Operaciones básicas con fracciones – Leyes conmutativa, asociativa y distributiva – Razonamiento matemático
Introducción
¡Hola! Nuevamente me da gusto saludarte, te comparto que en esta segunda clase revisaremos el tema de las operaciones básicas con fracciones que, como vimos en la clase anterior, son elementos que forman parte del subconjunto de los números racionales y a su vez estos números, pertenecen al conjunto de los números reales.
En esta sesión daremos énfasis en el estudio de la asociación de números mediante las leyes conmutativa, asociativa y distributiva. Asimismo, resolveremos una serie de ejercicios tomados de situaciones reales o ficticias, en los que se pueda encontrar una solución, o deducir un resultado.
Ahora que ya tienes una visión general del tema que abordaremos en esta clase, demos inicio a ella, esperando que sea de mucho aprendizaje para ti y que a su vez lo puedas aplicar en tu vida diaria. Sigamos con todo el entusiasmo que hemos puesto desde el inicio de este módulo, que es primordial para el desarrollo de tus habilidades lógico – matemáticas.
Desarrollo del tema
¿Qué es una fracción?
En el mundo de las matemáticas, la fracción expresa una cantidad determinada de porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales; se representa con una barra oblicua u horizontal que separa la primera cantidad (el numerador) de la segunda (el denominador). Con información de conceptos básicos de fracciones.
Las fracciones se pueden clasificar en: propias, impropias y mixtas. Para tener una visión más amplia de la clasificación, te recomendamos ingresar al siguiente link:
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el más pequeño de todos los múltiplos comunes.
¿Cómo se calcula?
Para calcularlo, se emplean reglas de divisibilidad utilizando los números primos (números que son divisibles entre sí y entre 1), hasta obtener al final del cálculo 1.
Es importante mencionar que el conjunto de los números primos es infinito debido a que existen una gran cantidad de ellos. En la siguiente tabla se muestran los primeros números primos ordenados de menor a mayor (en color morado).
Números primos
Ejemplo: Calcula el m.c.m. de los números 42 y 18.
Solución:
a) Observar que los números 42 y 18 son divisibles entre 2, por lo tanto, se dividen entre 2.
b) De la división obtenida en el paso anterior, se obtuvieron los números 21 y 9, éstos ya no son divisibles entre 2, por lo cual, se dividen entre el siguiente número primo que es 3.
c) De la división obtenida en el paso anterior, se obtuvieron los números 7 y 3, el 7 no es divisible entre 3 y se pasa igual; el 3 si es divisible, por lo tanto, se realiza la división.
d) De la división obtenida en el paso anterior se obtuvieron los números 7 y 1, el siete ya no es divisible entre 3, por lo cual, se divide entre el siguiente número primo que es 7. Y el número 1 se escribe igual.
Suma y resta de fracciones con igual denominador
Se suman o restan los numeradores (dependiendo de la operación) y los denominadores se pasan igual hasta simplificar a su mínima expresión.
Suma y resta de fracciones con diferente denominador
Para realizar suma y resta de fracciones con diferente denominador, es necesario realizar los siguientes pasos:
- Obtener el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
- Dividir el denominador de cada fracción entre el mcm.
- El resultado del paso anterior se multiplica por el numerador.
- Se realizan las sumas y restas respectivas.
- Simplificar a su mínima expresión.
Ejemplo: Realiza la suma
Solución:
a) Determinar el mcm de los denominadores.
mcm de 18,6 y 9 = 18
b) Dividir el mcm entre el denominador de cada fracción.
c) El resultado del paso anterior se multiplica por el numerador correspondiente.
d) Realiza las sumas o restas según corresponda.
e) Simplificar a su mínima expresión.
Multiplicación de fracciones
Para realizar la multiplicación de fracciones, se multiplican de manera lineal, numerador por numerador y denominador por denominador; y al final, simplificar a su mínima expresión cuando sea posible.
Ejemplo: Realiza la siguiente multiplicación
Solución:
a) Multiplicar los numeradores y dividir entre el producto de los denominadores.
b) Simplificar a su mínima expresión (utilizando las reglas de divisibilidad), tanto el 15 como el 60 son divisibles entre 3.
c) Se puede simplificar aún más dividiendo tanto el numerador como denominador entre 5.
d) Resultado
División de fracciones
Para realizar la división de fracciones, se multiplican numeradores y denominadores en forma cruzada. Al final, se simplifican a su mínima expresión.
Solución:
a) Multiplicar los numeradores y denominadores en forma cruzada.
b) Simplificar a su mínima expresión.
Ejemplo:
a) Multiplicar los numeradores y denominadores en forma cruzada. El 3 se convierte en forma de fracción, por lo cual, se le agrega un 1 al denominador.
b) Simplificar a su mínimo expresión.
Ya no es posible simplificar.
Ya hemos revisado las operaciones básicas con números enteros (clase digital 1) y números fraccionarios, a lo largo de esta clase. Por lo que es importante aplicar dichas operaciones en problemas que se te puedan presentar en tu vida cotidiana.
Ejemplo:
Solución:
a) Se suman los kilogramos de todos los ingredientes:
c) Se aplica la suma de fracciones con diferente denominador:
b) Se convierten los números enteros en fracciones:
d) Por lo tanto, los ingredientes pesan:
En el siguiente link podrás encontrar otro ejercicio resuelto para que puedas comprender este tema, te sugiero que lo consultes:
Leyes de los números reales
Una vez que hemos revisado las operaciones para números enteros y números fraccionarios, es conveniente que sepas, que existen una serie de propiedades que se aplican a éstos y pueden consultarlas en la siguiente tabla.
Ley Conmutativa
El orden de los números no alteran el resultado.
Suma
2 + 3 = 5
3 + 2 = 5
Multiplicación
(2)(3) = 6
(3)(2) = 6
Ley Asociativa
Los números pueden agruparse de diferente manera y siempre se obtiene el mismo resultado.
Suma
2 + (3 + 2) = 7
(2 + 3) + 2 = 7
Multiplicación
2 · (3·5) = 30
(2·3)·5 = 30
Ley Distributiva
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos:
Conclusión
En esta clase hemos revisado las cuatro operaciones básicas para los números racionales. Es importante mencionar que un número fraccionario es un número racional, el cual consta de numerador y denominador. Para sumar o restar dos o más fracciones con diferente denominador es necesario obtener el mínimo común múltiplo, aplicando el procedimiento necesario.
Las propiedades que existen en los números reales son indispensables tanto por la ordenación de los números, así como para poder dar soluciones a los problemas matemáticos que se puedan dificultar, por lo que podemos observar y comprender mejor, cómo obtener soluciones y cómo es su representación.
Con esta clase damos por finalizada la parte de aritmética que es la parte fundamental en el estudio de los números y las operaciones que se efectúan entre ellos, las cuales son las herramientas necesarias para la siguiente clase digital.