Clase digital 7. Análisis de estabilidad

Análisis de estabilidad

Introducción

¡Hola!

Es un gusto brindarte la bienvenida a esta clase, espero que la encuentres atractiva y sobre todo aprendas mucho.

La descripción de un sistema en términos de mediciones en los extremos se denomina Modelo de entrada-salida.

La respuesta de un sistema lineal puede ser expresada como la suma de dos componentes: respuesta a entrada cero y respuesta a estado cero.

Te invito a conocerlas, ¡empecemos con mucho ánimo esta clase!

Desarrollo del tema

Considérese un sistema LTI modelado en espacio de estados como:

• El sistema puede ser excitado por la entrada u(t) y por la condición inicial x(0).
• La salida obtenida cuando u(t) = 0 es y_zi(t).
• La salida obtenida cuando x(0) = 0 es y_zs(t).
• Debido a la propiedad de superposición de sistemas lineales y(t) = y_zi(t) + y_zs(t).

Entradas acotadas

Considérese un sistema SISO-LTI con función de transferencia

Se dice que la entrada u(t) es acotada si no crece hasta +∞ y no decrece hasta −∞, es decir:

Estabilidad Acotada – Salida acotada

Un sistema es BIBO estable (Estable de Entrada Acotada – Salida Acotada) si para cada entrada acotada, el sistema genera una salida acotada.

Teorema

Un sistema SISO-LTI con función de transferencia G(s) es BIBO estable si y sólo si g(t) es integrable en t ∈ [0, ∞), es decir:

Un sistema SISO-LTI con función de transferencia racional propia G(s) es integrable en t ∈ [0, ∞) si y sólo si cada polo de G(s) tiene parte real negativa, es decir, los polos de G(s) se encuentran en el semi plano imaginario izquierdo del plano complejo.

Teorema

Un sistema MIMO-LTI con matriz de funciones de transferencia G(s) es BIBO estable si y sólo si cada una de las funciones de transferencia g_ij (t) es integrable en t ∈ [0, ∞). Para 1 < i < p y 1 < j < m.

Un sistema MIMO-LTI con matriz de funciones de transferencia racional propia G(s) es integrable en t ∈ [0, ∞) si y sólo si cada polo de cada una de las funciones de transferencia G_ij (s) tiene parte real negativa, es decir, los polos de G_ij (s) se encuentran en el semi plano imaginario izquierdo del plano complejo. Para 1 < i < p y 1 < j < m.

Puntos de operación

Considérese un sistema LTI autónomo, es decir:

• Un punto de operación x^∗ se presenta cuando Ax(t) = 0.
• Un sistema LTI tiene múltiples puntos de operación.

Estabilidad asintótica

Definición

Un sistema LTI es asintóticamente estable alrededor de su punto de operación en el origen (punto de equilibrio) si se cumplen dos condiciones:

1. Para cualquier ∈ > 0, existe un δ₁ > 0, tal que si ||x(0)||2 < δ₁ entonces ||x(t)||2 < ∈ para todo t ≥ 0.
2. Existe un δ₂ > 0 tal que si ||x(0)||2 < δ₂ entonces lím_t→∞ x(t) = 0.
3. Estas condiciones se cumplen si y sólo si cada polo de la matriz de funciones de transferencia G(s) tiene parte real negativa.

Condiciones de estabilidad

1. Estabilidad asintótica: Re(s_i) < 0, para todo i = 1, 2, . . . , n.
2. Estabilidad o inestabilidad marginal: Re(s_i) = 0 para raíces simples e i = 1, 2, . . . , n, y no Re(s_i) > 0.
3. Inestabilidad: Re(s_i) > 0, para cualquier i = 1, 2, . . . , n o Re(s_i) = 0 para raíces múltiples.

La respuesta de un sistema lineal puede ser expresada como la suma de dos componentes: respuesta a entrada cero y respuesta a estado cero.

Siguiendo el modelo entrada-salida del sistema, la respuesta se obtiene como la superposición de sus componentes:

Conclusión

Hemos llegado al final de la sesión y como puedes notar, sigues abonando conocimiento a tu persona. ¡Muchas felicidades! Recuerda que la tarea es la confirmación de tu aprendizaje, no olvides realizarla. Nos encontramos en la siguiente clase.