Transformada de Laplace
Introducción
¡Hola!
Es un placer contar en este día con tu presencia, espero que goces de buena salud y sobre todo, que tu ánimo siga ayudando a mejorar tu aprendizaje. Por lo tanto, te invito a tu tercera clase, espero que la encuentres fascinante.
¡Te deseo el mayor de los éxitos!
Desarrollo del tema
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace es una herramienta que es utilizada (entre otras cosas) para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. En comparación con el método clásico de resolución de ecuaciones diferenciales lineales, la transformada de Laplace tiene dos características atractivas:
- La solución de la ecuación homogénea y la solución particular se obtienen en una sola operación.
- La transformada de Laplace convierte la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en la variable s. La solución en s se obtiene al manipular una ecuación algebraica y finalmente, la solución en t se obtiene por medio de la transformada inversa de Laplace de la solución en s.
Definición. Dada una función, real f(t) que satisface la condición:
Para alguna función f(t) real finita, la transformada de Laplace de f(t) se define como:
La variable s se denomina operador de Laplace, una variable compleja tal que s = σ + jω. Ejemplo. Sea f(t) una función escalón unitario el cual se define como:
La transformada de Laplace de f(t) está dada por:
Sustituyendo en la integral:
Ejemplo. Considérese la ecuación exponencial
La transformada de Laplace de f(t) está dada por:
Ejemplo. Considérese la ecuación exponencial:
Puesto que
Así
Además,
Ejemplo. Considérese la ecuación exponencial
con transformada de Laplace
Usando la propiedad de linealidad del operador de Laplace (puesto que la integral es un operador lineal), se tiene:
De la misma forma:
Propiedad. Una de las más básicas y útiles propiedades del operador de Laplace L es la linealidad. Sea
Propiedad de homogeneidad
Propiedad de actividad
Aplicando ambas propiedades se obtiene la propiedad de superposición:
Teorema de la derivada. Suponga que f(t) es una función continua en [0,∞) y que f(t) es continua a trozos en [0,∞), entonces:
Considérese el cambio de variable:
Así, integrando por partes se tiene:
Definición. La convolución de dos funciones f(t) y g(t), definidas para t > 0, está dada por la integral:
La integral de convolución existe siempre que f(t) y g(t) sean funciones continuas a trozos.
Teorema de Convolución. Si f(t) y g(t) son funciones continuas a trozos en [0,∞), entonces:
La transformada de Laplace de la integral anterior está dada por:
Teorema general de la derivada y la integral. Si f(t), f'(t), …, f n−1(t) son continuos en [0,∞), de orden exponencial y además, f n(t) es continua a trozos en [0,∞), entonces:
Para la integración de n-ésimo orden:
La transformada de Laplace tiene dos prioridades que son útiles para determinar valores límite de una función f(t), cuando t = 0 o cuando t → ∞, aun si la función f(t) no se conoce explícitamente.
Teorema del valor inicial. Sea la función h(t) continua en el intervalo [0, ∞) y de orden exponencial, además, f'(t) es continua a trozos en el mismo intervalo, entonces:
Teorema del valor inicial. Sea la función f(t) continua en el intervalo [0,∞) y de orden exponencial, además, f'(t) es continua a trozos en el mismo intervalo. Supóngase también que el límite
existe, entonces:
Transformada Inversa de Laplace
Dada una función en el dominio de Laplace F(s), la operación para obtener f(t) se denomina como la transformada inversa de Laplace y se denota como:
La integral de la transformada inversa de Laplace se representa como:
donde c ∈ R y es mayor que las partes reales de todas las singularidades de F(s). En la mayoría de los problemas de control, la evaluación de la transformada inversa de Laplace no requiere el uso de la integral de inversión definida anteriormente. La operación de la transformada inversa de Laplace que involucra funciones racionales se puede realizar mediante el empleo de las transformadas de Laplace conocidas y la expansión en fracciones parciales.
Conclusión
La transformada de Laplace es una herramienta que es utilizada (entre otras cosas) para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. En comparación con el método clásico de resolución de ecuaciones diferenciales lineales, la transformada de Laplace tiene dos características atractivas:
- La solución de la ecuación homogénea y la solución particular se obtienen en una sola operación.
- La transformada de Laplace convierte la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en la variable s. La solución en s se obtiene al manipular una ecuación algebraica y finalmente, la solución en t se obtiene por medio de la transformada inversa de Laplace de la solución en s.
Hemos llegado al final de la sesión, ¡Muchas felicidades por tu logro! no olvides la tarea que es evidencia de tu aprendizaje. Te encuentro en la próxima sesión.