Flujo compresible
Introducción
Bienvenidos a la última unidad del curso de Mecánica de Fluidos. En esta clase nos enfocaremos en un fluido real comprensible, esto es, un fluido que a medida que al variar su presión su densidad se ve afectada. Analizaremos las ecuaciones y relaciones gobernantes de este fenómeno considerando procesos adiabáticos-isentrópicos. Esto nos permitirá definir condiciones de garganta (throat) y de golpe (shock). Además estudiaremos el por qué de la importancia de sistemas de reducción de área y las ventajas que se obtienen al hacer uso de su operación. Sin más que decir, empecemos.
Desarrollo del tema
Hasta el momento, dentro de este curso hemos revisados los conceptos claves para fluidos estáticos y dinámicos, considerando en estos últimos fluidos ideales y fluidos reales no compresibles; sin embargo, los gases que fluyen a través de un sistema y que se encuentran a “alta velocidad” pueden presentar comprensibilidad, lo cual requiere un análisis especial.
Para ahondar en esto partamos de definir el término alta velocidad. Al igual que los números adimensionales que has visto en este y otros cursos, exige un número adimensional que permite definir qué tan rápido se mueve un fluido con respecto a una referencia que, dentro de esta área de estudios, es considerada la velocidad del sonido en el medio de estudio. Así, este número adimensional es el Número de Mach, Ma, el cual está dado como la relación de la velocidad del fluido con respecto a la velocidad del sonido que éste tiene.
En base a este parámetro se define si el fluido es incompresible (Ma < 0.3) o compresibles. Además de determinar si se caracteriza como un fluido de entre los siguientes tipos:
- Subsónico (0.3 < Ma < 0.8)
- Transónico (0.8 < Ma < 1.2)
- Supersónico (1.2 < Ma < 3.0)
- Hipersónico (3.0 < Ma)
Cabe mencionar que a medida que el fluido se encuentra en Ma elevados, la generación de ondas de choque se vuelve de mayor importancia. Pero, ¿qué es una onda de choque? Te pido que revises los siguientes videos para aclarar esta cuestión.
Retomando el número de Mach, se mencionó que la velocidad del sonido, al ser considerada como referencia, es la que el fluido presenta a las condiciones en que se encuentra operando: dependiendo del tipo de fluido y la temperatura que se encuentre es la velocidad del sonido que se tiene.
Así, para el aire a condiciones de 1 atmósfera y 15ºC, su velocidad del sonido es de 340 m/s; y, a estas mismas condiciones para para el hidrógeno, la velocidad del sonido es de 1,294 m/s (casi cuatro veces más que la del aire). Entonces, esta velocidad se calcula como:
Donde R es la constante de los gases ideales y k es la razón de calores específicos (k=Cp/Cv ).
Ahora bien, los parámetros anteriores definen el cómo se da el movimiento del fluido, sin embargo no se define al proceso, esto es, pasar de un estado A a un estado B, y sus respectivos cambios en las propiedades. Para ello consideremos de los cursos de termodinámica la Ecuación de Estado Tds, la cual define el cambio de entropía de un sistema en función de los cambios de entalpía y presión del mismo, esto es:
Además, si se considera la ecuación de estado Cp y la ecuación de los gases Ideales:
Se obtiene:
Si se considera un proceso isentrópico, esto es, que las irreversibilidades del sistema son despreciables (todas las irreversibilidades generadas en el sistema se quedan dentro del sistema), se tiene que:
Por otra parte, si consideramos la Primera Ley de la Termodinámica:
Y tomamos en cuenta que no existe trabajo generado por la onda, además de que el proceso es adiabático sobre el mismo nivel de referencia, se tiene:
Donde la constante C puede ser igualada a la máxima entalpía que el fluido puede alcanzar si se detiene de forma adiabática, esto es, la entalpía de estancamiento, h0. Así, la expresión anterior se puede definir como:
Pudiendo ser esta relación ajustada al considerar la ecuaciones de estado mencionadas anteriormente como:
Si se considera la relación del número de Ma, la ecuación anterior se expresaría como:
Y, considerando las relaciones expresadas P2/P1 y 𝜌2/𝜌1, se tiene:
Donde k es la relación de calores específicos (Cp/Cv)
Con estas ecuaciones se tiene completamente definido el proceso de compresión de un fluido hasta su estado de estancamiento.
Una de las aplicaciones más comunes en las que se tiene compresibilidad de fluidos es en sistemas donde se presentan variaciones de área tales como toberas y/o difusores como los aspersores de un manguera neumática o la tobera de salida de un motor de avión. En la figura se esquemática este tipo de sistemas.
Si se consideran las relaciones de conservación de masa, conservación de momento y las relaciones de flujo isentrópico y se trabajan en una sola ecuación, se llega a definir el impacto que tienen la variación de área del sistema en la variación de la velocidad del aire que pasa a través del mismo; esto es:
Observemos detalladamente esta ecuación considerando la figura que se muestra a continuación:
A medida que el fluido pasa de izquierda a derecha por el sistema, hasta llegar a la garganta, se encuentra un decremento de área, lo cual hace sentido con el signo encontrado en la ecuación. Así, para mantener la igualdad de la misma se espera un incremento en la velocidad del mismo, manteniéndose siempre en comportamiento subsónico (Ma<1.0).
Por otra parte, cuando el fluido llega a la garganta, la cual, en forma infinitesimal, ya no presenta cambio de área (dA=0), el cambio de velocidad se hace igual a cero (dV=0), teniendo con ello un fluido sónico (Ma=1.0) a fin de mantener la igualdad en la ecuación.
Hasta este momento hablamos de un comportamiento esperado (una reducción de área da paso a un aumento de velocidad y por ende a una reducción de presión); pero, ¿qué pasa con el fluido una vez que pasa la garganta? El área se ve aumentada (dA>0), por lo cual el término de la derecha de la ecuación se vuelve negativo y por ende, para mantener la igualdad en la ecuación, se tienen dos posibles condiciones:
- El cambio de velocidad se hace negativo (dV<0) dando paso a que el Ma<1.0 (subsónico o,
- El cambio de velocidad se hace positivo (dV>0) dando paso a que el Ma>1.0 (supersónico). En este punto es donde la presión del ambiente en el que está descargando el fluido toma importancia. Si la presión de descarga es baja, la velocidad debe de aumentar por lo cual se tiene una descarga a velocidad supersónica; caso contrario a si la presión de descarga es alta, la velocidad de salida se ve reducida por lo cual el fluido cae a régimen subsónico.
Te invito a revisar el siguiente video para una mejor comprensión de este comportamiento:
Conocer el área de sección de garganta es esencial a fin de definir el comportamiento del sistema, para lo cual se debe de considerar la siguiente expresión:
Con esto, se puede determinar la cantidad máxima de fluido que puede pasar a través de este sistema de reducción de área, que, para el caso de un gas con k=1.4, se tiene:
Te invito a revisar el material expresado en el Capítulo 9 del Fluid Mechanics, F.M. White, páginas 571 a la 640 (Clase 8.pdf) para una mejor comprensión de todos estos principios.
En este punto del curso, hemos revisado todos los procesos que afectan a la mecánica de fluidos y la forma de que son analizados. Te invito a revisar la figura siguiente que resume el contenido de la presente Unidad de Aprendizaje.
Conclusión
En esta clase revisamos los conceptos clave referentes a fluidos compresibles. Se observó el impacto que tienen el número de Mach para definir el comportamiento de los fluidos y su relación con la temperatura. Además, se definió a partir de lo que se considera un proceso isentrópico adiabático las relaciones de comportamiento de los fluidos dentro de un proceso, las cuales están en función de la razones de calores específicos y el número de Mach.
Finalmente, se mostró cómo una reducción de área afecta al sistema y las bondades que se tienen al hacer uso de una tobera convergente-divergente, misma que permite aumentar la velocidad del fluido, siempre y cuando la presión de descarga sea menor a la presión inicial.
Te pido que realices las consignas asignadas y te agradezco el haber llevado este curso, el cual espero y haya sido claro y aprovechado al máximo.