Clase digital 4. Teorema de Pitágoras y razones trigonométricas

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Teorema de Pitágoras y razones trigonométricas

Introducción

En esta clase nos adentraremos en el estudio de un teorema fundamental de la geometría denominado “Teorema de Pitágoras”. Además podremos estudiar las razones trigonométricas que nos permiten resolver los triángulos. Es importante destacar que el teorema de Pitágoras ha sido y es actualmente importante en nuestras vidas por muchas razones. Por ejemplo, en la época antigua la navegación se llevaba a cabo gracias a cálculos en desuso: mirando las estrellas y siguiendo la línea de la costa.

Con la llegada del teorema de Pitágoras todo cambió. Este teorema puso a la humanidad en la senda para la comprensión actual de la geografía de nuestro planeta y su lugar en el Sistema Solar. Fue un primer paso vital hacia las técnicas geométricas necesarias para la cartografía, la navegación y la topografía. También proporcionó una vital relación entre la geometría, trigonometría y el álgebra. El teorema de Pitágoras abrió por completo nuevas direcciones para la exploración humana, tanto metafóricamente como literalmente. Reveló la forma de nuestro mundo y su lugar en el universo.

Es importante destacar que muchos de los triángulos que nos encontramos en la vida real no son rectángulos, de manera que las aplicaciones directas de la ecuación podrían parecer limitadas. Sin embargo, cualquier triángulo puede dividirse en dos triángulos rectángulos, y cualquier forma poligonal se puede dividir en triángulos. El teorema de pitágoras y las razones trigonométricas representan dos herramientas fundamentales en la solución de triángulos y en la aplicación de la geometría a los problemas de la vida cotidiana. 

Te invito a que nos adentraremos en el estudio del presente tema.

Desarrollo del tema

Teorema de Pitágoras:

El teorema de Pitágoras es un principio que se aplica a los triángulos rectángulos, y que establece que la suma de cada uno de los catetos (lados) elevados al cuadrado es igual a la hipotenusa(lado de mayor longitud) elevada al cuadrado. Es importante destacar que en un triángulo rectángulo uno de los ángulos es recto y los otros dos deben ser agudos (menores que 90º).

Debemos tomar en cuenta que esta ley sólo se cumple para un tipo de triángulo muy particular, el triángulo rectángulo, que es aquel donde dos de los tres lados, que son los denominados catetos, forman un ángulo recto, es decir, que mide 90º.El teorema de Pitágoras lo observamos en la siguiente fórmula, donde AB y BC son los catetos y AC es la hipotenusa del triángulo que mostramos en el gráfico de abajo.

Entonces, el teorema de Pitágoras nos permite calcular la longitud de uno de los lados del triángulo cuando conocemos los otros dos. Asimismo, sabiendo la longitud de todos los lados, podemos verificar si un triángulo es rectángulo.

Ejemplo: 

Suponiendo que tienes un triángulo rectángulo y que la longitud de su hipotenusa es de 15 metros y la de uno de sus catetos, 10 metros ¿Cuánto mide el otro cateto?

El teorema de  Pitágoras quedaría definido como:

Ejemplo 2: 

Se tiene un triángulo cuyos lados miden 8, 11 y 14 metros. ¿Puede ser un triángulo rectángulo?

Por lo tanto, el triángulo no puede ser rectángulo.

Ejemplo 3: 

Supongamos que nos dicen que tenemos un cuadrado cuyos lados miden 12 metros. ¿Cuál es la longitud de su diagonal? En este caso, debemos recordar que los ángulos interiores de un cuadrado miden 90º. Por lo tanto, cuando trazamos una diagonal dividimos la figura en dos triángulos rectángulos (como se observa en la figura inferior).

Entonces, la longitud de la diagonal (x) sería:

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c. Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

  • El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
  • El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).
  • La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

A partir de las razones del seno, coseno y tangente se pueden definir las razones inversas.

Cosecante de α:

Secante de α:

Cotangente de α:

El seno, coseno y tangente de los ángulos más característicos (tales como 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:

Conclusión

A lo largo de esta sesión hemos sido testigos de cómo las matemáticas son utilizadas también en la vida cotidiana, para resolver problemas basados en la triangulación de situaciones. Las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

La trigonometría ha aportado mucho en nuestra sociedad como por ejemplo la construcción de casas o edificaciones las diferentes medidas que se deben hacer. La trigonometría es de mucha utilidad en la ingeniería civil, para el cálculo preciso de distancias, ángulos de inclinación o de peralte en una carretera. Una aplicación o un aporte de la trigonometría en el desarrollo científico sería en la elaboración de métodos numéricos por parte de matemáticos para realizar una ecuación diferencial o resolver una integral que no se pueda trabajar con los métodos convencionales. Otro aporte en el plano científico podría ser en la biogenética o en la biología para evaluar funciones que dependan de ciertos parámetros trigonométricos.

De este modo hemos llegado al final de la presente sesión, te invito a que sigas profundizando en el estudio de las matemáticas en las siguientes sesiones.

Fuentes de información