Ecuaciones diferenciales de primer orden
Introducción
¡Hola!
Es un gusto encontrarte nuevamente, espero que estés aprendiendo mucho, sobre todo, que tu ánimo no decaiga y sigas conociendo más acerca de los temas que se te presentan. Te invito a continuar en la segunda clase denominada Ecuaciones CUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN del curso de Ecuaciones Diferenciales.
En ella, resolveremos ecuaciones diferenciales de primer orden utilizando diferentes métodos:
- Separación de variables
- La ecuación homogénea
- Ecuaciones exactas
- El factor integrante
- Ecuaciones lineales de primer orden y ecuaciones de Bernoulli
El método dependerá del tipo de ecuación que se esté analizando. Es importante mencionar que para resolver ecuaciones diferenciales se tendrá que integrar, y quizá se requiera de alguna técnica especial de integración, por lo cual, es importante y recomendable que repases el curso de Cálculo Integral, ya que en este curso aplicaremos las herramientas de integración ahí descritas.
Estas operaciones, simples en apariencia, nos servirán para entender las relaciones más complejas de este curso, de ahí su importancia. No olvides que el objetivo es que logres aprender lo mejor posible.
¡Te deseo muchísimo éxito!
Desarrollo del tema
Método de separación de variables
Para resolver una ecuación diferencial utilizando el método de separación de variables, primero hay que visualizar si sus términos se pueden separar de manera que, de cada lado de la igualdad quede una función de una variable con su diferencial. Es decir, tenga la forma de la ecuación 10, donde podemos despejar para dejar de cada lado de la igualdad una función de una variable con su diferencial (ver ecuación 11).
Una vez que la ecuación diferencial tiene la forma de la ecuación 11, se puede aplicar la integral en cada lado de la igualdad como lo muestra la ecuación 12.
Lo cual dará como resultado la ecuación 13, donde H(y) y G(x) son antiderivadas.
A continuación se presenta un ejemplo donde se puede seguir a detalle este método.
Ejemplo: Resolver la ecuación 14
Solución
Primero poner la ecuación en forma de diferenciales como lo muestra la ecuación 15
Después despejar de manera que quede de un lado de la igualdad una de las variables con su diferencial, como lo muestra la ecuación 16.
El siguiente paso es integrar ambos lados de la ecuación como lo muestra la ecuación 16.
Finalmente se integra cada lado de la igualdad como lo muestra la ecuación 17 y utilizando álgebra y las leyes de los logaritmos queda como solución la ecuación 18
Para profundizar más en el tema puedes consultar el siguiente video:
La ecuación homogénea
Se dice que una función f es una función homogénea de grado n, si cumple con la propiedad de la ecuación 19
Esto es, si en la función al sustituir en las variables tx e ty se puede separar como lo muestra el lado derecho de la igualdad, entonces es homogénea.
Ejemplo: decir si la función 20 es homogénea
Ahora vamos a sustituir en la ecuación 20 donde esté x por tx y en donde esté y por ty, como lo dice la propiedad de la ecuación 19 y queda la ecuación 21.
Factorizando t3 en los dos términos queda la ecuación 22, con la cual se comprueba que la función f (x, y) es homogenea de grado 3.
Una ecuación diferencial de primer orden como lo muestra la ecuación 23 es homogénea si Mx (x, y) y N (x, y), son funciones homogéneas del mismo grado.
Para resolver una ecuación diferencial de primer orden por el método de la ecuación homogénea se deben de seguir los siguientes pasos:
- Tener la ecuación diferencial como lo muestra la ecuación 23
- Comprobar que es una ecuación homogénea
- Realizar un cambio de variable y =ux, o x = vy. Si se utiliza y = ux, entonces dy = udx + xdu y si se utiliza x = vy entonces dx = vdy + ydv.
- Resolver por el método de separación de variables
Ejemplo: Resolver la ecuación 24 utilizando el método de la ecuación homogénea
Solución
Siguiendo los pasos del método de la ecuación homogénea, la ecuación 24 ya está como lo muestra la ecuación 23. El siguiente paso es comprobar que sea homogénea, para esto hay que verificar que los términos (x – y) y x son funciones homogéneas con la propiedad de la ecuación 19. La comprobación del teorema se muestra en las ecuaciones 25 y 26 respectivamente donde las dos funciones son homogéneas de grado 1, por lo tanto la ecuación diferencial es homogénea.
El siguiente paso es realizar un cambio de variable según convenga por y = ux, o x = vy, en este caso conviene sustituir y = ux, entonces dy = udx + xdu, sustituyendo este cambio de variable en la ecuación 24, se obtiene la ecuación 27
Factorizando y realizando una multiplicación algebraica se obtiene la ecuación 28
Se factorizan los términos semejantes que contengan las diferenciales y se obtiene la ecuación 29
Se suman términos semejantes y se obtiene la ecuación 30
Se despeja dejando de un lado de la igualdad cada variable con su diferencial y se obtiene la ecuación 31
Finalmente se integra en cada lado de la igualdad quedando la ecuación 32
Despejando y acomodando términos obtenemos la respuesta en la ecuación 33
Para profundizar más en el tema puedes consultar el siguiente video:
Ecuaciones diferenciales exactas
Para resolver una ecuación diferencial utilizando el método de ecuaciones exactas hay que seguir ciertos pasos:
- La ecuación diferencial debe de tener la forma que muestra la ecuación 23.
- Deben cumplir el criterio que muestra la ecuación 33.
3. Se propone una de las soluciones ya sea la ecuación 34 o la ecuación 35.
4. Se integra, según corresponda, considerando constante la otra variable. Esto es, si se toma la ecuación 34 quedaría como lo muestra la ecuación 36.
5. El resultado de la integral se deriva parcialmente utilizando la otra solución e igualando la ecuación, en este caso utilizando la ecuación 35.
6. Se despeja y se encuentra la solución para g(y) o h(x) según corresponda.
7. Se sustituye g(y) en la solución original.
8. Se pone la solución igualada a una constante.
Para entender mejor este método se verá el siguiente ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial mostrada en la ecuación 37
Solución
Siguiendo los pasos, cumple con el paso 1 pues la ecuación tiene ya la forma de la ecuación 23.
El paso 2 es cumplir el criterio que marca la ecuación 33, aplicando las derivadas parciales se obtiene la ecuación 38 y 39 las cuales son igual a 4 y con esto se cumple el criterio señalado.
El tercer paso es proponer una solución, que en este caso será el de la ecuación 34, sustituyendo valores se obtiene la ecuación 40
El cuarto paso es integrar, con lo cual se obtiene la ecuación 41
Al integrar con respecto a x, se obtiene la ecuación 42
El quinto paso es derivar parcialmente la ecuación 42 utilizando la ecuación 35, con lo cual se obtiene la ecuación 43
Se tiene que igualar este resultado a Nx,y para que se cumpla la ecuación 35, con esto se obtiene la ecuación 44
El sexto paso es despejar y encontrar el valor de g(y), para esto primero despejamos g’(x) obteniendo la ecuación 45
Después se integra para obtener el valor de g(y) como lo muestra la ecuación 46
Finalmente seguimos con el paso 7 donde se sustituye el valor encontrado de g(y) en la ecuación 42, obteniendo la solución que se muestra en la ecuación 47
Para profundizar más en el tema puedes consultar el siguiente video:
Factor integrante
Ahora se verá el método de factor integrante para resolver una ecuación diferencial de primer orden. Para aplicar este método la ecuación diferencial debe ser lineal y de la forma de la ecuación 48.
Sin embargo, es necesario que el coeficiente de la derivada sea igual a uno, por esta razón se debe de dividir toda la igualdad entre a1x, quedando la ecuación 49
Una vez que la ecuación tiene la forma de la ecuación 50, se identifica el término P(x) y se elige el factor integrante que muestra la ecuación 51.
El siguiente paso, es resolver la ecuación del factor integrante (ecuación 51).
Después de obtener el factor integrante, este factor se multiplica por la ecuación 50 obteniendo la ecuación 52.
De la ecuación 52 se puede observar que el lado izquierdo de la igualdad es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente, y; esto es, se puede reescribir la ecuación como lo muestra la ecuación 53.
Finalmente para obtener una solución se integra ambos lados de la igualdad de la ecuación 53.
Para comprender mejor este método se llevará a cabo un ejemplo.
Ejemplo: Resolver la ecuación 54.
Para resolver la ecuación diferencial por el método de factor integrante, el primer paso es ver si es una ecuación lineal como lo indica la ecuación 48 y efectivamente es una ecuación lineal que tiene la forma de la ecuación 48.
El segundo paso es hacer el coeficiente de la derivada igual a uno por lo tanto, se divide toda la ecuación entre x quedando la ecuación 55.
——– 56 abajo
Una vez que se obtiene el factor integrante, se multiplica por la ecuación 55, obteniendo la ecuación 57.
El siguiente paso es poner la ecuación 57 como lo indica la ecuación 53 y realizando operaciones algebraicas se obtiene la ecuación 58.
Finalmente, se integran ambos lados de la igualdad de la ecuación 58, llegando así a la solución que se muestra en la ecuación 59.
Reacomodando la ecuación, despejando la variable independiente, queda la solución de la ecuación diferencial mostrada en la ecuación 60.
Para profundizar más en el tema puedes consultar el siguiente video:
Ecuaciones lineales de primer orden y ecuaciones de Bernoulli
Para resolver una ecuación diferencial utilizando el método de Bernoulli primeramente hay que recordar qué forma tiene una ecuación lineal, la cual se mostró anteriormente en la ecuación 48 y la forma simplificada mostrada en la ecuación 50.
Una ecuación de Bernoulli tiene la forma que se muestra en la ecuación 61, si comparamos la ecuación 61 y 50 se puede notar que el término f(x) esta multiplicado por un factor yn, además si n=0 o n=1 se convertiría en una ecuación lineal.
Ejemplo: Resolver la ecuación 63
Lo primero que hay que hacer es dejar la ecuación 63 como lo muestra la ecuación 54, en donde el coeficiente de la derivada tiene que ser igual a uno. Por lo tanto, dividimos ambos lados de la ecuación entre x, de esta manera se obtiene la ecuación 57.
La ecuación 56 muestra una ecuación de Bernoulli donde n=2. El siguiente paso es sustituir n en la ecuación 55, con lo que se obtiene la ecuación 58
Despejando el valor de y se tiene la ecuación 59
El siguiente paso es derivar la ecuación 59 para obtener la ecuación 60.
Finalmente, se sustituye la ecuación 59 y 60 en la ecuación 57, con lo cual se obtiene la ecuación 61
Para resolver se tiene que dejar el coeficiente de la derivado igual a 1, por lo cual,hay que dividir toda la ecuación entre -u-2, haciendo esto queda la ecuación 62
La ecuación 62 se convierte en una ecuación lineal que se puede resolver por el método del factor integrante, visto en el apartado anterior. Donde el factor integrante se muestra en la ecuación 63
Ahora se pone la ecuación 62 como lo indica la ecuación 53 ya con el factor integrante, con lo que se obtiene la ecuación 64
Ahora se integra cada lado de la igualdad quedando la ecuación 65
Sabemos de la ecuación 58 que u=y-1, así que la sustituimos en la ecuación 66 quedando la ecuación 67
Para profundizar en el tema de Ecuación de Bernoulli puedes consultar el siguiente video:
Para profundizar en los temas vistos y aplicar estrategias generales puedes consultar el siguiente video:
Conclusión
En resumen, a lo largo de esta clase conociste cinco diferentes métodos para resolver una ecuación diferencial de primer orden. Es conveniente que recuerdes los siguientes puntos que son importantes para el reconocimiento de cada método:
Es así como concluimos nuestra segunda clase. ¡Vas avanzando muy bien, te felicito! No olvides que para concluir la sesión debes hacer la tarea asignada y enviarla. Te encuentro en la siguiente clase, hasta luego.