Análisis diferencial e integral
Introducción
Bienvenidos nuevamente al curso de Mecánica de Fluidos. En esta cuarta clase nos adentraremos en el análisis de los fluidos desde el punto de vista matemático, partiendo del principio fundamental definido por el Teorema de transporte de Reynolds a fin de determinar las ecuaciones de conservación de masa y momento tanto en forma diferencial como en forma integral, esto con el fin de que:
- Puedas calcular la fuerza que soporta un alabe cuando está sujeto a una línea de viento.
- Puedas definir cómo se moverá el fluido una vez que éste ha pasado alrededor del álabe. Sin más que decir, empecemos.
Desarrollo del tema
Hasta este momento hemos estudiado los fluidos como un todo que se comporta de la misma forma a través de todo el sistema de estudio, esto es, tiene una misma velocidad y propiedades observables en las fronteras del sistema; sin embargo, esto no ocurre en la realidad. El principal detonante para que esto no ocurra es derivado de los cambios intrínsecos de velocidad (además de la presión, temperatura, densidad, viscosidad, etc) del mismo fluido en su movimiento. Esta velocidad es la variable más importante de la mecánica de fluidos. El concepto de velocidad refiere a un campo de velocidades:
Así, existen dos formas de analizar este movimiento:
- Observando los detalles punto por punto de la trayectoria del fluido a partir de analizar una región infinitesimal del mismo.
- Estimando los efectos “brutos” sobre una sección finita el sistema (volumen de control).
Se puede distinguir que, en el primer escenario, un análisis de forma diferencial (región infinitesimal) es adecuado para lograr los resultados esperados y, para el segundo escenario, un análisis de forma integral (volúmenes finitos) permite lograr los objetivos esperados.
Centrémonos en el primer escenario considerando que una línea de fluido la “cortamos” en varias secciones finitas. A partir de esta sección y considerando que un fluido se acelera (o desacelera) de forma constante debido a su deformación propia, podemos aplicar la Segunda Ley de Newton al campo de velocidades expresado anteriormente, esto es:
Con lo cual, realizando las derivaciones correspondientes se obtiene que la aceleración loca está determinada como:
En esta ecuación puedes notar que el término.
Es un término transitorio que solamente está presente si el fluido no está en condiciones estables. Por otra parte, los tres términos restantes dentro del paréntesis hacen referencia a la “aceleración por convección” del fluido.
Ahora bien, si aplicamos el concepto de derivada total en el tiempo a la variable presión, se tiene que:
En base a estos principios es posible definir la ecuación diferencial de conservación de masa en función del movimiento de una partícula, dado como:
Así como las ecuaciones de Navier-Stokes, que se desarrollan de la siguiente forma:
Como puedes notar, estas tres ecuaciones son dependientes de la P, u, v y w, por lo cual se requiere hacer uso de la ecuación de conservación de masa (ecuación previa) a fin de tener un sistema de ecuaciones factible para su resolución.
En este momento seguramente piensas que se trata de un asunto complejo, déjame ayudarte a entender su simpleza con un ejemplo. Si consideramos un manómetro, constituido por una columna de un fluido estático incompresible no-viscoso unidimensional sobre el eje y, y teniendo en cuenta que los efectos gravitatorios están en dirección contraria a este eje, se tiene que:
Por ende, si se resuelve el sistema de ecuaciones y se realizan las integraciones requeridas, este fenómeno estaría dado dentro de los estados 1 y 2 como:
Esta resolución es la misma propuesta en los capítulos anteriores de este curso y que se basaban en el Principio de Bernoulli. Te invito a revisar los siguientes videos para aclarar aún mejor estos conceptos:
Ahora, te invito a revisar el capítulo 4 del Fluid Mechanics, F.M. White, páginas 215 a la 263 (Clase 4.1.pdf) para una mejor comprensión de todos estos principios.
Continuemos la clase enfocándonos ahora en el análisis integral, mismo que se centra en el cálculo total del fenómeno. Es esencial definir un volumen de control adecuado que considere todos los agentes que afectan al sistema. Pero ¿qué volumen de control es adecuado? Consideremos el teorema de transporte de Reynolds, el cual se enfoca en convertir el análisis matemático a fin de aplicarlo en una región específica en lugar de usar masa individuales, esto es, integrar todos esos pequeños fenómenos dependientes de las masas dentro de un solo volumen, el cual puede estar fijo o móvil, o se puede deformar. Así, este teorema se puede expresar matemáticamente como:
B es la variable de interés (velocidad, presión, energía, etc.), la cual, al momento de ser derivada por la masa del sistema, β=dB/dm, permite determinar la forma intensiva de la variable de interés. Finalmente, hace referencia a la frontera por la cual la variable de interés está “pasando” (Análisis Euleriano) en función de un tiempo determinado.
Te pido por favor que revises el siguiente video para una mejor comprensión de este teorema:
Así, considerando los tres tipos de volúmenes de control indicados previamente, este teorema se define como:
1. Volumen de Control Fijo:
2. Volumen de Control Móvil:
Dónde: Vr = V(r,t) fluido – V (t) sist
Cabe mencionar que si el movimiento es constante, Vr = Vfluido – Vsist
3. Volumen de Control Deformable:
Dónde la primera integral depende de el comportamiento de deformación que sufra el volumen de control
A partir de estos teoremas y aplicándolos para el caso específico de la variación de masa dentro de un volumen de control (y sus superficies de control) se puede definir la conservación de masa que el sistema presenta, la cual está dada como:
Y de igual forma, aplicando el Teorema de Transporte de Reynolds aunado a las Leyes de Newton, es posible determinar el momento lineal que el fluido genera debido a su relación velocidad-masa. Este momento lineal está dado como:
Si se trabaja en segundo término del lado derecho de la ecuación (el resultado del producto punto) se obtiene:
Como puedes notar, determinar la fuerza generada por una corriente de flujo dentro de un sistema tiene que ver con los flujos que entren y salgan de éste, así como por las variaciones internas que tenga. Así, la fuerza que generará un chorro de agua que sale de un tinaco sobre la superficie próxima a éste puede ser calculada a partir de estos parámetros.
Revisa el siguiente video para complementar la información sobre el tema:
También, te pido que revises el material expresado en el Capítulo 3 de Fluid Mechanics, F.M. White, páginas 129 a la 183 (Clase 4.2.pdf) para una mejor comprensión de todos estos principios.
En este momento del curso, ya hemos revisado las ecuaciones gobernantes tanto de la estática como la cinemática de fluidos, considerando ahora fluidos reales no compresibles, los cuales son analizados a partir del teorema y ecuaciones expresadas en esta clase, esto es:
Conclusión
Las ecuaciones gobernantes aplicables al estudio de la mecánica de fluidos parten del principio de la delimitación del objeto de estudio: puede ser todo el sistema o la trayectoria punto a punto. El Teorema de Transporte de Reynolds es esencial para poder lograr la aplicación de las ecuaciones gobernantes a los diferentes volúmenes de control (forma integral) o los elementos diferenciales (forma diferencial). Ambas formas permiten definir la ecuación de conservación de masa, sin embargo, la forma diferencial permite generar las ecuaciones de Navier-Stokes (trayectoria punto a punto) y la forma integral la ecuación de Momentum Lineal (toda la materia como uno solo). Te invito a realizar las lecturas propuestas así como a realizar las consignas que se te indican.