Derivada y en el concepto de continuidad de una función
Introducción
¡Hola!
Me da gusto poder saludarte de nuevo y que continúes en este camino que vas comenzando para desarrollar tus habilidades en el curso de Cálculo Diferencial.
En esta clase profundizaremos en la definición e interpretación geométrica de la derivada y en el concepto de continuidad de una función. El estudio del cálculo diferencial tiene como eje central al operador de la derivada. El desarrollo de este operador fue fruto del trabajo, investigación e ingenio de Isaac Newton quién gracias a sus desarrollos científicos y matemáticos posibilitó el surgimiento del cálculo diferencial y la aplicación de esta área de las matemáticas a la solución de problemas científicos diversos.
Mientras Newton estaba en casa debido a una peste que obligó el cierre de las escuelas estableció las bases del cálculo diferencial. El método de las fluxiones, como él lo llamó, estaba basado en la idea de que la integración de una función era el procedimiento inverso de su derivación. De este modo, al considerar a la derivación como la operación fundamental Newton produjo sencillos métodos analíticos que permitieron unificar muchas técnicas desarrolladas en años anteriores asociadas al cálculo de áreas, tangentes, longitudes de curvas y máximos y mínimos de funciones. Newton escribió su trabajo de investigación relativo al cálculo diferencial (De Methodis Serierum et Fluxionum) en 1671; sin embargo, no pudo publicarlo y éste no apareció impreso sino hasta que John Colson lo tradujo al inglés en 1736.
El entendimiento de la definición de la derivada te permitirá en las clases siguientes dominar las reglas básicas de derivación y ser capaz de derivar directamente las funciones algebraicas, trascendente y de orden superior.
Sin más que decir demos paso al estudio de la derivada y su definición e interpretación geométrica.
Desarrollo del tema
la velocidad en función del tiempo. Por esto, se introdujeron conceptos asociados al estudio de la variación de las funciones a partir de la introducción de pequeños cambios en las variables independientes. Esta evolución dio como consecuencia el nacimiento de diferentes disciplinas, entre las que está el cálculo diferencial, que básicamente estudia la variación y los procesos de cambio. El cálculo es la matemática del movimiento y del cambio, y como puedes ver, nada puede existir en el universo sin que sufra un cambio, de tal suerte no nos sorprende la inmensa variedad de aplicaciones que tiene el cálculo tanto diferencial como integral.
El desarrollo de la derivada estuvo ligado a la Física y más concretamente a los trabajos que Isaac Newton realizó en materia del movimiento de los cuerpos. Para Newton era importante conocer la velocidad instantánea de cualquier objeto; sin embargo, esto no era posible con las matemáticas que se tenían desarrolladas hasta ese momento de la historia. Esto motivó a Newton a desarrollar un área nueva de las matemáticas que permitiera el estudio de este tipo de fenómenos. Al igual que Newton, había otro grupo de matemáticos que se enfrentaban a las limitaciones de las matemáticas existentes en materia saber el cómo una recta secante se podría convertir en una recta tangente moviendo un solo punto.
En el siglo XVII la matemática se apoyaba en la geometría y el álgebra para buscar sustento a sus afirmaciones. Concretamente, en el cálculo infinitesimal se siguieron líneas que permitieron dar sustento conceptual, tales como la existencia de funciones continuas. En 1872, Karl Weierstrass publicó su trabajo referente a la existencia de funciones continuas que en algunos puntos no tenían derivada; las consecuencias de este teorema fueron de una enorme trascendencia en su época. De este modo, en ese tiempo fue aceptado por la comunidad que una función era continua si su gráfica se podía trazar sin despegar el lápiz del papel. Esta idea ha prevalecido incluso hasta nuestros tiempos; permitiendo que todas las personas puedan tener una idea informal de la continuidad de una función. El trabajo de Karl Weierstrass permitió demostrar que se podía hablar de la continuidad de una función en un lenguaje totalmente analítico y sin necesidad de recurrir a figuras o elementos geométricos.
Continuidad de una función
Una función f(x) es continua en el punto x0 si cumple las siguientes condiciones:
a) f(x0) está definida.
b) f(x) existe.
c) f(x) = f (X0)
Ejemplo: Determina si la siguiente función es continua en x0 =2.
Se debe verificar que la función cumpla con las tres condiciones arriba citadas:
a) f(2)= (2)2-1=4-1=3, por lo tanto f(x) está definida en x0=2
b) Se calcula el valor del límite: f(x) = (x2-1) =(2)2-1=4-1=3, entonces el Límite existe.
c) Como f(x)=3 y f(2)=3 entonces f(x) =f(x0) y por tanto f(x) es continua.
Definición Formal de una derivada
Sea f (x) una función, se define a su derivada f´(x), como:
Interpretación Geométrica de la derivada
La interpretación geométrica de la derivada se sustenta en la premisa de que el valor de la derivada en cualquier punto de la curva es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto. De este modo se tiene que:
A fin de calcular la derivada de una función mediante la definición formal de la de las derivadas es necesario seguir la denominada Regla de los cuatro pasos, la cual establece los siguiente:
Si y=f(x) es una función entonces:
Por tanto, la derivada de la función f(x)=5x-6 es f´(x)=5.
Conclusión
En conclusión, de esta clase nos hemos concentrado en el concepto de la derivada y su interpretación geométrica. Este concepto constituye la base de los temas que revisaremos en sesiones subsecuentes.
A lo largo de la sesión, hemos revisado que el concepto de derivada se aplica en todos aquellos problemas en los que es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta fundamental para la solución de problemas en los estudios de Física, Química y Biología. La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. De esta manera, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto. Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente que seas capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará la rapidez con la que va cambiando el valor de la función en el punto considerado.
En la clase siguiente continuaremos con el estudio de las derivadas. Te invitó a que sigas mostrando esa actitud proactiva al trabajo y esa gran motivación.
Hemos llegado al final de la clase, vas por buen camino, todavía falta terreno por recorrer ¡Sé persistente, no desistas! Para concluir la clase te invito a que realices y mandes como corresponde la tarea asignada.
¡¡¡Nos vemos en la próxima sesión!!!