Límites
Introducción
¡Hola!
Es un gusto acompañarte en este proceso de aprendizaje en el que juntos descubriremos un fantástico mundo matemático que te permitirá tener otra perspectiva de la realidad en que vivimos. Es por ello que te doy la bienvenida a esta segunda clase de la UDA de Cálculo Diferencial.
En esta clase estudiaremos el concepto de límite y al finalizar su estudio, tú podrás conocer, interpretar y aplicar este concepto en la solución de problemas relativos a la ingeniería y otras ciencias.
Todos hemos visto alguna competencia en la que participan atletas de alto rendimiento en la cual dos competidores llegan a la meta prácticamente “juntos”, pero uno de ellos gana el premio por una pequeña diferencia o como se dice en el deporte con un final de fotografía. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero no alcanzarlo, constituye un ejemplo perfecto del concepto matemático del límite, el cual es muy importante en el estudio del cálculo.
De este modo, resulta adecuado empezar el estudio del cálculo diferencial, investigando el concepto de límite, los tipos de límites que podemos encontrar y sus propiedades. El concepto de límite es muy importante para precisar otros conceptos tales como la continuidad y la derivación y resulta fundamental para poder avanzar en el dominio y manejo de los principios fundamentales del cálculo diferencial.
Te invito entonces a que comencemos el estudio de este importante concepto que servirá de base para los estudios posteriores en esta área del conocimiento. Sigue mostrando esa gran motivación por el estudio y ese gusto por aprender y descubrir nuevos conocimientos ligados a las matemáticas.
¡Éxito!
Desarrollo del tema
Como se ha comentado en la introducción de esta sesión, resulta adecuado empezar el estudio del cálculo diferencial, investigando los límites en términos de sus propiedades. Cuando una variable “se aproxima” a un valor particular, podemos examinar el efecto que tiene sobre los valores de la función. Este hecho nos abre la puerta a la definición formal del límite.
Los conceptos sobre Límites y Continuidad de una función real representan la piedra angular del análisis matemático; ya que estos conceptos permiten analizar las formas y características de una función real. A partir de este análisis se formalizan definiciones importantes como la derivada y/o integral de una función, las mismas que tienen importancia trascendental en el estudio de procesos de optimización de funciones aplicadas al cálculo de velocidades y aceleraciones en el campo de la física, cálculo de costos marginales en economía y otros. En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una función, a medida que los parámetros de ésta se acercan a un determinado valor, es decir, el valor al que tiende la variable dependiente a medida que la variable independiente se acerca un determinado valor.
En sentido matemático, el límite de una función en un punto hace referencia al “lugar” hacia el que se dirige el valor de la función f(x) cuando la variable independiente (x) se aproxima a un valor determinado.
Definición del Límite
El límite de una función f (x), cuando x → α es el valor de la función cuando se toman valores sucesivos de x, cada vez más cercanos a “a”, por la derecha y por la izquierda que resulta ser la ordenada del punto de abscisa “a” exista o no en la gráfica el punto (α, f (α)) “con la función equivalente”.
En el siguiente ejemplo podremos reconocer el concepto de límite de una función a partir de la definición compartida anteriormente:
Ejemplo 1. Dada la función f (x)= x2 –2x–2 determina el lim fx→3(x).
La gráfica de la función dada nos queda de la siguiente manera:
Figura 2. Gráfica de una función f (x)= x2 –2x–2
Fuente: https://www.cobach.edu.mx/doctos/guias-academicas-propedeuticas/GuiaCalculoDiferencial.pdf
La gráfica anterior, también puede ser representada en formato de tabla a fin de analizar los valores de f (x) cuando x se acerca a 3:
Observando la gráfica y la tabla tenemos que cuando x se acerca a 3 por la izquierda y por la derecha f (x) se aproxima a 1, esto es,
Antes de adentrarnos en el estudio de los límites es importante destacar que existen formas indeterminadas dentro del cálculo de los límites que nos exigen aplicar estrategias particulares para estimar el valor de los límites.
El primer paso en la solución de los límites consiste en evaluar si existe una forma indeterminada. En caso de que no exista ninguna forma indeterminada antes mencionada, podremos calcular el límite por simple evaluación del límite en el valor propuesto. Si esta presente alguna indeterminación entonces tendremos que aplicar algunas de las estrategias siguientes:
CASO I: Resolver con Factorización
Encuentra el límite de la función propuesta:
CASO II: Resolver multiplicando por el conjugado
CASO III: Resolver por racionalización del denominador
CASO IV: Dividir entre la variable a la mayor potencia
CASO V: Funciones Trigonométricas
A continuación, podemos revisar el siguiente video que destaca algunas aplicaciones importantes de los límites matemáticos:
Conclusión
Para concluir, en esta sección hemos podido adentrarnos en el estudio del concepto de límite matemático el cual es muy importante para precisar otros conceptos tales como la continuidad y la derivación y resulta fundamental para poder avanzar en el dominio y manejo de los principios fundamentales del cálculo diferencial.
Es importante destacar que el concepto del Límite de una función real representa la piedra angular del análisis matemático. A partir de este análisis se formalizan definiciones importantes como la derivada y/o integral de una función, las mismas que tienen importancia trascendental en el estudio de procesos de optimización de funciones aplicadas al cálculo de velocidades y aceleraciones en el campo de la física, cálculo de costos marginales en economía y otros. En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una función, a medida que los parámetros de ésta se acercan a un determinado valor, es decir, el valor al que tiende la variable dependiente a medida que la variable independiente se acerca un determinado valor. Esa definición nos permite ver que las aplicaciones de los límites son enormes en campos tales como la ingeniería y las ciencias en donde se busca modelar matemáticamente comportamientos de sistemas a fin de poder analizar, predecir y simular su comportamiento.
En las clases siguientes continuaremos profundizando en el estudio de las derivadas y los conceptos fundamentales del cálculo diferencial. Sigue mostrando esa actitud proactiva al trabajo y esa gran motivación en el estudio de los temas del presente curso.
Es así como concluimos nuestra clase. ¡Vas avanzando muy bien, te felicito! No olvides que para concluir la sesión debes hacer la tarea asignada y enviarla correctamente. Te encuentro en la siguiente clase, hasta luego.
“Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica; la voluntad”
Albert Einstein