Análisis dimensional y semejanza dinámica
Introducción
Bienvenidos nuevamente al curso de Mecánica de Fluidos. En esta quinta sesión nos enfocaremos en un par de conceptos ampliamente usados en la mecánica de fluidos: el análisis dimensional y la similaridad, los cuales permiten generar una comprensión más fácil de los fenómenos estudiados en esta área y sus resultados. Esta sesión proporciona maneras más fáciles de interpretar la relación que existe entre las fuerzas viscosas y las fuerzas inerciales de un fluido a partir de un número adimensional, en lugar de hacer uso de una gran cantidad de datos expresados en tablas. Sin más que decir, empecemos.
Desarrollo del tema
En las sesiones anteriores hemos estudiado la mecánica de fluidos de forma analítica y, como te has dado cuenta, es altamente dependiente de la forma (o posición) del sistema que se esté estudiando. Si la forma sobre la que está actuando el sistema es simple, la resolución analítica de las ecuaciones gobernantes también lo será; sin embargo, si la forma es compleja (como la superficie curva del parabrisas de un carro), la solución analítica compartirá este carácter (sin tomar en cuenta la gran cantidad de consideraciones que se requieren para generar un resultado específico). Por ello, el uso de análisis experimentales es altamente requerido. De hecho, en términos globales, se estima que dos terceras partes de los posibles problemas en esta área requieren ser resueltos a partir de estas técnica; no obstante, un fenómeno de la mecánica de fluidos puede ser dependiente al menos de 9 variables (x, y, z, t, P, T, 𝜌, 𝜇,k,Cp o Cv), lo cual lleva a requerir en un análisis experimental al menos 1×109 posibles casos (suponiendo que solamente se pruebe una única vez cada caso, lo cual no permitiría realizar un análisis estadístico apropiado de los resultados generados). Esto conlleva a un gasto de recursos importante.
En base a esta observación se han generado metodología enfocadas en generar parámetros adimensionales que permitan disminuir el número de variables a ser consideradas dentro del análisis experimental, esto es, de tener n variables independientes, pasar a k variables adimensionales independientes. Las metodologías se centran en el uso de las dimensiones fundamentales que presentan cada variable, las cuales son: Masa (M), Longitud (L), Tiempo (t), y Temperatura (T); esto es, las relaciones MLtT (o FLtT para el Sistema Inglés). Si notas, cualquier propiedad presenta al menos una de estas dimensiones fundamentales, por ejemplo, la presión (N/m2) se puede definir como:
Esto es, la presión es una relación entre la masa y el producto resultante de la longitud por el tiempo a la segunda potencia. Y así, al igual que la presión, todas las propiedades pueden ser reducidas a estas dimensiones fundamentales, dando paso al Principio de la homogeneidad dimensional, el cual indica que “si una ecuación expresa realmente una reacción adecuada entre variables en un proceso físico, esta ecuación es dimensionalmente homogénea”, esto es, cada término de la ecuación presentará las mismas dimensiones fundamentales.
Existen varios métodos para reducir el número de variables presentes en un fenómeno en grupos adimensionales. Actualmente, el Teorema Pi de Buckingham (1914) sigue siendo ampliamente usado para estos propósitos. Este teorema es una “receta de cocina”, la cual tiene los pasos que a continuación se definirán. Para ejemplificar este proceso, consideramos un ejemplo:
Determine la fuerza que genera un fluido que se mueve a una velocidad U (con densidad y viscosidad) sobre una placa de longitud L.
- Listar y contar el número de variables n involucradas en el problema. Si una variable importante no es considerada, el análisis dimensional fracasará. Para el ejemplo planteado, lo que se busca es F=f(L,U, 𝜌, 𝜇)
- Listar las dimensiones de cada una de las variables de acuerdo a la relación MLtT. Para el ejemplo planteado, se tiene que:
3. Determine el número de relaciones Pi presentes en el problema a partir de k = n – j, donde n es el número de variables consideradas en el problema (Paso 1) y j el número de dimensiones fundamentales presentes en todas las variables consideradas en el problema (Paso 2). Para el ejemplo planteado, n es igual a 5 debido a que se tienen 5 variables interactuando en el problema (F, L, U, 𝜌 y 𝜇); y j es igual a 3 ya que se tienen solamente tres dimensiones fundamentales presentes en el grupo de variables del problema (M, L, t). Así, k es igual a 2, por lo cual se esperan dos grupos adimensionales Pi.
4. Definir un grupo de variables independientes del problema que no están relacionadas entre sí y que sean igual al valor j obtenido en el paso anterior. Defina un exponente para cada una de estas variables, el cual se verá reflejado en el grupo de dimensiones fundamentales de cada una de las variables. Para el ejemplo planteado, las variables L, U y 𝜌 no tienen dependencia entre sí, por lo cual se consideran como las formadoras del grupo base al cual se le agregan las variables F y 𝜇 a fin de formar los dos números Pi requeridos.
5. Construir los grupos PI a partir de la unión del grupo de variables independientes obtenido en el paso anterior junto con una de las variables dependientes resultantes del Paso 4 e iguale a las dimensiones fundamentales elevadas a la potencia 0. Para el ejemplo planteado, los números Pi se tienen como:
6. Generar un sistema de ecuaciones con las potencias de cada una de las dimensiones fundamentales expresadas en cada uno de los grupos adimensionales y resuelva a fin de definir cada uno de los exponentes para cada uno de los grupos. Para el ejemplo planteado, la resolución de los exponentes arrojaría los siguientes números Pi:
7. Relaciones los grupos Pi obtenidos a fin de generar una expresión que muestre la dependencia entre estos. Así, el teorema garantiza que la relación equivalente fundamental tiene que ser equivalente a esta forma. Para el ejemplo planteado, se tiene la siguiente relación fundamental:
Te invito a revisar el siguiente video para una mejor explicación de los conceptos:
La segunda noción que revisaremos en esta clase es la de similaridad. Para ejemplificar este concepto, imagina un avión A380, el avión de pasajeros más grande del mundo. Esta unidad tiene 73 m de largo por 80 de envergadura (desde la punta de un ala hasta la otra), viéndolo de frente o de lado es el equivalente a ver toda una cuadra de casas de interés social (alrededor de 14 unidades habitacionales). Para que este avión vuele, tuvo que haber sido diseñado y, lo más importante, probado en tierra a fin de determinar si el aire fluye adecuadamente alrededor de éste, así como determinar la sustentabilidad y fricción que su fuselaje genera. Como mencionamos al inicio de esta clase, se trata de un análisis complejo debido a la forma del avión; por ende, un análisis experimental es apropiado.
Aquí es donde entra el concepto de similaridad, esto es, se puede probar un sistema de interés a escala dentro de un medio que se ajuste a las condiciones en las que operará en forma real, esto es, que sus condiciones sean similares. Siguiendo con el ejemplo del avión, se puede construir un modelo a escala 1:200, lo cual conlleva a que, de algo que mide 80 m de ancho se tenga a 40 cm, el cual puede ser fácilmente introducido en túneles de viento disponibles en el mundo. Pero, ¿a qué velocidad de viento requiere ser probado el objeto a fin de mantener la relación entre el prototipo y el real? Consideremos la relación entre números de Reynolds que se tienen en el sistema real y el escalada, esto es:
Si se considera que la densidad y la viscosidad del aire son las mismas entre la operación real del sistema y la prueba a escala, la expresión anterior se reduce a:
Y, por lo tanto, la velocidad a la que se el aire debe de fluir dentro del túnel de viento a fin de representar el comportamiento en el sistema escalonado similar a lo que se tendrá con el sistema real está dado como:
Revisa el siguiente video para ahondar en la noción de similaridad:
También te pido que revises el material expresado en el Capítulo 5 del Fluid Mechanics, F.M. White, páginas 277 a la 311 (Clase 5.pdf) para una mejor comprensión de todos estos principios.
Conclusión
En esta clase revisamos la importancia de los parámetros adimensionales y el por qué son ampliamente usados en las diferentes áreas de la ingeniería y, en específico, la mecánica de fluidos. Además, se presentó la metodología de Pi de Buckingham, usada para generar estos números adimensionales en función de las dimensiones fundamentales que toda propiedad tiene. La receta de 7 pasos seguida al pie de la letra genera buenos resultados. Finalmente se mostró la razón de usar conceptos de similaridad para el análisis de fenómenos.
Te pido por favor realizar la consigna asignada y nos vemos en la siguiente clase.