Productos notables, producto de binomios con término común, producto de binomios conjugados, productos que originan una suma o diferencia de cubos
Introducción
En álgebra, existen varias técnicas para simplificar la multiplicación de expresiones que involucran binomios. Tres de estas técnicas son el producto de binomios con término común, el producto de binomios conjugados y el producto que origina una suma o diferencia de cubos.
El producto de binomios con término común es una técnica útil cuando se tienen dos expresiones algebraicas que tienen un término en común.
El producto de binomios conjugados es otra técnica que se utiliza cuando se tienen dos binomios que tienen la misma expresión, pero con signos opuestos.
Presentaremos las reglas que aplican cada uno de ellos, así como la deducción de la regla que corresponde.
Sin otro particular, regresemos al trabajo.
Desarrollo del tema
Binomios con término común
Los binomios con un término común, son aquellos binomios donde uno de los dos términos que integran cada binomio, es igual en ambos. Los binomios que tienen un mismo término se tienen como binomios con término común y son de la forma: (m + c) (m + b), donde es el término común. Al desarrollar la multiplicación el producto es igual al cuadrado del término común, más el producto de este por la suma algebraica de los no comunes, más el producto de estos.
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Ejemplo:
Pueden presentarse algunas otras variaciones de la fórmula, pero el planteamiento siempre será el mismo; lo que varía es que se agrupan los términos no comunes para resolver las operaciones de los signos trayendo como consecuencia que a veces en vez de sumar vamos a restar; y que en algunos casos la multiplicación de los signos será negativa:
El resultado que se obtiene de desarrollar un producto de binomios con un término común es un trinomio cuadrado.
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Binomios conjugados
El producto de la suma de dos números a+b por su diferencia a-b es un producto notable que recibe el nombre de binomios conjugados. La única diferencia que existe entre ellos es el signo de la operación, es decir, uno tendrá el signo de la operación suma, mientras que el otro tendrá el signo de la operación resta y que al resolverlo nos dará como resultado la resta de dos cuadrados.
(a + b) (a – b) = a2 – b2
El conjugado de un binomio, se obtiene con solo cambiarle el signo a uno de los términos que lo conforman. La solución será el cuadrado del término que tiene signos iguales, MENOS el cuadrado del término que posee signos diferentes. Al resolver un producto de binomios conjugados obtenemos como resultado una diferencia de cuadrados.
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Productos que originan una suma o diferencia de cubos
Este producto notable no es en sí mismo de los más comunes, sin embargo es relevante hacer su análisis y estudio dado que en el tema de “factorización” es muy importante.
La expresión es:
Entonces al tener un producto de la forma:
Se considera: Cubo del primer término MÁS cubo del segundo término, para obtener una Suma de Cubos a3 + b3.
Ejemplos:
Similarmente, al tener un producto de la forma:
Se considera: Cubo del primer término MENOS cubo del segundo término, para obtener una Diferencia de Cubos a3 + b3.
Ejemplos:
En el siguiente video puedes consultar más ejemplos:
Conclusión
El uso de los productos notables, como las reglas para la suma y la diferencia de cubos, es una técnica muy útil y eficiente para posteriormente factorizar expresiones algebraicas.
Estas reglas nos permiten simplificar expresiones complejas y reducir el tiempo y el esfuerzo necesarios para encontrar productos. Con el conocimiento y la aplicación adecuados de las reglas de productos notables, podemos resolver problemas de álgebra y matemáticas de manera más rápida y efectiva. Además, el uso de estas reglas nos permite comprender mejor la estructura de las expresiones algebraicas y la relación entre los diferentes términos.
Sin embargo, es importante tener en cuenta que las reglas de productos notables sólo se aplican a expresiones que siguen un patrón específico. Si la expresión no sigue este patrón, se requerirá realizar el producto algebraicamente.
Por lo tanto, es esencial tener una comprensión completa de las diferentes técnicas de los productos notables para poder aplicarlas adecuadamente en diferentes situaciones y problemas.