Clase digital 3. Factores de escala, reglas de tres y despeje de figuras compuestas

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Factores de escala, reglas de tres y despeje de figuras compuestas

Introducción

Hasta esta sesión hemos dado cuenta de que las matemáticas juegan un papel importante en la modernidad, y que son  indispensables en la comprensión básica de nuestra vida diaria.

En esta clase nos adentraremos en el estudio de las razones y las proporciones. Las Razones y Proporciones tienen una gran importancia y aplicación en la vida diaria y también en las operaciones comerciales que se llevan a cabo, como por ejemplo,  cuando se realizan compras. De este modo, nos permiten hallar las relaciones que existen entre precios a medida que las cantidades de artículos comprados ascienden o descienden. Por ejemplo, aunque parezca algo netamente deductivo y evidente, el determinar que la cantidad de dinero que se pagará por la compra de 1 kilo de papas incrementará o se reducirá en relación a que la cantidad adquirida varíe, entre kilo y kilo, es una de las aplicaciones del siguiente tema.

Es importante destacar que las razones y proporciones no sólo son importantes en el comercio; también tienen una gran aplicación en diversas disciplinas; por ejemplo, en ingeniería se emplean las escalas para realizar maquetas, en el área contable, para realizar movimientos financieros y, en la vida diaria, para efectuar ciertas operaciones aritméticas. Está de más decir que el estudio de este tema será fundamental para que puedas seguir avanzando en tu dominio de las matemáticas y en la solución de problemas de mayor complejidad. 

Sin más que decir, te invito a que iniciemos con el estudio de este importante tema. Recuerda que yo estaré atento a cualquier duda que se presente durante la revisión de los contenidos de esta sesión.

Desarrollo del tema

Razones y proporciones

La razón: es el cociente entre dos números o cantidades comparables entre sí, que se expresa como una fracción. Es decir, si tenemos un número a y un número b, la razón entre ellos se representa mediante la fracción a/b. Algunos ejemplos se muestran a continuación: : 

  1. La razón entre  6 y 2 es 3, ya que 6/2=3.
  2. La razón entre 1 y 0,2 es 5 , ya que 10/2=5.
  3. La razón entre 100 y 10 es 10 , ya que 100/10=10.

Proporcionalidad:

  1. Si la relación entre las magnitudes es directa (cuando aumenta una magnitud también lo hace la otra) hay que aplicar la regla de tres simple directa.
  2. Por el contrario, si la relación entre las magnitudes es inversa (cuando aumenta una magnitud disminuye la otra) se aplica la regla de tres simple inversa.

Regla de tres: 

La regla de 3 simple es una operación que nos ayuda a resolver rápidamente problemas de proporcionalidad, tanto directa como inversa. Para hacer una regla de tres simple necesitamos 3 datos: dos magnitudes proporcionales entre sí, y una tercera magnitud. A partir de estos, averiguaremos el cuarto término de la proporcionalidad.

a) Regla de 3 simple directa:

Empezaremos viendo cómo aplicarla en casos de proporcionalidad directa (cuando aumenta una magnitud también lo hace la otra). Colocaremos en una tabla los 3 datos (a los que llamamos “a”, “b” y “c”) y la incógnita, es decir, el dato que queremos averiguar (que llamaremos “x”). Después, aplicaremos la siguiente fórmula:

Ejemplo: Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos han dicho que 5 centímetros del mapa representan 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?

Solución:

b) Regla de 3 simple inversa

Ahora vamos a ver cómo aplicar la regla de 3 simple en casos de proporcionalidad inversa (cuando aumenta una magnitud disminuye la otra). Colocaremos los 3 datos y la incógnita en la tabla igual que los hemos colocado en el caso anterior. Pero aplicaremos una fórmula distinta:

Ejemplo: Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde el puerto hasta el almacén. Hoy 3 camiones, iguales a los de ayer, tendrán que hacer 6 viajes para transportar la misma cantidad de mercancía del almacén al centro comercial. ¿Cuántos viajes tuvieron que hacer ayer los camiones?

Colocamos los datos en una tabla y aplicamos la fórmula de la regla de 3 simple inversa:

Solución:

Factor de escala

Las escalas se utilizan para representar la realidad en un tamaño más pequeño y manejable. Se puede utilizar para representar una zona del terreno (plano o mapa) o para representar cualquier otra cosa, como un edificio, una ciudad o toda la galaxia. El cociente entre el tamaño en la realidad y en la representación se llama factor de escala y nos dice cuántas veces es mayor el objeto real que su representación.

Ejemplo 1: (Escala 1:100) Un factor de escala de 100 (Escala 1:100) significa que cualquier longitud es en realidad 100 veces mayor que en el modelo. Si una parte del modelo mide 1 cm, en la realidad medirá 100 cm, es decir, un metro. Si sabemos una medida en el mapa, plano o modelo y queremos saber cuánto es en la realidad, multiplicamos por el factor de escala y luego hacemos los cambios de unidades si es necesario.

Ejemplo 2: (Escala 1:2000) Si algo mide 5 cm en el modelo y queremos saber cuánto mide en la realidad, multiplicamos por 2000: 5(2000) = 10000.  En la realidad serán 10000 cm = 100m. Para pasar una medida de la realidad al modelo, dividimos entre el factor de escala y luego cambiamos las unidades si hace falta. 

Ejemplo 3: (Escala 1:2000) Una distancia de 4 Km en la realidad se averigua cuánto medirá en el modelo dividiendo entre 2000: (4/2000)= 0,002. En el modelo serán 0,002 Km = 2 m.

El factor de escala que se utiliza normalmente se refiere a medidas de longitud, si queremos convertir áreas o volúmenes tendremos que utilizar el factor de escala correspondiente.  

El factor de escala para áreas es el factor de escala normal, elevado al cuadrado. Una escala 1:2000, si es para áreas hay que elevarla al cuadrado:

Ejemplo 4 (Áreas): un terreno que en un mapa de escala 1:2000 ocupa un área de 25 cm2 en la realidad será:

Para los volúmenes tenemos que transformar el factor de escala, elevando éste al cubo. Ejemplo, un depósito que en una maqueta ocupa un volumen de 15 cm3, con una escala 1:2000.

Despeje de fórmulas

El hecho de que tengamos que aprender a despejar una variable de una fórmula es porque muchas veces tenemos que resolver un problema para una variable diferente de la que se encuentra despejada en la ecuación principal.

Ejemplo: 

 La siguiente expresión denota la Ley de Coulomb:

La fórmula anterior relaciona la Fuerza de atracción con las cargas de las partículas que interactúan y con la distancia que las separa.

Pero, ¿qué pasaría si queremos saber el valor de una de las cargas? En este caso se tendría que aplicar un procedimiento de despeje.

Ejemplo 1: 

1.- Despejar a q2 de la Fórmula de atracción de cargas de la ley de Coulomb

El problema nos pide despejar q2 de la ley de Coulomb.

Para ello lo primero que vamos hacer será darnos cuenta que nuestra operación tiene diversas operaciones, como multiplicación, división y una potencia elevada al cuadrado. Entonces, ¿cómo iniciamos?
Si multiplicamos toda la ecuación por r2 vamos a poder eliminarla del denominador, nos quedaría algo así:

Con esto podemos simplificar en el segundo miembro a r2

Si observamos Kq1 están multiplicando ambos, entonces pasarán a dividir al otro miembro, es decir:

Invertimos la ecuación:

Listo…!! Problema resuelto.

Ejemplo 2: 

Despeje “d” de la fórmula de atracción de Newton:

Para poder obtener la “d” de la fórmula de Gravitación Universal de Newton se procede de la siguiente manera.
Vamos a despejar por partes, aunque este ejemplo no es nada complicado. Si sabemos que “d” está siendo dividida, entonces puede pasar a multiplicar a los términos del lado izquierdo de la ecuación, quedando así:

Y la fuerza está multiplicándose, entonces puede ser dividida por todo lo que tenemos en el segundo miembro, quedando así:

Pero como lo que nos piden, es solamente la distancia. Entonces sacamos raíz cuadrada de ambos miembros, quedando así:

Conclusión

Como se ha podido constatar en la presente clase las razones y proporciones tienen una gran importancia en ámbitos de la vida cotidiana que van desde el comercio hasta la ingeniería y la solución de problemas de la vida diaria. Durante la sesión hemos visto como las razones nos permiten resolver problemas ligados al comercio y cuya solución se basa en las relaciones que existen entre precios a medida que las cantidades de artículos comprados ascienden o descienden. También hemos podido dar cuenta de que el estudio de este tema no sólo es importante en el comercio; sino que su relevancia se extiende a una gran diversidad de disciplinas tales como: la ingeniería (en donde se emplean las escalas para realizar maquetas), el área contable (para realizar movimientos financieros) y, en la vida diaria, (para efectuar ciertas operaciones aritméticas basados en proporciones directas e inversas entre variables).

Como ya se ha comentado con anterioridad, el estudio de este tema será fundamental para que puedas seguir avanzando en tu dominio de las matemáticas y en la solución de problemas de mayor complejidad. 

Te invito a que sigas mostrando esa gran motivación en el estudio de los temas propuestos en las siguientes sesiones.

Fuentes de información