Ecuaciones de primer grado
Introducción
Es un gusto saludarte, espero que te encuentres de lo mejor y avanzando en este módulo que hemos diseñado con mucho entusiasmo para que sea de gran aprendizaje. En esta clase digital 4 revisaremos el tema de las ecuaciones de primer grado, una igualdad matemática con una o más incógnitas que recibe este nombre porque sus variables (llamadas también incógnitas) están elevadas a la primera potencia.
Para resolver la ecuación lineal, previamente haremos una revisión sobre la metodología para encontrar su solución, ya que ésta será una herramienta útil. Asimismo, realizaremos una serie de ejercicios para diferentes tipos de ecuaciones de primer grado y analizaremos un caso particular: aquellas ecuaciones que involucran al valor absoluto, previamente definido el concepto. Finalmente, se presentan ejercicios de aplicación que puedes encontrarte en la vida diaria. Así que ¡comencemos!
Desarrollo del tema
Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad algebraica cuya potencia es equivalente a uno, puede contener una, dos o más incógnitas.
Reglas prácticas para resolver ecuaciones de primer grado
Para resolver ecuaciones de primer grado, se aplica la transposición de términos, que consiste en los siguientes puntos:
Pasos para resolver una ecuación de primer grado
- Quitar denominadores.
- Quitar paréntesis, realizando las operaciones necesarias.
- Aplicar las reglas de transposición (dejar en algún miembro todos los términos con incógnita y en el otro miembro los términos independientes).
- Simplificar términos semejantes.
- Encontrar el valor de la solución.
Ejemplo: Encuentre el valor de la incógnita en la ecuación y – 4 = 6.
Solución:
a) Aplicar la regla de transposición, el -4 está restando, pasa sumando al segundo miembro de la ecuación.
b) Simplificar la ecuación sumando términos semejantes y encontrar el valor de la incógnita
y – 4 = 6
y = 6 + 4
y = 10
Ejemplo: Encuentre el valor de la incógnita en la ecuación 3w – 3 = 4w + 11
Solución:
a) Aplicar la regla de transposición, dejando en el primer miembro los términos con la incógnita y en el derecho los términos independientes. -3 está restando pasa sumando al segundo miembro de la ecuación y 4w está sumando pasa restando al primer miembro.
b) Simplificar la ecuación sumando términos semejantes.
c) Multiplicar la ecuación por -1 y encontrar la solución.
3w – 3 = 4w + 11
3w – 4w = 11 + 3
– w = 14
(- 1)( – w = 14)
w = – 14
Ejemplo: Resuelve la ecuación 4 (x – 2) – 5 (x – 6) = 8 (x + 1) – 3 (2x + 3)
Solución: En esta ecuación es necesario quitar los paréntesis realizando las operaciones necesarias.
a) Quitar paréntesis realizando las operaciones necesarias.
b) Aplicar la regla de transposición de término.
c) Simplificar la ecuación sumando términos semejantes.
d) Aplicar la regla para transposición de términos. -3 está multiplicando, pasa dividiendo al segundo miembro.
e) Aplicar la regla para transposición de términos. -3 está multiplicando, pasa dividiendo al segundo miembro.
4(x – 2) -5(x – 6) = 8(x+1)-3(2x + 3)
4x – 8 – 5x + 30 = 8x + 8 – 6x – 9
4x – 5x – 8x + 6x = 8 – 9 + 8 – 30
10x – 13x = 16 – 39
-3x = – 23
Ejemplo: Encuentra el valor de x en la ecuación
Solución: En esta ecuación es necesario quitar denominadores, por lo que, se multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm).
a) Quitar denominadores, multiplicando toda la ecuación por el mcm. En este caso el mcm es 6 y se coloca un 1 en el denominador para convertirlo en fracción, de igual manera para 10.
b) Realizar las operaciones y simplificar.
c) Aplicar la regla de transposición cuantas veces sea necesario y simplificar a su mínima expresión.
d) Encontrar la solución para la ecuación.
X = 15
Ecuaciones de primer grado con valor absoluto
Para poder dar solución a una ecuación con valor absoluto, primero es importante saber qué es el valor absoluto de un número.
Valor absoluto de un número
El valor absoluto de un número es la distancia que existe desde cero al número indicado en una recta numérica, El valor absoluto es un número sin signo y se representa matemáticamente encerrando al número entre dos líneas paralelas. El valor de un número negativo o positivo siempre dará como resultado un número positivo.
|5| = 5
|- 9| = 9
Por lo que podemos generalizar que para resolver una ecuación con valor absoluto se tiene |x| = a, su solución está dada por:
x = a y
x = – a
Ejemplo: Resuelve la ecuación |x + 1| = 8
Solución: Se aplica la definición de valor absoluto y se obtienen dos ecuaciones.
a) Resolver cada una de las ecuaciones
– (x + 1) = 8
– x – 1 = 8
x + 1 = 8
b) Aplicar transposición de términos.
– x = 8 + 1
x = 8 – 1
c) Encontrar el valor de la incógnita.
– x = 9
(- 1)(- x = 9)
x = – 9
x = 7
El conjunto solución se expresa como: {-9, 7}.
En la práctica, nos encontramos con situaciones reales que se pueden presentar en la vida diaria y que pueden ser resueltas encontrando el valor de la incógnita. A continuación te presentamos un ejemplo de aplicación.
Ejemplo: Si dentro de 15 años Olivia tiene el doble de edad que la que tenía hace 5 años, ¿qué edad tiene ahora?
Solución:
| Datos | Dentro de 15 años | Planteamiento |
|---|---|---|
| Edad de Olivia: x | x + 15 2 (x – 5) | x + 5 = 2(x- 5) |
Resolvemos la ecuación:
La edad de Olivia es de 25 años.
Conclusión
En esta clase analizamos la metodología para resolver ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales, donde el exponente de la variable es 1. Existe una gran diversidad de ecuaciones de primer grado como: fraccionarias, con signos de agrupación o paréntesis, con valor absoluto, por solo mencionar algunas de ellas.
El valor absoluto de un número será la distancia que existe del valor al origen y se representa por medio de dos barras paralelas, obteniéndose un valor positivo, ya sea de un número positivo o negativo. La aplicación de las ecuaciones de primer grado es muy extensa, pues por medio del planteamiento utilizando el lenguaje algebraico se obtiene la ecuación para ser resuelta.
Y es así, como damos por finalizada una clase virtual, más. Te invito a que continúes porque estamos en la recta final.
Fuentes de información
- Ecuaciones de primer grado: saberlo todo
- Aguilar Márquez, A., (2009), Matemáticas simplificadas, (2da Ed.). Pearson Educación.