Clase digital 3. Regla de tres simple y compuesta

por
Portada » Clase digital 3. Regla de tres simple y compuesta
background, education, doodle


Regla de tres simple y compuesta

Introducción

¡Hola!

Es un gusto enorme saludarte en la continuación de tu formación personal y académica. Es importante destacar que, para el logro de tus competencias personales, es necesaria tu participación en el desarrollo de los temas de la presente clase.

La regla de tres es un método que para algunas personas es tan simple de realizar y comprender que lo aplican en la vida cotidiana, mientras que para otros no es tan sencillo de comprender. Retomando el tema de proporciones de la clase número 2, se puede notar que algunos ejercicios consisten en resolver y conocer algún cuarto valor conociendo otros tres. Anteriormente se estuvieron resolviendo estos ejercicios de proporcionalidad mediante el despeje de la incógnita con base al álgebra y la ecuación. Otra forma de resolver este tipo de ejercicios es la regla de tres, siendo más útil, ya que como aprendimos en los tipos de reparto proporcional, no siempre es directo, si no también inverso o mixto, por lo que en esta clase abordaremos los tipos de reglas de tres y su uso con los porcentajes.

Alguna vez te has preguntado, ¿Por qué se llama regla de tres? Esto se debe a que son planteamientos que son conformadas por tres valores conocidos y una variable desconocida que se obtendrá a partir de los tres valores dados anteriormente. Dicho planteamiento se resuelve mediante el cálculo del valor de una cantidad comparándola con otras tres o más cantidades conocidas. Existen 3 tipos de regla de tres:

  • Simple directa
  • Simple inversa
  • Compuesta

Estos tipos de reglas de tres, contienen variables que se usan con una relación como lo dice su nombre, directa o inversa.

La regla de tres tiene sus orígenes a través de los árabes y es una técnica muy antigua pero efectiva.
Al-Biruni, (973-1050) es uno de los científicos más notables de su época. Escribió un gran número de obras, sobre muchos campos de conocimiento: matemáticas, astronomía, astrología, filosofía, cartografía y la India. Una de sus obras está dedicada a la regla de tres en la India. En esta obra señala que, en India se había generalizado este procedimiento tiempo atrás y que conocían la regla de tres simple: directa e inversa y también la regla de tres compuesta. No es posible saber con seguridad desde qué momento se manejó sistemáticamente la regla de tres en la India, solo que sus orígenes se remontan a este lugar.

En esta clase observarás, la gran utilidad de la regla de tres y su uso tan sencillo y flexible que apoya en el entendimiento de las matemáticas financieras y la toma de decisiones.

Te invito a proseguir en esta fascinante lección.

Desarrollo del tema

La regla de tres es un instrumento muy sencillo y útil en cualquier tipo de cálculo. Consiste en una sencilla operación que nos permite encontrar el cuarto término de una proporción, de la que sólo conocemos tres términos. Así, por ejemplo, nos permite saber cuánto cuestan 4 kilos de naranjas si el cartel del supermercado marca el precio de un kilo, o calcular el precio de 150 plumones si la caja de 10 unidades vale $50. Además, la regla de tres nos va a permitir operar al mismo tiempo con elementos tan distintos como horas, kilómetros, número de trabajadores o dinero invertido.

Como se mencionó anteriormente, existen varios tipos de regla de tres para diferentes situaciones, por lo que se abordará cada tipo, relacionando los porcentajes a este tipo de problemas, ya que es muy común querer conocer el porcentaje de alguna proporción en el mundo financiero, debido a que el ser humano dimensiona más rápido alguna cantidad o magnitud.

Regla de tres simple

Se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor x, se puede calcular el cuarto valor y

La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa. Será directa cuando a un mayor valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa cuando a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B.

Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:

Donde k es la constante de proporcionalidad. Para que esta proporcionalidad se cumpla, se tiene que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Se puede representar de la forma:

Se dice entonces que A es a B directamente proporcional, como C es a D, siendo D igual al producto de B por C dividido entre A.

Problema 1

Se necesitan 8 millones de pesos para adquirir 2 vehículos. ¿Cuántos millones necesito para adquirir 5 vehículos?

Solución

Es muy común encontrar porcentajes en problemas de regla de tres, por lo que para su mejor entendimiento y aterrizaje en el tema se presenta el siguiente ejemplo.

Problema 2

¿Cuánto es el 20% de $49,400?
Sabemos por intuición que en este caso nuestro 100% son los $49,400, por lo que la solución se presenta de la siguiente manera:

Solución

Regla de tres simple inversa

En la regla de tres, simple inversa, la relación entre los valores se cumple que: AB = CD = e, donde e es un producto constante. Para que esta constante se conserve, un aumento de A necesitará una disminución de B, para que su producto permanezca constante. Esta relación puede representarse de la forma:

y se dice que A es a B inversamente proporcional, como C es a D, siendo D igual al producto de A por B dividido por C.

Problema 3

Si 8 trabajadores construyen una barda en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar la misma barda?

Solución

8 trabajadores * 15 horas = 5 trabajadores por D horas = 120 horas de trabajo
El total de horas de trabajo necesarias para levantar la barda son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas y así sucesivamente. En todos los casos el número total de horas permanece constante.

Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y debemos aplicar una regla de tres simple inversa, en efecto:

Regla de tres compuesta

En ocasiones el problema planteado involucra más de tres cantidades conocidas, además de la desconocida. Pero ¿cuándo sabemos que se necesita utilizar la regla de 3 compuesta en algún problema?

La respuesta a la pregunta anterior es sencilla. La regla de tres se utiliza cuando el problema presenta más de tres datos conocidos y una incógnita, además de que aparecen 2 relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo; es decir, una relación inversa y otra directa. Para comprender y definir mejor la regla de tres compuesta, se presenta el siguiente problema.

Problema 4

Si 20 chefs cocinan para un evento de 100 personas en 13 horas, ¿Cuántos chefs se van a necesitar para una comida de 70 personas en 19 horas?

Solución

Notemos que, en el problema aparecen 2 relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo, una directa y otra inversa. Si 20 chefs cocinan para un evento de 100 personas, para una comida de 70 personas se van a ocupar menos chefs, presentándose aquí una proporcionalidad directa. Por otro lado, si se dispone de 13 horas para que cocinen 20 chefs, es claro que teniendo 19 horas se ocuparan también menos chefs, es decir, al aumentar el número de horas van a disminuir el número de chefs ya que hay más tiempo disponible, tratándose de una proporcionalidad inversa.

Trasladando lo anterior a proporciones, el problema quedaría de la siguiente manera:

Comida para 100 personas son a 13 horas y 20 chefs como comida para 70 personas son a 19 horas y X chefs.

Dejando claro el camino para la solución de este problema, se debe plantear por separado las reglas de tres para unir ambas operaciones en una sola. A continuación, se presenta el procedimiento.

Comenzando por la proporcionalidad directa y utilizando los conocimientos adquiridos de la regla de tres simple directa tenemos lo siguiente:

Planteando la regla de tres inversa, tenemos que:

Notemos que, si resolvemos el problema por separado, es decir, haciendo primero la regla de tres directa y después la inversa obtendremos una discrepancia en los valores de X, por esto se llama regla de tres compuesta, ya que estará compuesta” de la directa e inversa. Como se mencionó anteriormente, las dos operaciones de reglas de tres se unen para obtener el valor correcto de X. Un punto importante a notar es que en las 2 definiciones de X tenemos términos semejantes, en este caso C, por lo que solo se debe incluir 1 vez en la definición compuesta de X.

Por lo tanto:

Se redondea a 10 chefs, ya que es mejor que sobre un poco de tiempo o comida, a no entregar completa la comida o falte de esta.

Conclusión

El tema de regla de tres y porcentajes, aparentemente es muy sencilla su aplicación, aunque por experiencia se observa que algunas personas no comprenden su determinación, siendo una gran diferencia interpretar una cantidad a interpretar un porcentaje producto de una regla de tres. Cuando se desea interpretar una cantidad, producto de una diferencia, es más visual y sencilla la interpretación con porcentajes y hasta la comparación entre varios conceptos por medio de porcentajes, coadyuva a la toma certera de decisiones.

Cuando se aprende a interpretar los porcentajes obtenidos por medio de la regla de tres, es porque se ha llegado al aprendizaje cognitivo y es más sencillo interpretar resultados.

La regla de tres se aplica en nuestras vidas cotidianas y en varias disciplinas como la física, química, en áreas de negocios, entre otras.

No hay que olvidar que, la regla de tres permite conocer una serie de incógnitas, y en el mundo de las matemáticas financieras resulta muy útil y fundamental, como en el caso de porcentajes donde nos permite determinar diferentes elementos de un número o porcentaje dependiendo de los valores conocidos y el valor que se necesita determinar. Uno de los más sencillos, por ejemplo, es determinar el porcentaje de un valor determinado. Por lo que, si hay que determinar el 20% de 2000, algo muy fácil, que hasta mentalmente lo podemos hacer, pero también se puede hacer utilizando la regla de tres.

Aunque un problema de regla de tres se puede solucionar de diferentes maneras como despejando la incógnita utilizando el álgebra, conocer los diferentes tipos de reglas de tres por ejemplo en materia de proporciones será de gran ayuda, especialmente cuando el problema sea de forma inversa o mixta.

Llegamos al final de la tercera clase. ¡Felicidades, estás avanzando muy bien! Espero que el tema te haya gustado y despierte tu interés para seguir investigando sobre ello. Recuerda elaborar y mandar la consigna asignada a esta clase, te espero en la cuarta sesión donde aprenderás un tema relevante para tu formación académica.

Fuentes de información