Operaciones algebraicas básicas: Suma, resta, multiplicación y división
Introducción
Te doy la más cordial bienvenida a esta clase en la que estaremos abordando las operaciones algebraicas básicas, desde la suma hasta la división polinómica y la división sintética.
Ya que conoces la notación y el uso del lenguaje simbólico, comenzaremos a trabajar con ellos para desarrollar ejercicios con los monomios y polinomios; hasta trabajar con algunos polinomios que tiene algunas características especiales.
Debido a que la manipulación de expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades que la manipulación de expresiones numéricas, ya que las letras se comportan como si fuesen números; lo primero que debe hacerse es simplificarlas utilizando las propiedades de las expresiones, que son equivalentes a las propiedades de los números.
A demás en esta sesión también revisaremos la división, tanto algebraica como sintética. La división es la operación inversa a la multiplicación, tiene por objeto hallar una expresión algebraica llamada cociente; que a similitud de la división aritmética es obtenida de otras dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor, de tal forma que el valor numérico del cociente sea igual al cociente de los valores numéricos del dividendo y divisor, para cualquier sistema de valores atribuidos a esas literales.
Sin otro particular, regresemos al trabajo.
Desarrollo del tema
Operaciones algebraicas
Las operaciones de suma, producto, resta y división son operaciones binarias para el sistema de los números reales y no distan mucho de las operaciones aritméticas. Empezaremos por revisar la operación de la suma y resta.
Suma
La suma es una operación que consiste en reunir dos o más términos algebraicos en uno solo. La única característica que deben de cumplir los términos es que sean semejantes, esto quiere decir que tengan las mismas literales y el mismo radical, por ejemplo:
Una vez que se identifican los términos semejantes su puede realizar la suma aritmética de los coeficientes y la parte literal se mantiene idéntica, sin cambiar las potencias o exponentes.
Procedimiento
Dada la suma de los polinomios: (𝒂 −𝒃)+ (𝟐𝒂 +𝟑𝒃 −𝒄)+ (−𝟒𝒂 +𝟓𝒃) se puede proceder de dos maneras:
Primera
1° Se colocan los términos de los sumandos, unos a continuación del anterior con sus propios signos, así:
a −b +2a +3b −c −4a +5b
2° Se ordenan por términos semejantes siempre unos a continuación de los otros:
3° Se procede a sumar los términos semejantes, lo que quedaría así:
−a +7b −c
Segunda
1° Se colocan el primer sumando y a continuación debajo el segundo sumando y luego el tercer sumando. Colocando siempre los términos semejantes uno abajo del otro. Los que no tienen semejantes quedarán solos.
Puedes revisar el siguiente video para complementar más ejemplos de suma algebraica.
Resta
En la resta algebraica, como en la resta aritmética, existen dos cantidades: un minuendo (cantidad a la que se resta, o se le quita) y un sustraendo (cantidad que se resta, o se quita). La regla fundamental en la resta de polinomios consiste en cambiar de signo a todos los términos del sustraendo: los positivos se hacen negativos, y los negativos, positivos.
Una vez que se cambian los signos al sustraendo, se aplican las mismas regalas que se aplican a la suma de polinomios.
Ejemplo:
De 3x + 2y − 5 restar −4x + y − 3
El polinomio que aparece después de la preposición “de”, es el minuendo; el que aparece después del verbo “restar”, es el sustraendo.
De 3x + 2y −5 restar −4x + y−3
3x + 2y −5 −(−4x + y−3)
3x + 2y −5 + 4x −y + 3
(3x + 4x) + (2y −y) + (−5 + 3)
7x + y−2
Puedes revisar el siguiente video para complementar más ejemplos de suma algebraica.
Practica con el siguiente test:
Multiplicación algebraica
En la multiplicación, se presentan tres casos: monomio por monomio, polinomio por monomio y polinomio por polinomio.
Leyes que se aplican a la multiplicación:
(+)(+) = +
(+)(-) = –
(-)(+) = –
(-)(-) = +
(monomio) * (monomio). Ambos factores son monomios. En este caso, basta con aplicar las leyes de las potencias ya mencionadas y obtener como resultado un monomio.
La multiplicación cuenta con dos monomios como factores, con variables de igual base en ambos, simplemente se multiplican los coeficientes, mientras que deberán sumarse los exponentes que puede verse en cada variable.
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Practica con el siguiente test:
(monomio) * (polinomio). La multiplicación de monomios por polinomios consiste en multiplicar el término del monomio por cada uno de los términos que contiene el polinomio.
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Practica con el siguiente test:
(polinomio) * (polinomio). Ambos factores con polinomios, Se lleva a cabo de la siguiente manera: Cada termino de un polinomio de multiplica por todos y cada uno de los términos del otro polinomio. Al final, se reducen términos semejantes. Este procedimiento puede realizarse de manera horizontal (arcoíris) o vertical. Si se quiere realizar de manera vertical:
- Organizar en orden descendente ambos polinomios.
- Expresar la multiplicación de cada término del polinomio 1 por el polinomio 2, tomando en cuenta en todo momento la Ley de signos.
- Multiplicar los coeficientes de cada término, y sumar los exponentes a los que se encuentren elevados sus literales de base igual.
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
División algebraica
En la División, se presentan tres casos: división de monomio por monomio, división de polinomio por monomio y división de polinomio por polinomio.
Leyes que se aplican a la división:
(+)/(+) = +
(+)/(-) = –
(-)/(+) = –
(-)/(-) = +
(monomio) ÷ (monomio). Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor. La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base, es decir, restando los exponentes.
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
(polinomio) ÷ (monomio). El dividendo es un polinomio, y el divisor, un monomio. Cada término del polinomio se divide entre el monomio; es decir, el proceso de división de monomio entre monomio se repite tantas veces como términos tenga el polinomio. Pol
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Otra forma de poder realizar la multiplicación de un polinomio por un polinomio es mediante el uso de rectángulos, obteniendo en realidad el cálculo de sus áreas.
Eso lo podemos identificar con claridad en el siguiente video:
Practiquemos esta técnica en el siguiente test:
(polinomio) ÷ (polinomio). El dividendo es un polinomio, y el divisor, un polinomio. Para esta división se recomienda el siguiente procedimiento:
- Ordenar ambos polinomios, de manera descendiente.
- Si el dividendo es un polinomio incompleto, es decir, algún termino intermedio no esta presente, se recomienda llenar el espacio donde debería ir dicho termino, con un cero.
- Dividir el primer termino del dividendo, entre el primer término del divisor.
- El termino obtenido, se multiplica por el divisor y el resultado se resta al dividendo. Si al realizar la resta, el residuo es cero o tiene grado menor que el divisor, aquí se termina la división, de lo contrario continua y se regresa al paso 3.
Por lo que el resultado de:
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
División sintética
La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio cuando se tiene un divisor de la forma (x – c), logrando una manera más compacta y sencilla de realizar la división.
Al igual que en el procedimiento anterior de la división de polinomio por polinomio, en la división sintética también se requiere acomodar los términos en orden descuente y completar el dividendo para poder comenzar a resolver.
Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados 2x4, -2x3, -4x2, x pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos 0x2, 9x, 10. Al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda: d
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:
Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:
Esta última forma se llama división sintética, pero ¿cómo hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la división sintética:
- Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta.
- Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón.
- Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.
- Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer número del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).
- Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.
- Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.
Ahora resolvamos un ejemplo:
Se identifican los coeficientes del dividendo, el último término, el independiente se se separa por una línea, pues el resultado de esté será el residuo.
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Conclusión
En esta sesión revisamos las cuatro operaciones básicas con términos algebraicos.
Los términos semejantes se presentan cuando dos o más términos algebraicos tienen la misma literal y el mismo exponente.
En las operaciones básicas de suma y resta algebraica, cuando los términos desconocidos, no son semejantes, solamente se deja indicada la operación.
Se debe aplicar la ley de signos para la suma, que dice que se suman cuando los signos son iguales y permanecerá el signo y se restan cuando los signos son distintos y permanecerá el signo del mayor.
En la suma y resta de polinomios de términos semejantes, se operan solamente los coeficientes y las variables se copian al resultado con su respectivo exponente.
En la multiplicación de un número por un polinomio da como resultado otro polinomio, el cual tiene el mismo grado del polinomio que se multiplico y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
Se presenta en tres formas, sin embargo, siempre resultara de la primera forma, monomio por monomio. La multiplicación de dos polinomios se calcula multiplicando todos los monomios de uno de los polinomios (incluidos los signos) por todos los monomios del otro polinomio. En toda multiplicación debemos recordar, que además de multiplicar los coeficientes, también se deben multiplicar los signos.
Para estudiar la multiplicación de polinomios, es necesario, aprender antes el procedimiento a seguir para efectuar multiplicaciones de monomios, ya que los polinomios, binomios, trinomios o cualquier tipo de polinomios, están compuestos por varios monomios; y realizar una multiplicación de polinomios, es lo mismo que multiplicar varios monomios.
La división de polinomios, se refiere a un conjunto de operaciones, que nos permitirá dividir un polinomio (monomio, binomio, trinomio) por otro polinomio ( monomio, binomio, trinomio) que no sea nulo.
Esta división, es conocida como la división más larga, por tener letras y números, pero el procedimiento a seguir es el mismo de cualquier división de números. En toda división debemos recordar, que además de dividir los coeficientes, también se deben dividir los signos.
Para estudiar la división de polinomios, es indispensable, aprender antes acerca de la división de monomios y como dividir un polinomio entre un monomio, ya que los polinomios, binomios, trinomios o cualquier tipo de polinomios, están compuestos por varios monomios; y efectuar una división de polinomios, es realizar la división de varios monomios.
Así también, se reviso otra forma de realizar la división algebraica, la división sintética, la cual es una herramienta de gran utilidad ya que, además de permitirnos dividir polinomios, también permite evaluar un polinomio.
¿Cómo te has sentido? Espero que, de maravilla, no decaigas. Para continuar con el término de la clase, te pido realices y mandes la tarea asignada.