Aplicaciones de la derivada
Introducción
¡Hola admirable estudiante!
Me da mucho gusto saludarte en esta ocasión, que sin demeritar las anteriores, ya has avanzado mucho en este proceso formativo y eso es razón suficiente para pedirte que continúes con ese mismo ímpetu por aprender más. Te reitero mis felicitaciones y te doy la bienvenida a la última clase digital de esta curso.
El concepto de derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello, es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología.
La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable.
Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto. Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado.
Esta sección está dedicada a mostrar la relación que tiene la derivada con los problemas de optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo beneficio, mínima aceleración, mínima distancia, etc.).
Considerando lo anterior, te invito a empezar tu última sesión. ¡Éxito!
Desarrollo del tema
A continuación, estudiaremos las principales aplicaciones de las derivadas, las cuales se enlistan a continuación:
a) Rectas Tangente y normal a una curva
Ecuación de la Recta Tangente
La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P1(x1, y1) con pendiente
está dada por:
Ecuación de la Recta Normal
La ecuación de la recta normal a una curva en el punto P1(x1, y1) con pendiente:
está determinada por:
Ejemplo 1: Determina la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva xy+y-1=0 en el punto (3, 1/4)
b) Ángulo entre dos curvas
Ejemplo: Determina el ángulo agudo formado por las curvas f(x)=4-x2 y g(x)=x2 en el punto de intersección, cuya abscisa es
Primero se deben obtener las derivadas de las funciones:
c) Máximos y mínimos de una función
Los máximos o mínimos de una función conocidos como extremos de una función son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).
Para comprender mejor este concepto se presentan las siguientes ilustraciones:
Cálculo de máximos y mínimos relativos con el criterio de la primera derivada
Criterio de la primera derivada para calcular los máximos y mínimos relativos de una función.
1) Calcular la derivada de y= f(x)
2) Igualar a cero la derivada de y= f(x) y resolver la ecuación, estas soluciones se llaman valores críticos
3) Analizar el signo de dy/dx un valor antes y otro después de cada valor crítico sin omitir alguno de ellos:
a) Si la derivada de y= f(x) cambia de (+) a (-), se trata de un máximo
b) Si la derivada de y= f(x) cambia de (-) a (+), se trata de un mínimo
c) Si no hay cambio de signo, no es ni máximo ni mínimo.
Ejemplo 1: Determina los puntos máximos y mínimos para la función f(x)=3x2-12x+15 utiliza el criterio de la primera derivada.
Criterio de la segunda derivada para calcular los máximos y mínimos relativos de una función.
Ejemplo 1: Determina los puntos máximos y mínimos para la función f(x)=x3-3x2-24x-10 utiliza el criterio de la segunda derivada.
d) Optimización y razones de cambio:
Los métodos para obtener puntos máximos y mínimos de una función son una herramienta que se emplea para solucionar problemas prácticos donde se va a optimizar una variable.
Hay una gran variedad de problemas, por lo que resulta difícil dar reglas específicas para resolverlos. No obstante, se dan algunas sugerencias:
a) Leer cuidadosamente el problema y pensar en los hechos que se presentan y las variables desconocidas.
b) Hacer un diagrama o dibujo geométrico que incluya los datos.
c) Relacionar los datos con las variables desconocidas, hallando la función a maximizar o minimizar.
d) Encontrar los valores críticos y determinar cuál corresponde a un máximo o a un mínimo.
Ejemplo 1: Encuentra dos números positivos cuya suma sea 20 y el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro, sea un valor máximo.
Conclusión
Para finalizar, el concepto de derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello, es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo.
Es importante destacar que el concepto de derivada se aplica en todos aquellos problemas en los que es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta fundamental para la solución de problemas en la ingeniería y las ciencias experimentales. La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo.
¡Has llegado al final de la última clase del curso, muchas felicidades! Ha sido un gozo compartir contigo este trayecto formativo. Te invito a que continúes desarrollando tus habilidades y aumentando tu conocimiento en el área de cálculo diferencial e integral. Seguramente que con esfuerzo y dedicación podrás alcanzar todas las metas que te propongas.
Por último, recuerda que los problemas que enfrenta la ciencia hoy en día hacen evidente que todo lo que nos rodea puede ser analizado desde el punto de las matemáticas; es decir, “Al final todo es matemáticas”.
¡¡¡Mucho éxito en tus proyectos futuros!!!