Derivación implícita y derivadas de orden superior
Introducción
¡Hola!
Es un placer encontrarte, espero que sigas gozando de una excelente salud y tengas buen ánimo por aprender cosas nuevas de este curso, por ello te invito a la sexta clase, espero sea de tu agrado.
Hasta ahora, se han analizado únicamente funciones que están de forma explícita, es decir, funciones en las cuales la variable “y” se presente como una función, definida por una expresión algebraica en términos de la variable “x”. Sin embargo, es oportuno indicar que existen funciones en las cuales la variable “y” no puede ser despejada sólo en términos de la variable “x”. Para este tipo de casos se requiere hacer uso de una técnica conocida como derivación implícita.
La derivación implícita es una técnica que se aplica a funciones definidas implícitamente, esto es a funciones definidas por una ecuación en que la variable “y” no está despejada. La ventaja de este método es que no requiere despejar la variable “y” para encontrar la derivada. Como hemos visto en los ejemplos revisados para conseguir la derivada implícita de “y” con respecto de “x”. Primero se deben derivar ambos miembros de la ecuación con respecto a x tomando en cuenta en todo momento que, y es función de x, y por consiguiente al tener que derivar y con respecto a x, hay que aplicar la regla de la cadena. Finalmente, se debe despejar dy/dx.
Además, de la derivación implícita en esta sesión también abordaremos el tema de las derivadas de orden superior. El interés de realizar derivaciones de orden superior se debe a que la derivada es una herramienta matemática muy versátil que permite evaluar el cambio en una función, y su aplicación depende mucho de las interpretaciones que se hagan de sus resultados. Muchos problemas requieren de la estimación de múltiples derivadas sucesivas.
Es importante destacar que esta sesión constituye el cierre de las estrategias ligadas a las reglas de derivación de funciones. En la última sesión del curso nos estaremos enfocando en la aplicación de las derivadas a la solución de problemas ligados con diversas áreas de conocimiento que van desde la geometría y la física hasta la economía.
Sin más preámbulo demos inicio al estudio de la derivación implícita y a la estimación de las derivadas de orden superior.
¡Mucho éxito!
Desarrollo del tema
Hay funciones que se presentan de forma explícita, es decir, donde la variable “y” está escrita en función de la variable “x”.
Ejemplos:
Sin embargo, hay otras funciones que no pueden ser planteadas de tal manera que la variable “y” quede escrita en función únicamente de la variable “x”.
Ejemplos:
En algunos textos, se establece que una función implícita es una relación que se expresa en términos de x y y por ejemplo:
A fin de derivar este tipo de funciones se tienen que derivar término a término los elementos de la igualdad respecto a la variable que se indica y al final se despeja la derivada.
Ejemplo 1: Determina la derivada de la siguiente función implícita.
Ejemplo 2: Determina la derivada de la siguiente función implícita.
cos(x+y) = sen(x-y)
Se derivan ambos miembros de la igualdad:
Derivadas de orden superior:
Las derivadas de orden superior de una función se obtienen al derivar ésta, tantas veces como lo indique el orden de la derivada requerida.
La derivada de una función se llama primera derivada y se representa de la siguiente manera:
Si obtenemos la derivada de la derivada de una función a la función obtenida se le llama segunda derivada y se representa como:
El proceso puede repetirse tantas veces como se requiera. A este proceso se le da el nombre de derivadas sucesivas.
Ejemplo 1: Encuentra la segunda derivada de la siguiente función.
y = cos3 x
Obtenemos primero la 1ª. Derivada:
A partir de la función obtenida se obtiene la segunda derivada:
Ejemplo 2: Encuentra la cuarta derivada de la siguiente función.
fx = x3+2x2-x
Obtenemos las derivadas de manera sucesiva de tal modo que el resultado obtenido es:
Conclusión
Para finalizar, ya se ha comentado que hay funciones que no pueden ser planteadas de tal manera que la variable “y” quede escrita en función únicamente de la variable “x”. Para poder obtener la derivada de esta función se requiere hacer uso de la derivación implícita.
La derivación implícita es una técnica que se aplica a funciones definidas implícitamente, esto es a funciones definidas por una ecuación en que la variable “y” no está despejada. La ventaja de este método es que no requiere despejar la variable “y” para encontrar la derivada. Como hemos visto en los ejemplos revisados para conseguir la derivada implícita de “y” con respecto de “x”. Primero se deben derivar ambos miembros de la ecuación con respecto a x tomando en cuenta en todo momento que, y es función de x, y por consiguiente al tener que derivar y con respecto a x, hay que aplicar la regla de la cadena. Finalmente, se debe despejar dy/dx.
En la última sesión del curso estaremos adentrándonos en la aplicación de las derivadas de las funciones a ámbitos que van desde la geometría y la física hasta la economía. Como en todas nuestras clases anteriores te invito a que sigas mostrando esa actitud proactiva al trabajo y también deseo que sigas poniendo todo tu empeño y motivación en el estudio de los temas que se presenten en la última clase del curso.
Hemos llegado al final de esta interesante clase, espero que haya sido de tu completo agrado su contenido y sobre todo, que hayas aprendido más acerca del tema. Te solicito amablemente realizar las consignas correspondientes a esta clase.
“Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica; la voluntad”, Albert Einstein
¡¡¡Nos vemos en la próxima sesión!!!