Lenguaje algebraico – Leyes de los signos – Operaciones básicas
Introducción
¿Cómo te encuentras hoy? Espero que estés gozando de excelente salud y con la mejor actitud para revisar esta clase en la que daremos inicio al estudio del álgebra, una rama de las matemáticas que utiliza no solo números y signos, sino también letras para resolver operaciones.
Durante esta sesión, revisamos el uso del lenguaje algebraico que permite establecer una expresión o ecuación matemática y viceversa. Posteriormente, abordaremos las leyes de los signos que son de gran importancia en las operaciones algebraicas y, finalmente, terminaremos con la resolución de operaciones algebraicas: suma o adición, resta o diferencia, multiplicación o producto y división o cociente.
Una vez que ya conoces lo que explotaremos en esta clase digital, te invito a que iniciemos con todo el entusiasmo que has mostrado hasta este momento.
Desarrollo del tema
Lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico utiliza letras, símbolos y números para expresar en forma breve enunciados en los que se pide realizar operaciones matemáticas. Previo a citar algunos ejemplos, es necesario que conozcas dos conceptos básicos: expresión algebraica y término algebraico.
Fuente de información: lentuaje-algebraico
Expresión algebraica
Se conoce como expresión algebraica a la combinación de letras, signos y números en las operaciones matemáticas.
Ejemplo:
5x – 3y + 2z
Término algebraico
Expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos sumas o restas.
Ejemplo:
-5x2y3z
-5 constante
x, y, z variables
2, 3 exponentes
En la siguiente tabla se muestran una serie de ejemplos que son usados con frecuencia.
Por otro lado, los términos semejantes son aquellos términos que contienen las mismas variables con sus respectivos exponentes iguales.
- Los términos semejantes con signos iguales se suman
- Los términos semejantes con signos diferentes se restan y se escribe el signo del número mayor.
| Ejemplos | Justificación |
|---|---|
| 3x2 – 11x2 + 2x2 | Si son términos semejantes |
| 10x + 3y – 2z | No son términos semejantes |
| 8xy2 + 2xy2 – 3xy2 | Si son términos semejantes |
| 3ab – 10ab + 4ab | Si son términos semejantes |
Monomio
Expresión algebraica que consta de un término
Ejemplo:
-9y5
Coeficiente: -9
Parte literal: y5
Suma y resta de monomios
Para sumar o restar monomios, solo se suman o restan sí son semejantes, es decir, si ambos monomios tienen una parte literal idéntica (mismas letras y exponentes). Por lo tanto se suman o restan los coeficientes y se deja la misma literal.
Ejemplos:
4y3 + 3y3 = (4 + 3)y3 = 7y3
30ab – 7ab = (30 – 7)ab = 23ab
-10a2b + 3a2b = (- 10 + 3)a2b = – 7a2b
Si los monomios no son semejantes, la operación se deja indicada, únicamente sumar o restar aquellos monomios que sean semejantes.
3ax2 + 2a2x – 9a2x = 3ax2 – 7a2x
Polinomio
Expresión algebraica constituida por dos o más términos.
Ejemplo:
3x4 + 51x3y – 12xy2
Suma y resta de polinomios
Para sumar dos o más polinomios, se ordenan los polinomios haciendo coincidir los términos semejantes en columnas y se reducen los coeficientes término a término.
Ejemplo: suma los polinomios
2a2b + 3ab – 10b2; – 7a2b – 8ab – 3b2
Solución:
Te compartimos un consejo para realizar suma o resta de términos semejantes:
| 5x + 4x | 9x | Si los términos son del mismo signo, los coeficientes se suman y se conserva el signo. |
| – 5x – 4x | – 9x | Si los términos son del mismo signo, los coeficientes se suman y se conserva el signo. |
| – 5x + 4x | – x | Si los términos son de diferente signo, los coeficientes se restan y se conserva el signo del coeficiente más grande. |
| 5x – 4x | x | Si los términos son de diferente signo, los coeficientes se restan y se conserva el signo del coeficiente más grande. |
Signos de agrupación
Los signos de agrupación se utilizan para indicar que las cantidades en su interior se deben considerar como una sola. Los signos son:
| Corchetes [ ] | Paréntesis ( ) | Llaves { } |
Si el signo de agrupación está precedido por el signo positivo (+), éste se elimina y las cantidades que están dentro conservan el signo:
+ (3a – 4b + 7c + 8) = 3a – 4b + 7c + 8
Si el signo de agrupación está precedido por el signo negativo (-), éste se elimina y las cantidades que están dentro conservan el signo
– (3a – 4b + 7c + 8) = – 3a + 4b -7c – 8
Si en una expresión existen varios signos de agrupación, se deberán ir suprimiendo en el siguiente orden:
- Paréntesis
- Corchetes
- Llaves
A continuación te presentamos un ejemplo.
Ejemplo: Simplifica:
2x + 4y – [6x – (2x + y) – (3y – 4z) + 7y]=
Solución:
Primero se suprimen los paréntesis. Si el paréntesis está precedido de un signo positivo, las cantidades dentro conservan el mismo signo. Si el paréntesis está precedido por un signo negativo, las cantidades dentro del paréntesis cambian su signo.
2x + 4y – [6x – (2x + y) – (3y – 4z) + 7y]=
2x + 4y – [6x – 2x – y – 3y + 4z + 7y]=
Enseguida se suprimen los corchetes, siguiendo el mismo criterio de los signos como en el paso anterior.
2x + 4y – [6x – 2x – y – 3y + 4z + 7y] =
= 2 x + 4y – 6x + 2x + y + 3y – 4z – 7y
Al finalizar, se suman o restan los términos semejantes.
= 4x – 6x + 8y – 7y – 4z
= – 2x + y – 4z
Algunas operaciones algebraicas como la multiplicación y división requieren del uso de leyes de los signos, los cuales se muestran a continuación y con una serie de ejemplos.
Multiplicación algebraica
Regla de exponentes
(am)(an) = am+n
Multiplicación de monomios
Se multiplican los coeficientes (aplicando las reglas de los signos) y enseguida las partes literales (los exponentes se suman).
Ejemplos:
(- 3x3y)(7x4y6z) = -21x(3+4)y(1+6)z = -21x7y7z
( – 2a2bc)( – 10ab)( – 5ac3) = – 100a(2+1+1)b(1+1)c(1+3) = -100a4b2c4
Multiplicación de polinomios
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del otro polinomio y al final se suman los términos semejantes.
Ejemplo:
(3a2 + 4ab – 6b2) (4a – 3b – 6) =
= 3a2 (4a – 3b – 6) + 4ab (4a – 3b – 6) + 6b2 (4a – 3b – 6)
= 12a3 – 9a2b – 18a2 + 16a2b – 12ab2 – 24ab – 24ab2 + 18b3 + 36b2
= 12a3 – 7a2b – 18a2 – 36ab2 + 18b3 + 36b2
División algebraica
Regla de exponentes
División de monomios
Para dividir dos monomios, se lleva a cabo el siguiente procedimiento:
1) Se aplica la regla de los signos.
2) Se realiza la división de los coeficientes o en su caso simplificar a su mínima expresión.
3) Se aplica regla de los exponentes. El exponente más grande de cada base, definirá la posición del resultado
Ejemplo: divide
Solución:
a) Se aplica la regla de signos.
b) Se simplifican los coeficientes
c) Se aplica la regla de los exponentes
Ejemplo: divide
Solución:
a) Se aplica la regla de los signos
b) Simplifican los coeficientes
c) Se aplica la regla de los exponentes
En este caso, tanto x como y quedan en el denominador.
División de un polinomio entre un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio. A continuación se presentan algunos ejemplos.
División de polinomios
Para la explicación de este subtema, te invitamos a que consultes el siguiente tutorial: División entre polinomios
Conclusión
En esta clase dimos inicio al estudio del álgebra. Partimos del concepto de término algebraico y expresión algebraica para después poder traducir lenguaje algebraico en una expresión que representara el enunciado dado.
Revisamos cada una de las operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación y división) para lo cual fue necesario conocer las leyes de exponentes que rigen a cada operación básica, así como, regla de signos aplicada a la multiplicación y división.
Con ello, damos por finalizada esta clase, esperando que haya sido de tu agrado y muy enriquecedora para tu formación académica. Te invito a continuar con el curso y siguiendo con el ánimo y actitud que has mostrado hasta este momento.