Funciones y relaciones
Introducción
¡Hola!
Es un privilegio darte la bienvenida a la Unidad de Aprendizaje de “Cálculo Diferencial” en donde aplicaremos diferentes herramientas matemáticas y aprenderemos a resolverlas adecuadamente. Espero que te mantengas con mucho ánimo y disfrutes este curso preparado para ti.
En esta clase nos adentraremos en el estudio de las funciones: Es preciso reconocer que los primeros en estudiar con formalidad las curvas y sus ecuaciones fueron Descartes y Fermat. Ellos estudiaron estos elementos a manera de casos individualizados; su trabajo propició que muchos matemáticos a lo largo del siglo XVII se esforzaran en el estudio de las curvas; pero ninguno de ellos desarrollo una metodología que permitiera establecer un método de estudio general. Newton y Leibniz pudieron resolver este desafío pendiente mediante la introducción de un tipo de técnicas que permitían estudiar los problemas con las mismas herramientas de los problemas de física y geometría. De esta manera, con el desarrollo del cálculo diferencial e integral se hizo posible un avance espectacular de las matemáticas durante los siglos XVIII y XIX. Newton y Leibniz son reconocidos como los autores de un mundo matemático nuevo que permitía aplicar modelos matemáticos a la solución de problemas del mundo cotidiano.
En este contexto, el concepto de función se convirtió en el eje central de la matemática, sobre todo en los temas referentes al análisis matemático. El estudio de las funciones se hizo totalmente indispensable para llevar adelante el desarrollo científico y tecnológico en el resto de las áreas del conocimiento. Es importante resaltar, que la asignación del nombre de “función” se atribuye al gran matemático Leibniz, y su estudio más profundo sobre funciones fue estimulado por su interés geométrico de analizar, matemáticamente, los puntos de las curvas donde éstas alcanzan su máximo y su mínimo valor y dar un método general para determinar las rectas tangentes es estos puntos. Estos cálculos se realizan mediante el cálculo de las funciones derivadas y forman parte importante del cálculo diferencial, que se estudiará durante este curso.
¡Te deseo mucho éxito en esta Unidad de Aprendizaje!
Desarrollo del tema
Como ya se ha establecido, el concepto de función se constituye como el eje central del análisis matemático. En este apartado aprenderemos a definir, reconocer y analizar las funciones matemáticas. Dicho esto, comenzaremos con la definición de este importante concepto matemático.
Definición de una función
Definición 1: Es un tipo de relación (correspondencia) que existe entre dos variables, con la condición de que a cada valor de la variable independiente (Dominio) le corresponde un sólo valor de la variable dependiente (Rango).
Definición 2: Una función f es una relación entre dos conjuntos A y B, de manera que, a cada valor del primero, A le hace corresponder un único valor del segundo, B.
Las funciones se pueden clasificar como trascendentes o algebraicas; o bien como explícitas e implícitas. Los detalles de la clasificación de las funciones se muestran en los siguientes diagramas.
| Función Explícita | Función Implícita |
|---|---|
| Una función está expresada en forma explícita cuando en su ecuación la variable dependiente está despejada. Ejemplo: y=f(x) | Cuando en su ecuación la variable dependiente no está despejada. Ejemplo: 3x2y-5xy2-x2+y3-1=0 |
Para pasar una función explícita a implícita basta con pasar todos los términos de su ecuación a un solo miembro. Esta transformación no siempre es posible.
En apoyo a tu aprendizaje te invito a revisar el video (Clasificación de Funciones):
Formas de representar una función
a) En forma de enunciado:
Por ejemplo: El área de un círculo es igual a pi por su radio al cuadrado.
b) Fórmula o Ecuación:
c) Tabulación:
d) Gráfica o geométrica:
e) En forma de conjunto:
El procedimiento seguido para el establecimiento del dominio y el rango de una función se puede apreciar en el siguiente video:
Operaciones con funciones
A continuación, vamos a ver cómo se hace cada una de las diferentes operaciones con funciones (Suma, Resta, Multiplicación y División):
Figura 1. Operaciones con funciones (suma, resta, multiplicación y división).
En este enlace puedes observar algunas operaciones con funciones:
Conclusión
En conclusión, en esta clase hemos aprendido que en matemáticas el concepto de función se usa para indicar una relación o correspondencia. Y que muchas veces el ser humano hace uso de las funciones aun cuando ni se da cuenta de ello. Por ejemplo, cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos, con el costo en pesos que se deberá pagar por ellos; para así saber cuánto podemos comprar. Cuando hacemos un presupuesto familiar o personal deberemos del mismo modo, relacionar ingresos y egresos de dinero en nuestra cuenta. Las funciones aparecerán en muchos de los ámbitos de nuestra vida cotidiana, razón por la cual debemos ser capaces de comprender, analizar y describir estos conceptos en sus diferentes manifestaciones (ecuación, tabla, gráfica y/o conjunto).
Tras el estudio de las funciones matemáticas, se puede concluir que el concepto de función es un elemento muy importante y de mucho valor y utilidad para entender, representar, analizar y resolver problemas de la vida diaria. Problemas que pueden guardar relación con temas tan diversos como las finanzas, la economía, la estadística, la ingeniería, la medicina, la química, la física, la astronomía, la geología, y cualquier ciencia social donde haya que relacionar variables.
En las clases siguientes seguiremos profundizando en el estudio de las funciones y su impacto en el desarrollo de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial. Sigue mostrando esa actitud proactiva al trabajo y esa gran motivación en el estudio de los temas del presente curso.
Hemos llegado al final de esta primera sesión ¿qué te pareció? Espero que hayas aprendido cosas nuevas acerca del tema, pues esto te hará más sencillo el recorrido de este curso. Sigue adelante, realiza y manda la tarea asignada. Te espero en la siguiente clase.
¡Has comenzado muy bien!