferentes modelos, encontrando así el menor error en la aproximación de dicha curva.
Al concluir esta clase digital serás capaz de conocer y aplicar las diferentes técnicas para encontrar el ajuste de curvas más apropiado y determinar una proyección a partir de los datos obtenidos en las observaciones experimentales.
Determinar el ajuste más apropiado de una curva es de suma importancia para conocer la proyección a partir de ciertos datos, de este modo se podrá tener el comportamiento o tendencia a seguir en un modelo aplicable en la ingeniería.
Te invito a atender esta segunda clase con entusiasmo y visión profunda, ya que verás que te resultarán muy benéficos estos conocimientos.
Desarrollo del tema
El procedimiento más objetivo para ajustar una curva a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como el método de los mínimos cuadrados.
Las relaciones fundamentales son:
Para graficarlas se requiere conocer los valores de “m” y “b”.
El método de los mínimos cuadrados postula que la mejor recta que pasa por los puntos (pares ordenados x,y) es aquella cuya suma de los cuadrados de los residuos sea mínima o tienda a cero. Es decir:
Donde:
d = valor medido-valor promedio de las varias medidas.
n = número de observaciones o datos.
Error en las mediciones
Correlación
Ejemplos:
- Se encuentra la recta que se ajusta mejor a los siguientes datos:
| X | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3.0 |
| Y | 2.0 | 3.2 | 4.1 | 4.9 | 5.9 |
Solución:
Nota: Los valores en rojo se colocaron para contar con un mayor número de cifras significativas, ya que el error toma valores menores a la unidad (1), por tanto, si tomamos sólo una posición decimal, el error siempre será cero.
Correlación:
Los puntos azules representan la dispersión de los datos dados y la recta marrón es el ajuste de la ecuación; observando la correlación es un valor muy cercano a 1 (0.9976) lo que quiere decir que es una correlación casi perfecta y directa, tal como se aprecia en la gráfica. Casi todos los puntos de la dispersión están muy próximos a la recta.
2. Se determina la recta de mínimos cuadrados para el porcentaje de calificaciones por encima del 80 que ha reunido la profesora de Álgebra lineal. Además, se calcula el porcentaje esperado después del décimo semestre.
| Semestre | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Porcentaje | 0.20 | 0.25 | 0.20 | 0.35 | 0.45 | 0.40 |
Solución:
Por tanto, la ecuación general de estos datos es la recta y=0.05x+0.13
Para x=10 y=0.0510+0.13=0.63
Lo cual significa que más o menos 63% de calificaciones estarían por encima del 80 en el décimo semestre, si continúa esta tendencia de calificaciones.
Método de mínimos cuadrados
Este procedimiento consiste en calcular la proyección a partir de un ajuste de los datos obtenidos, a una recta o curva, de tal modo que los puntos pertenecientes a estas difieran lo menos posible de los datos observados.
Para determinar la población de proyecto, será necesario considerar el modelo matemático que mejor represente el comportamiento de los datos de los censos históricos de población (lineal, exponencial, logarítmica o potencial), obteniendo las constantes “a” y “b” que se conocen como coeficientes de la regresión.
Existe un parámetro que sirve para determinar qué tan acertada fue la elección de la curva o recta de ajuste a los datos de los censos. Este se denomina coeficiente de correlación “r”, su rango de variación es de -1 a +1 y conforme su valor absoluto se acerque más a 1 el ajuste del modelo a los datos será mejor.
Ajuste lineal
Ajuste exponencial
Ajuste logarítmico
Ajuste potencial
Observando los valores de la correlación, el ajuste que más se apega a la curva por el método de mínimos cuadrados es -0.713912958, por lo que se toma la población del ajuste lineal de 623 habitantes.
Conclusión
Para recordar:
- Ajustar una curva a un conjunto de datos por el método de mínimos cuadrados.
- Proyección de un modelo a partir de un ajuste de datos obtenidos.
- Graficar las relaciones fundamentales en un ajuste de datos por mínimos cuadrados.
- Encontrando el menor error posible en un ajuste de curvas por el método de mínimos cuadrados podemos conocer el comportamiento de un modelo aplicable en ingeniería.
Hemos finalizado nuestra segunda sesión, ¡Muchas felicidades! Espero que hayas aprendido mucho durante esta sesión. Te invito a resolver las actividades asignadas para continuar con este trayecto. Te encuentro en tu tercera clase.
Fuentes de información
- Resnick, R., Halliday, D. & Walker, J. (2013). Física. Patria.
- Marion, J. B. (2003). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Reverté.
- Young, H. D. y Freedman, R. A. (2009). Sears, Zemansky: Física Universitaria. Pearson Educación.
- Serway, R. A. (2006). Física para Ciencias e Ingeniería. Thomson
- Alonso. (2000). Física. Addison-Wesley.