Probabilidad de eventos
Introducción
Cordiales saludo. Nuevamente es un gusto tener la oportunidad de coincidir en este espacio digital. A lo largo de esta sesión abordaremos el tema de la teoría de probabilidad y la importancia de esta área de las matemáticas en la vida cotidiana.
A través de la historia el ser humano siempre ha tenido la necesidad de anticiparse a los hechos; es decir en cierta forma de tener la posibilidad de predecir el futuro, lo que ha llevado a través de los años al estudio y perfeccionamiento de un área fundamental de las matemáticas conocida como Probabilidad.Es importante destacar que la probabilidad es empleada, hoy en día, por todas las ciencias del conocimiento de tal suerte que se ha convertido en una disciplina auxiliar, que asiste a las ciencias en la toma de decisiones y en la reducción de la incertidumbre ya que hace posible el manejo de diferentes escenarios a partir de generalizaciones.
La Probabilidad indica la posibilidad de que ocurra un evento futuro en forma numérica. Y es de gran importancia, ya que permite predecir comportamientos en una amplia gama de aspectos tanto de la vida cotidiana como profesional.
En esta sesión aprenderemos algunas técnicas empleadas en el cálculo de la probabilidad tales como: las técnicas de conteo (empleadas para determinar el número que corresponde al espacio muestral) entre las que se encuentran el diagrama de árbol, que es una herramienta estadística gráfica que permite ordenar y visualizar los posibles resultados.
También se cuenta con el principio de la multiplicación, principio de la suma, combinaciones y permutaciones, estos métodos apoyan en la determinación por medio de operaciones matemáticas sencillas o en su defecto por la aplicación de fórmulas, con ello se conoce el número total de resultados.
Sin más que decir comencemos con el estudio de este importante tema.
Desarrollo del tema
El azar siempre está presente en la vida cotidiana y siempre viene acompañado de una sensación de incertidumbre. La Estadística y la Probabilidad permite realizar pronósticos muy cercanos a lo que sucederá reduciendo el grado de incertidumbre que se tiene en una determinada situación. Algunos ejemplos de situaciones que se basan en la aplicación de la probabilidad a la vida cotidiana son las predicciones del clima, los resultados de una evaluación, la decisión sobre la elección de realizar una inversión, las posibilidades de obtener el premio en una rifa, etc. En el ámbito laboral se utiliza para el control de calidad de los productos en las empresas, la efectividad y efectos secundarios de los medicamentos, lanzamiento de un nuevo producto, por mencionar algunas de sus aplicaciones.
Diagrama de Árbol:
El diagrama de árbol recibe su nombre de la forma que va tomando al ir construyendo ramificaciones en los arreglos que se realizan. Un ejemplo es cuando se requiere conocer las diversas formas en cómo es posible realizar un viaje de la ciudad A hasta la ciudad D, si para llegar ahí es necesario pasar por las ciudades B y C, para llegar a la ciudad B se tienen dos opciones de camino y para la ciudad C tres opciones, representaremos este ejemplo por medio de un diagrama de árbol.
Un total de 6 opciones diferentes de recorridos. Este método te permite conocer la cantidad únicamente contando el número total de las últimas ramificaciones. Sin embargo, no siempre es posible utilizar esta técnica ya que se complica determinar uno a uno los resultados si está involucrado un mayor número de objetos.
En este mismo ejercicio también es posible utilizar el principio de la multiplicación, en donde se multiplica el número de niveles de cada fase (opciones que se tienen en cada fase). En base a lo anterior se tiene que para este problema la solución quedaría como:
1 x 2 x 3 = 6 formas diferentes de realizar el recorrido.
En ambos métodos se obtiene el mismo número de formas diferentes de realizar el recorrido: seis; sin embargo, a diferencia del método de multiplicación en el diagrama de árbol se conoce cada una de ellas.
En este sentido es importante comentar que es de gran importancia una lectura detallada de las condiciones de los problemas ya que en ellos se indican las características bajo las cuáles se realiza el experimento y tienen un impacto en el número del total de eventos del espacio muestral. Específicamente cuando los arreglos se realizan con o sin reemplazo.
A medida que los experimentos se vuelven más complejos, el diagrama de árbol se vuelve poco práctico, por lo que se requiere de métodos alternativos como lo son las permutaciones y las combinaciones.
Permutaciones
Son arreglos sin reemplazo o sin repetición, donde no importa el orden de los elementos, para calcular se utiliza la siguiente fórmula:
Donde:
P = permutación
n = número de elementos diferentes
k = tamaño del arreglo
Ejemplo: ¿Cuántas formas existen de formar una lista de 4 postres de un menú de 10 postres si no es posible repetir los postres?
Nuevamente, solo tenemos que usar la fórmula de las permutaciones y reemplazar los valores n=10 y r=4:
Solución:
Combinaciones
Son los arreglos en donde importa el orden de los elementos, se determina mediante la siguiente fórmula:
Donde:
C = combinación
n = número de elementos diferentes
k = tamaño del arreglo
Para diferenciar entre combinaciones y permutaciones se sugiere que cuando se indica que si importa el orden se apliquen permutaciones, por el contrario, cuando no interesa el orden se deberá calcular una combinación.
Ejemplo: ¿Cuántas formas existen de escoger un grupo de 5 personas de un grupo de 12 personas?
Este es un problema de combinaciones, entonces usamos la fórmula de las combinaciones con los valores n=12 y r=4:
Solución:
Evento probable o Evento Posible
Experimento, Evento y Resultado
Los términos “experimento”, “evento” y “resultado” se definirán a través del siguiente ejemplo:
Podemos pensar que un experimento consiste en recibir una mano de cinco cartas de la parte superior de una baraja ordinaria.
Si consideramos cada grupo de cinco cartas como un resultado diferente, veremos que existen 2, 598,960 resultados.
Hay eventos en los que la mano consta de 3 ases y 2 cartas distintas, o en los que se recibirán 4 ases y un rey, o en los que la mano será de cartas rojas. Cierto número de resultados corresponde a cada uno de estos eventos.
Por ejemplo: 4512 de las 2,598960 manos posibles corresponden al evento de una mano con 3 ases y dos cartas distintas; y cuando en el experimento se da una mano con 3 ases y dos cartas distintas se dice que ha ocurrido este evento.
Cuando dos resultados en un experimento no pueden ocurrir al mismo tiempo, se dice que dichos resultados son mutuamente excluyentes.
Si un resultado cualquiera tiene la misma probabilidad de ocurrir que todos los demás, se dice que todos son igualmente probables.
El método normal para determinar si los resultados de un experimento son mutuamente excluyentes o igualmente probables es el razonamiento.
Se piensa simplemente en el experimento antes de efectuarlo, y por razonamiento se decide si tendrán uno u otro resultado. Teniendo en cuenta que este razonamiento se hace antes de llevar a cabo el experimento, se conoce como razonamiento a priori.
Probabilidad de un evento simple:
Se define como a la posibilidad de que ocurra un suceso, sus valores se encuentran entre 0 y 1. Un valor cercano a cero quiere decir que existen pocas posibilidades de que ocurra, por el contrario un valor cercano a uno señala que existen mayores posibilidades de ocurrir. Cuando toma el valor de 1 se dice que es un evento seguro. Cuando su valor es 0 es un evento imposible.
Ahora expondremos lo que se conoce como la definición clásica de probabilidad. Si el experimento puede tener “n” resultados igualmente probables y mutuamente excluyentes, “r” número de los cuáles corresponden a la ocurrencia de algún evento A, entonces, la probabilidad de que el evento A ocurra, o P(A), se define de la siguiente manera:
Ejemplo: Encontrar la probabilidad de sacar una carta de color negro al azarde una baraja común y corriente.
Solución: Una baraja consta de 52 cartas en total ( 26 negras y 26 rojas), 13 cartas con espada, 12 cartas con figura (Rey, Reyna y Jack), 4 ases diferentes, etc. El experimento consiste en sacar una carta. Hay 52 cartas de manera que el experimento tiene 52 resultados posibles. Podemos razonar que cualquiera es igualmente probable y que se puede sacar sólo una carta a la vez,de manera que los resultados son mutuamente excluyentes. El evento que se busca es el de obtener una carta de color negro en la baraja. Hay 26 cartas negras de manera que los resultados favorables al evento son 26. Tenemos entonces que:
Probabilidad de dos eventos:
Los ejemplos antes citados se refieren al procedimiento para encontrar la posibilidad de que ocurra un solo evento. Para calcular la probabilidad de eventos más complicados necesitamos asignar algunas reglas enunciadas a continuación:
REGLA 1. La probabilidad de que ocurra el evento B considerando que el evento A ya se ha presentado ( o es seguro de presentarse) se llama probabilidad condicional de B y se simboliza como P(B/A).
Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener una carta con espada en un segundo intento toda vez que el primer intento ya se ha obtenido una carta con espada.
Solución:
Si se obtiene una espada en el primer intento entonces el evento A se ha presentado. La carta obtenida no se reemplaza y nos quedan 51 cartas en total en lugar de 52. De las 51 cartas restantes (eventos totales) 12 son cartas con espada ( eventos favorables).
REGLA 2. La probabilidad de que ambos eventos A y B ocurran ( también definida como ocurrencia conjunta de eventos A y B) se denota como P(AB) y está dada por:
Ejemplo: Encontrar la probabilidad de sacar una carta con espada en dos intentos sucesivos, sin reemplazar la primera carta.
Solución: En base a la regla dos tenemos que: P(AB)= P(A) P(B/A)
En el primer intento hay 52 resultados de los cuales 13 son favorables a obtener una espada, por tanto
Si consideramos que se obtuvo una espada en el primer intento, el segundo tendrá 51 resultados posibles, 12 de los cuales son favorables para obtener otra espada, por lo tanto
De esta forma tenemos que la probabilidad de sacar dos espadas consecutivas sería:
REGLA 3. Si la ocurrencia o no ocurrencia del evento A no afecta la ocurrencia del evento B entonces se conocen como independientes. Si los eventos A y B son independientes, la probabilidad del evento B es la misma ya sea que disponga o no de informes acerca de la ocurrencia del evento del evento A. Si los eventos A y B son independientes, los exponemos simbólicamente de la siguiente manera:
Por lo tanto, si los eventos son independientes se tiene que
Ejemplo: Calcular la probabilidad de que el evento A, sacar una carta con espada en un intento, y Bm tirar un total de 7 con dos dados ocurran.
Solución: La probabilidad de sacar una carta con espada está dada por:
En el caso del dado la siguiente tabla da las posibles combinaciones de resultados:
Si analizamos la tabla vemos que de los 36 resultados posibles al arrojar un par de dados, seis corresponden a lograr un tiro de 7. De este modo, la probabilidad de tirar un 7 será:
Como ambos eventos son independientes, la solución al problema está dada por:
REGLA 4. La probabilidad de que por lo menos uno de los eventos A y B ocurra se denota por P(A+B). Para dos eventos cualesquiera A y B la probabilidad se calcula por
La fórmula anterior es válida para cualesquiera dos eventos, dependientes o independientes, ya sea mutuamente excluyentes o no.
Ejemplo: Calcular la probabilidad de que de una baraja se saque una carta con espada o una carta con figura al primer intento.
La probabilidad de sacar una carta con espada está dada por:
La probabilidad de sacar una carta con figura será:
Ahora bien, la probabilidad de que ambos eventos ocurran está dada por:
De este modo, la probabilidad de sacar una espada o una figura será.
Conclusión
En esta sesión hemos podido introducirnos en el tema de probabilidad. El cálculo de la Probabilidad no es complejo, sin embargo, es importante sugerir que se realice una lectura detenida con la finalidad de identificar y conocer las condiciones, los datos que se proporcionan para su determinación ya que ello te dará la certeza de realizarlo de forma adecuada. En esta clase hemos podido darnos cuenta de que la Probabilidad es indispensable, en la vida diaria, en diversos contextos desde el pronóstico del tiempo, en algunos diagnósticos médicos, en el análisis de factibilidad de una evaluación para alumnos, cuando se trata de tomar decisiones para realizar una inversión. También permite la interpretación de información en las diversas ciencias, por ejemplo cuando se realiza el estudio para explicar determinado fenómeno económico, otorga el control de la calidad en la producción de determinado producto, apoya a la toma de decisiones que facilita el control de los procesos industriales, etc. En relación con la probabilidad condicional cuando se tiene la certeza de que suceda un evento, que va a ocurrir o ya ocurrió, cambia todo el experimento por completo pero no así su probabilidad.
Sin duda alguna el estudio de estos temas será de gran ayuda en tu desarrollo profesional.
Te invito a que sigas esforzándote como hasta ahora en el estudio de los siguientes temas. Hasta la próxima sesión.
Fuentes de información
- Probabilidad y estadística: http://www.dcb.unam.mx/profesores/irene/Notas/Tema_2-1_pantcompl.pdf
- Permutaciones y combinaciones: http://www.unavarra.es/digitalAssets/124/124059_100000Permutaciones-y-combinaciones.pdf