Fundamentos matemáticos
Introducción
¡Hola!
Siento una gran emoción por compartir contigo esta segunda clase, espero contar con tu disposición y entrega por aprender algo nuevo e interesante.
¡Te deseo el mayor de los éxitos!
Desarrollo del tema
Conceptos de variable compleja
Una variable compleja s tiene dos componentes: una parte real σ y una parte imaginaria ω. En forma gráfica, la parte real de s está representada por el eje de los reales en la dirección horizontal mientras que la componente imaginaria se representa a lo largo del eje imaginario en la dirección vertical.
Funciones de variable compleja
Se dice que una función G(s) es una función de la variable compleja s, si para cada valor de s existe uno y sólo un valor correspondiente de G(s), es decir, G(s) es un mapeo G(s) : C → C. Debido a que s se define con parte real e imaginaria, la función G(s) también está representada por sus partes real e imaginaria esto es:
Función analítica
Definición: Una función G(s) de una variable compleja s se denomina función analítica en una región del plano s si la función y todas sus derivadas existen en dicha región. Por ejemplo sea la función:
Es analítica en cada punto del plano s, excepto en los puntos s = 0 y s = −1. En estos puntos G(s) está indeterminada.
Se puede definir el dominio D = s ∈ C siempre y cuando Re(s) 6= 0 y Re(s) 6= −1.
Ceros de una función
Definición: Si la función es analítica en s = si, se dice que tiene un cero de orden r en s = si si el límite:
tiene un valor finito diferente de cero. Por ejemplo, la función:
Para s1 = −2, desarrollando el límite (3) se tiene:
y al sustituir se obtiene:
Así G(s) tiene un cero sencillo en s = −2.
Singularidades y polos de una función
Las singularidades de una función son los puntos en el plano s en donde la función y sus derivadas no existen. Un polo es el tipo más común de singularidad y juega un papel muy importante en la teoría de control.
Definición: Si una función G(s) es analítica y univaluada en la vecindad de si, se dice que tiene un polo de orden r en s = si si el límite:
tiene un valor finito diferente de cero. Por ejemplo sea la función:
Sea s1 = 0, desarrollando el límite (4) para el primer polo
y al sustituir se obtiene:
Sea s2 = −1, desarrollando el límite (4) para el segundo polo
y al sustituir se obtiene:
Sea s3 = −3, desarrollando el límite (4) para el tercer polo
y al sustituir se obtiene
Sea s4 = 10, desarrollando el límite (4) para el cuarto polo
y al sustituir se obtiene
Así, la función tiene un polo, de orden 2, en s = −3 y polos sencillos en s = 0 y s = −1. Otro ejemplo, sea la función:
Resolviendo la ecuación cuadrática
el primer polo se obtiene como:
El segundo término se obtiene como:
Ecuaciones diferenciales
Una gran variedad de sistemas en ingeniería se modelan matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, la red RLC de la figura 4 se puede representar por la ecuación diferencial:
Donde:
- i: Es la corriente de la red
- V: Es el voltaje aplicado
- R: Es la resistencia
- C: Es la capacitancia
- L: Es la inductancia
En este caso V(t) es la función de excitación, t es la variable independiente e i(t) es la variable dependiente. La ecuación anterior se puede transformar en una ecuación diferencial como:
donde q(t) representa la carga del circuito. Esta ecuación es una ecuación diferencial de segundo orden (pues está representada por derivadas de orden menor o igual a dos) y hacen referencia a un sistema de segundo orden.
En general, una gran variedad de sistemas en ingeniería son modelados matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales. La ecuación diferencial de un sistema de orden n se escribe:
Si los coeficientes a0, a1, a2, . . . , an−1 no son funciones de y(t) la ecuación (5) es conocida como Ecuación diferencial ordinaria lineal.
Conclusión
Para recordar:
- Una variable compleja s tiene una parte real y una parte imaginaria.
- Una función analítica G(s) es aquella que está bien definida y sus derivadas existen en un dominio bien definido.
- Los ceros de una función analítica son los valores de s que hacen que la función tome el valor cero.
- Los polos de una función analítica son los valores de s que hacen que la función se indetermine.
- Los sistemas dinámicos se modelan matemáticamente por ecuaciones diferenciales.
Hasta aquí concluimos nuestra sesión. ¡Te felicito por tu desempeño! Ahora toca el turno de realizar la tarea, te encuentro en tu próxima clase.