Terminología y lenguaje algebraico y potenciación
Introducción
La primera sección de esta nuestra tercera sesión estará enfocada a la terminología y el lenguaje algebraico, las cuales son herramientas fundamentales en el estudio de las matemáticas, especialmente en álgebra. El lenguaje algebraico utiliza símbolos y letras para representar variables, coeficientes y operaciones matemáticas.
En álgebra, una expresión algebraica es una combinación de variables, números y operadores matemáticos, como suma, resta, multiplicación y división. Estas expresiones pueden simplificarse y manipularse utilizando las reglas del álgebra, lo que permite resolver ecuaciones y desigualdades.
Por otra parte, veremos en esta sesión el tema de potenciación, operación matemática que se utiliza para representar la multiplicación repetida de un número por sí mismo. La potencia se representa mediante el uso de un número elevado a otro número, donde el primer número se llama base y el segundo número se llama exponente.
En resumen, la terminología y el lenguaje algebraico son herramientas importantes para el estudio de las matemáticas, y la potenciación es una operación matemática clave que se representa mediante el uso de exponentes y bases.
Desarrollo del tema
Elementos de un término
Signo
Respecto al signo de un término, será negativo si aparece el signo menos (-) y positivo si aparece el signo (+) o no aparece nada antes del coeficiente o parte literal. Ejemplo:
Coeficiente o factor numéricos
Es un número concreto que multiplica a la parte literal, si no aparece dicho número se considera como uno, también puede estar identificada como una constante un valor numérico fijo, es decir, no pueden cambiar de valor. Ejemplo: El número π = 3.1416 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un círculo al diámetro.
Literales o variables
Son letras del abecedario que se pueden utilizar para representar aquellos valores que son conocidos o que pueden obtenerse directamente, es decir, los datos dados en un problema se representan por medio de literales. Cuando se combinan las primeras letras del abecedario con las ultimas, regularmente las primeras (a, b, c, d) se consideran como constantes es decir coeficientes, y las últimas (w, x, y, z) se consideran literales.
Grado
El grado de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales.
Término algebraico
Un término algebraico está compuesto por números concretos y letras, que también representan números, relacionados entre sí mediante las operaciones de multiplicación, división y potenciación y radicación.
Puedes revisar el siguiente video para complementar la clasificación de los términos algebraicos:
Lenguaje algebraico
En el lenguaje común, o verbal, se emplean palabras mientras que, en el lenguaje algebraico, se emplean letras y símbolos, que permiten reducir las proposiciones verbales en proposiciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender.
Ejemplo:
Puedes revisar el siguiente video para complementar más ejemplos de lenguaje algebraico:
Potenciación
La potenciación es la operación matemática mediante la cual multiplicamos un número por sí mismo las veces que nos indique el exponente. Por ejemplo, en la ecuación a3, donde a es un número cualquiera, equivale a la expresión:
a3 = (a) (a) (a)
Es decir que equivale a multiplicar por sí mismo nuestro número (a) tres veces, tal como lo indicó el exponente (3).
La regla del Producto (Bases iguales)
Para cualquier número “x” y cualesquiera enteros a y b, . “Bases iguales que se multiplican, las potencias se suman y la base permanece igual”.
La regla de la Potencia de un Exponente
Para cualquier número “x” y cualesquiera enteros a y b: (xa)b = x(a)(b). Si el término que está elevado a una potencia está siendo multiplicado por un coeficiente u otro término con la misma base (literal), primero se aplica la regla de la potencia y después se hace la multiplicación.
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
La regla del Cociente de Potencias
Para cualquier número “x” y cualesquiera enteros «a» y «b». “Bases iguales que se dividen, las potencias se restan y la base permanece igual”.
Ejemplo:
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
La regla de la Potencia Negativa
Para cualquier número “x” y cualesquiera enteros:
La potencia de un número cualquiera y que no sea 0, si está elevado a un número negativo (−a), se puede expresar como el recíproco del número elevado a la misma potencia, pero positiva “a”. “La base con potencia negativa, se cambia de lugar, si esta como numerador, se cambia como denominador con potencia positiva y viceversa”
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
La regla de Potencia de un producto
Para cualquier número “x” e “y”, y cualesquiera esteros a: (xy)a=xaya. La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados al exponente común.
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
La regla de Potencia de un cociente
Para cualquier número “x” e “y”, y cualesquiera esteros:
Un cociente (expresado como fracción) elevado a una potencia, es igual a elevar tanto el numerador como el denominador al mismo exponente.
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Casos especiales
Tenemos varios casos que pueden derivar de las leyes ya revisadas:
Para cualquier número “x”, elevado a la potencia “0” siempre será igual a 1.
División de potencias con igual base e igual exponente, siempre será igual a 1.
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Ahora podemos combinar las propiedades revisadas y simplificar diferentes factores, tanto numérico como literales y combinados.
Ejemplo 1. Calcular el valor de la expresión sin exponentes negativos:
Ejemplo 2. Calcular el valor de la expresión sin exponentes negativos:
Ejemplo 3. Calcular el valor de la expresión sin exponentes negativos:
Puedes consultar los siguientes videos para ver más ejemplos:
Conclusión
Uno de los objetivos fundamentales de la enseñanza del álgebra es que logres comunicar, en lenguaje algebraico relaciones, regularidades y procesos en forma general, y el uso del lenguaje simbólico. Esto te ayuda a ver cómo está relacionado el lenguaje algebraico a la aplicación de fórmulas y algoritmos.
Recuerda: El lenguaje algebraico es aquel con el que podemos traducir una operación matemática a literales (letras o símbolos), a las que se les llama variables porque pueden tomar cualquier valor. El lenguaje algebraico surge a partir de relacionar las magnitudes o variables. Las potencias son una manera abreviada de escribir una multiplicación formada por varios números iguales. Son muy útiles para simplificar multiplicaciones donde se repite el mismo número. Las potencias están formadas por la base y por el exponente. La base es el número que se está multiplicando varias veces y el exponente es el número de veces que se multiplica la base.
Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia.
En resumen, podemos identificarlas así:
¡El camino hacia el éxito comienza con un solo paso, qué bien que ya ha comenzado! Continúa con el siguiente paso terminando la clase, te invito a que realices y mandes la tarea asignada.